21.2.2 平行四边形的判定（分层题型专练，8夯基题型+4进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形判定，通过基础认知、灵活应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|判定方法（边、角、对角线）|直接辨析判定条件，如选择、填空题| |灵活应用|条件补充、图形计数|添加条件构成平行四边形，数图中平行四边形数量| |综合拓展|性质与判定综合、实际应用|证明题、面积计算、尺规作图及测量问题|

第二十一章 四边形 21.2.2 平行四边形的判定 （分层题型专练） 题型一 判断能否构成平行四边形 1．下列条件：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；两条对角线互相平分．其中可以判定四边形是平行四边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴符合题意， ∴可以判定平行四边形有4个． 2．四边形的对角线与相交于点．下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形对角线相等，但不是平行四边形，选项错误，不符合题意； B、，，即四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； C、无法判定四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，选项错误，不符合题意． 3．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【详解】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 4． 若四边形两组对边长度分别对应相等，则该四边形一定是__________． 【答案】平行四边形 【分析】根据题干给出的四边形边的条件，结合平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可知两组对边长度分别对应相等的四边形一定是平行四边形． 5．平行四边形的判定方法有： 从边的条件有： ①两组对边_________的四边形是平行四边形； ②两组对边_________的四边形是平行四边形； ③一组对边_________的四边形是平行四边形， 从对角线的条件有：④两条对角线_________的四边形是平行四边形． 从角的条件有：⑤两组对角_________的四边形是平行四边形． 注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形_________是平行四边形（填“一定”或“不一定”）． 【答案】 分别平行 分别相等 平行且相等 互相平分 分别相等 不一定 【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答． 【详解】解：平行四边形的判定方法有： 从边的条件有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从对角线的条件有：④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从角的条件有：⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形 不一定是平行四边形． 故答案是：分别平行；分别相等；平行且相等；互相平分；分别相等；不一定． 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型二 添加一个条件使四边形成为平行四边形 1．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 2．如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 3．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为， 故选：C． 4．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是________________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 【答案】AD＝BC（答案不唯一） 【分析】由条件可得，然后根据平行四边形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：AD＝BC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 6．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 【答案】AB=CD 【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答． 【详解】解：添加AB=CD， ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB=CD（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型三 数图中平行四边形的数量 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 2．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形，四边形，四边形是平行四边形． 【详解】解：∵，， ∴， ， 四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴图中一共有平行四边形个． 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 4．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 5．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 6．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有______个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 7．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 题型四 不共线的三点构成平行四边形的情况 1．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 2．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 3．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 题型五 全等三角形拼平行四边形的问题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 3．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．有一张三角形纸片，要把它剪拼成一个矩形，要求剪的刀数尽可能少．应怎样剪拼？请画出示意图． 【答案】见解析 【分析】找到两边中点，作的垂线，分别剪一刀，即可得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： 找出、的中点E、F， 通过E、F点向作垂线，垂足分别为G、Q， 沿着剪下．将补到；将补到； 则四边形就是矩形，即剪两刀就可以拼成矩形． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，正确掌握矩形的性质是解题关键． 5．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 题型六 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据对角线互相平分得四边形是平行四边形，则，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．由题意得，，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：D． 3．如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 故选B． 4．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由，可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图： ∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ． ． ， ． 故答案为：． 5．如图，在中，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 6．如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，得出，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，，                    点E、F分别是、的中点， ∴，， ∴，               ∵， 四边形是平行四边形，                ， ， ． 7．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 题型七 利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．先证明四边形是平行四边形，，可得，再结合角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵、的角平分线分别为、， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：C 3．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 4．如图，，，，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的周长是16， 故答案为：16． 5．如图，中，D、E是边上的两点，且，；若，，那么______． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．过点作交于点，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，然后得到，然后结合，即可得到四边形是平行四边形，得出，结合，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴四边形的周长． 7．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 题型八 证明四边形是平行四边形 1．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，进而得到，即可得证. 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，．若平分交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先通过角平分线求得，再利用两直线平行，同旁内角互补求得，发现，从而推出，最后根据两组对边平行的四边形是平行四边形得证． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点，分别在边和边上，且，与对角线相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明即可； 【详解】证明：， ， ， ， 故四边形是平行四边形． 4．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 5．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，再根据已知，利用证明； （2）由得到，由此再证明，得到且，四边形为平行四边形可证． 【详解】（1）解法一： 证明： ， ， 又，， ； 解法二： 证明：， ，， 又， ； （2）解法一： 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． 解法二： 由（1）得，， ，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 题型一 利用平行四边形的性质与判定证明 1．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 2．如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法是关键，甲方案：证明，得，证明，得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判定甲方案可行；乙方案：根据题意得到，证明，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 甲：点O是线段的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故甲的方案可行； 乙：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙的方案可行； 故选：C ． 3．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键． 连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ． ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出， ∴③错误； ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴⑤正确； ∵， ∴， ∴， ∴⑥正确． 综上，正确的序号为：①②④⑤⑥． 故选：C． 4．如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 5．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； ②∵，不能判定， ∴不能判定四边形是平行四边形； ③添加不能判定四边形是平行四边形； ④∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①④． 题型二 平行四边形的判定与性质综合求面积 1．如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，正多边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，，再证明四边形是平行四边形，得出它们之间的面积关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形． ∴，， 即 ∴四边形是平行四边形， ∴ 数出整个正六边形共有8个阴影三角形，10个白色的三角形， 即 ∵这个正六边形的面积为9， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B 2．如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是 ∵， ∴， ∵的面积是18， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 3．如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵沿向右平移得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质． 4．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【分析】先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ 的面积为6 ∴ ∴ ∴． 5．如图，在中，E为边上的三等分点（），F为边的中点，过点E，F分别作，的平行线，记交点为D．若，则四边形的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，即有，根据F为边的中点，可得，再根据E为边上的三等分点（），可得，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵F为边的中点， ∴，即， ∵E为边上的三等分点（）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，过三角形内某一点作三边的平行线，如果三角形的周长为，那么图中三个阴影三角形的周长和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由过三角形内一点作三边的平行线，即，，，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求得四边形，，是平行四边形，又由平行四边形的对边相等，即可求得答案． 【详解】解：，，，   四边形，，是平行四边形， ，，，，，， 三个阴影三角形的周长和为： ． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，注意有两组对边分别平行的四边形是平行四边形与平行四边形的对边相等定理的应用． 7．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 8．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）由直角三角形的性质可求，，由梯形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴结合（1）中四边形是平行四边形，有， 即， ∵，与相交， ∴与不平行， ∵，与不平行， ∴四边形是梯形， 结合四边形是矩形，可得为梯形的高， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型三 平行四边形与尺规作图综合 1．如图，在平行四边形中，点是的中点． (1)尺规作图：作的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、．求证：线段和线段互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到四边形是平行四边形，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线交于点F，点F即为所求； （2）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点E是的中点，点F是的中点 ，， ， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 2．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得出，，可得出，因为，可得出，根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 3．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键． （1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可； （2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线， ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ，，即 ， 四边形是平行四边形． 4．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的点，且，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明，即可求解； （2）由（1）得：，从而得到，进而得到，继而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型四 平行四边形的性质与判定综合在实际问题中的应用 1．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1） ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 2．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 3．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 4．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 5．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 1．小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质．根据题意，入射角等于反射角，结合直角三角形的两个锐角互余，得到四边形相邻两角互补，再利用同旁内角互补，两直线平行，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，判定选项即可． 【详解】解：， ， （同旁内角互补，两直线平行）， 同理可证， 四边形是平行四边形． 选项A，平行四边形的对角相等，所以，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线，不一定相等，不正确，符合题意； 选项C，两直线平行，同旁内角互补，正确，不符合题意； 选项D，平行四边形对边平行且相等，且正确，不符合题意． 2．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（     ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别按照甲，乙，丙三名同学的方法作图，然后根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：甲：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， 即甲同学符合要求； 乙：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 即乙同学符合要求； 丙：如图，存在两个交点，此时四边形不是平行四边形，故丙同学不符合要求． 3．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，再结合平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解： ，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 4．如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，，根据，得出，即，判断①正确；证明，得出，，再证明，判定④正确；根据与不全等，得出，判定②错误；根据与不一定相等，，说明与不一定相等，判定③错误． 【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则，， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴与中三个内角都对应相等， ∵的对边，的对边，且， ∴与不全等， ∴，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∵， ∴与不一定相等，故③错误； 综上，正确的个数为2个． 5．如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及中点推出平行四边形和，从而判断和点是中点，利用等底等高三角形面积相等即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示， 点，分别为平行四边形边，的中点， ，，，，， ，，，， 四边形和都是平行四边形， 是和的中点，是和的中点 ，，和等底等高，，，和等底等高， ，． ， ． ， 四边形的面积与平行四边形的面积之比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键在于巧妙利用中点和等底等高找到面积的关系． 6．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 7．如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，，，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，，， ∴． 由作图可知，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 8．如图，在四边形中，平分． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ___________①， ， ___________②， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ___________③ ， ．即． 又___________④， 四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴．即． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 9．如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)①是等边三角形，的面积为；② 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由已知条件证明，据此可证明结论； （2）①过点C作于点H，由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，即可证明是等边三角形，得到，则，即可得到；②由可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图所示，过点C作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得． 10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2.2 平行四边形的判定 （分层题型专练） 题型一 判断能否构成平行四边形 1．下列条件：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有一组对边平行且相等；两条对角线互相平分．其中可以判定四边形是平行四边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．四边形的对角线与相交于点．下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C． D． 3．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 4． 若四边形两组对边长度分别对应相等，则该四边形一定是__________． 5．平行四边形的判定方法有： 从边的条件有： ①两组对边_________的四边形是平行四边形； ②两组对边_________的四边形是平行四边形； ③一组对边_________的四边形是平行四边形， 从对角线的条件有：④两条对角线_________的四边形是平行四边形． 从角的条件有：⑤两组对角_________的四边形是平行四边形． 注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形_________是平行四边形（填“一定”或“不一定”）． 题型二 添加一个条件使四边形成为平行四边形 1．在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 4．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，你可以添加的一个条件是________________________． 5．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）． 6．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 题型三 数图中平行四边形的数量 1．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，点分别在边，上，，，，则图中的平行四边形共有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 5．如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 6．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有______个；    7．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是______． 题型四 不共线的三点构成平行四边形的情况 1．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 3．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 题型五 全等三角形拼平行四边形的问题 1．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 3．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 4．有一张三角形纸片，要把它剪拼成一个矩形，要求剪的刀数尽可能少．应怎样剪拼？请画出示意图． 5．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 题型六 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图给出了四边形的部分数据，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 4．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，．若，则的度数为________． 5．如图，在中，．若，则的度数是_____． 6．如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数． 7．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 题型七 利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 4．如图，，，，，则四边形的周长为________． 5．如图，中，D、E是边上的两点，且，；若，，那么______． 6．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其侧面抽象成几何图形，其示意图如图2所示，已知，测得．求四边形的周长？ 7．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 题型八 证明四边形是平行四边形 1．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 2．如图，在四边形中，，．若平分交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 3．如图，在中，点，分别在边和边上，且，与对角线相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 4．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 5．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，E为上一点，连接并延长交于点F，且．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 题型一 利用平行四边形的性质与判定证明 1．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 3．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 4．如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 5．如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在对角线上，有下列条件：①；②；③；④．其中一定能判定四边形是平行四边形的是______． 题型二 平行四边形的判定与性质综合求面积 1．如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．4 C．4.5 D．5 2．如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若平移距离是3，则四边形的面积为（　　）    A．12 B．24 C．4 D．8 4．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 5．如图，在中，E为边上的三等分点（），F为边的中点，过点E，F分别作，的平行线，记交点为D．若，则四边形的面积为______． 6．如图，过三角形内某一点作三边的平行线，如果三角形的周长为，那么图中三个阴影三角形的周长和为（    ）    A． B． C． D． 7．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 8．如图，四边形是矩形，对角线、相交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型三 平行四边形与尺规作图综合 1．如图，在平行四边形中，点是的中点． (1)尺规作图：作的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、．求证：线段和线段互相平分． 2．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． 3．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形； 4．如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的点，且，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型四 平行四边形的性质与判定综合在实际问题中的应用 1．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    2．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 3．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 4．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 5．问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 1．小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 2．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（     ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 3．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点，分别为平行四边形边，的中点，连接，交于点，连接，交于点，那么四边形的面积与平行四边形的面积之比是__________． 6．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 7．如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 8．如图，在四边形中，平分． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ___________①， ， ___________②， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ___________③ ， ．即． 又___________④， 四边形为平行四边形． 9．如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①请判断的形状，并求出的面积． ②直接写出的面积______． 10．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $