21.2.2 第2课时 平行四边形的判定(2)-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

三角形，且∠CBD=90.°.SOABCD=BC·BD=4×3=12(cm).14.解：(1)4(2) S,十S的值不变.连接AF.:四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..S△ar S△acP.DE=OF,.S△wE=S△aAp=S△acr..S十S2=S△AEr=S△On.'四边形AB CD是平行四边形，.AD∥BC,OD=2BD=4.∴∠DAC=∠BCO=90°.又∠AOD =∠B0C=60,:∠AD0=30.0A=20D=2.在Rt△A0D中，AD VOD-OAT=23,S+S:=SAN=2AD.OA-2X23X2-23. 第2课时平行四边形及其性质(2) 知识储备 1.相等2.距离 基础练综合练素养练 1.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,OA=OC.∴.∠OAE=∠OCF .∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴.OE=OF.2.D3.2√24.7或17 5.B6.(1)解：BF∥DE,理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. ∠AFB=∠CBF.又∠AFB=∠CED,∴.∠CBF=∠CED.∴.BF∥DE:(2)证明： .'四边形ABCD是平行四边形，∴.∠A=∠C,AB=CD,AD=BC.又∠AFB ∠CED,∴.△ABF≌△CDE.∴.AF=CE.∴.AD-AF=CB-CE,即DF=BE. 7.解：(1)=(2)易证△BOF≌△DOE,△COF≌△AOE,△AOB≌△COD,∴.SA =SAoE,SAcr=S△MoE,S△n=S△MB.∴.S四边形AEFB=S四边形EF,即直线EF将□ABCD 的面积二等分.应用：连接AC,BD相交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形 面积相等 微专题四 1.B2.D3.24.85.22或20 微专题五 1.52.93.3 21.2.2平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定(1) 知识储备 1.平行2.相等3.相等4.互相平分 基础练综合练素养练 1.5cm3cm2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.D4.证明：AB ∥CD,.∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°..∠B=∠D,∴.∠C=∠A.又∠B= ∠D,.四边形ABCD为平行四边形.5.36.证明：，AD∥BC,.∠DAC ∠ACB,∠ADB=∠CBD.又OA=OC,,∴.△AOD≌△COB.∴.OD=OB.又AO= CO,∴.四边形ABCD是平行四边形.7.C8.B9.24 10.(1)证明：.AB∥CD,∠B=45°，∴.∠C=135°.，AD⊥CD,DE=DA,∴.∠E= 45°.∴.∠C+∠E=180°..AE∥BC.又AB∥CD,∴.四边形ABCE是平行四边形.∴ AE=BC.(2)611.解：(1)如图，□ABEC即为所求；(2)设小正 方形方格的边长为1，则AC=√2，AB=√5，BE=√2，CE=√5..AC BE,AB=CE.'.四边形ABEC是平行四边形. 12.证明：(1)，□ABCD,..AB=CD,AD∥BC..∠DAE=∠AEB. 'AE平分∠BAD,∴.∠BAE=∠DAE.∴.∠BAE=∠AEB.∴.BA BE..BE=CD.(2).BE=BA,BF平分∠ABE,∴.AF=EF.又∠DAE ∠AEB,∠AFD=∠EFC,△AFD≌△EFC.∴.DF=CF.又AF=EF,∴.四边形 ACED是平行四边形.13.解：(1)出发前，EF与MN互相平分.理由如下：设EF MN交于点O.,四边形ABCD是平行四边形，出发前，EF,MN为□ABCD的对角 线，.EF与MN互相平分. (2)出发后，(1)中的结论仍然成立.理由如下：连接 EM,EN,FN,FM..四边形ABCD是平行四边形，.∠A=∠C,AD=BC.由题意 得AE=CF,DM=BN,,.AD-DM=BC-BN,即AM=CN.∴.△AEM≌△CFN (SAS)..EM=FN.同理可得EN=FM,.四边形EVFM是平行四边形.∴.EF与 MN互相平分 第2课时平行四边形的判定(2 知识储备 相等AB=CDAD=BC 基础练综合练素养练 1.D2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.又BE=DF,. AD一DF=BC-BE,即AF=CE..四边形AECF是平行四边形.3.证明：(1)， BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠AEB=∠DFC=90°.AB∥CD,.∠A=∠D.又AE= DF,∴.△AEB≌△DFC(ASA)..BE=CF:(2).BEAD,CF⊥AD,.EB∥ CF.又BE=CF,.四边形BECF是平行四边形.4.AB∥CD或AD=BC(答案不 唯一)5.C6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD. ∠ABE=∠CDF.:AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF.: △ABE≌△CDF..AE=CF,又AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.7.A 8.(1)证明：连接BD交AC于点O.四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB ∥CD,OA=OC,OB=OD,∠ABC=∠CDA...∠BAE=∠DCF.'BE,DF分别平 分∠ABC,∠ADC,∠ABE=号∠ABC,∠CDF=月 ∠CDA.∴.∠ABE=∠CDF. 17 ∴.△ABE2△CDF.∴.AE=CF.∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF.又OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形.(2)99.解：(1)tcm(15-3t)cm(2)如图1，当 四边形PDCQ是平行四边形时，，AD∥BC,∴.PD=CQ,即12一t=3t,解得t=3;如 图2，当四边形PABQ是平行四边形时，'AD∥BC,∴.AP=BQ,即t=15一3t,解得 ;如图3，当四边形PDQB是平行四边形时，：AD∥BC,∴PD=BQ,即12-4 15 15-3t,解得t= 综上所述的值为3或或 3 ,33 图2 图 21.2.3三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行一半DE∥BC,DE=2BC 基础练综合练素养练 1.C2.D3.94.25.66.B7.B8.证明：.D,E,F分别是△ABC的边 AB,BC,AC的中点，EF∥AB,EF=7AB,AD=2AB.·EF LAD.·四边形 ADEF是平行四边形.9.C10.30°11.证明：连接ME,MF,NE,NF.E,M分 别是AD,BD的中点∴ME∥AB,ME=2AB.同理可得FN∥AB,FV=2AB. ME∥FN,ME=FN.,.四边形EMFN是平行四边形..EF与MN互相平分. 12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF.在△ABD中，E,O分别是AD BD的中点，.OE= AB,OE∥AB.∠OEF=∠BMr.同理可证：OF=CD, ∠OFN=∠CVF.,∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF.∴.OE=OF.∴.AB=CD (2)2.5 微专题六 1.6.52.w613.D 方法技巧专题（一）平行四边形判定方法的选择 1.证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA 中，PAR:R△DEC≌Rt△BFA(H).∠DCA=∠BAC.AB/CD.卫 AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形.2.证明：.△ABC是等边三角形，， ∠ABC=60.∠EFB=60°，∠ABC=∠EFB..EF∥DC.又EF=DC,四边形 EFCD是平行四边形.3.证明：：DE∥BF,∠DEC=∠AFB.又∠ADE= ∠CBF,∴.∠DEC-∠ADE=∠AFB-∠CBF,即∠DAE=∠BCF,.AD∥BC.又 AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.4.证明：(1)，四边形ABCD是平行四 边形，.AD∥BC.,DF∥BE,.四边形BEDF是平行四边形..DE=BF;(2) 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC.,DE=BF,∴.AD-DE=BC BF,即AE=CF.又AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.，.AF∥CE.又BE∥ DF,∴.四边形MENF是平行四边形.5.证明：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC,OB=OD..AE=CF,BG=DH,..OA-AE=OC-CF.OB-BG=OD- DH,即OE=OF,OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.6.证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD..∠CEO=∠AFO.'O是AC的中点，.OC= OA.又∠COE=∠AOF,.△CEO≌△AFO..OE=OF.又OA=OC,..四边形 AECF是平行四边形.7.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，，.AB=CD,AD =BC,∠B=∠D.AF=CE,.AD-AF=BC-CE..DF=BE.∴.△ABE≌ △CDF(SAS).(2)解：添加BE=CE,理由如下：.AF=CE,BE=CE,∴.AF=BE 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..四边形ABEF是平行四边形. 8.(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,.OA=OC..AE EF,.OE∥CF,OE=)CF.∴·∠EBC=∠FCB,∠BEF=∠CFE.·P是BC中点， BP=CP.'.△PBE≌△PCF(AAS)..'.PE=PF.又BP=CP,∴.四边形CFBE是平行 四边形；(2)：□ABCD,∴.OB=。BD=3,OC= 2AC=4.由(1)知四边形CFBE是 平行四边形OE2CFBE=CF.OE=号BE.OE= 3OB= 3X3=1.:CE1 BD,.∠CEO=90°.∴.CE=√OC-OE=√4-1=√15 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 知识储备 1.平行四边形2.平行且相等都是直角相等且互相平分3.斜边的一半 基础练综合练素养练 1.D2.103.证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,∠D=∠B=90°.在Rt 18第2课时平行 知识储备 一组对边平行且 的四边形是平行四边形.用 符号语言表示为：如图， ,AB∥CD, ,.四边形ABCD是平 行四边形.或AD∥BC, ,∴.四边形 ABCD是平行四边形， 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一 一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形 1.【判定辨析】如图，可判定四边形ABCD是平 行四边形的依据是 A.两组对边分别平行的四 1201 边形是平行四边形 人60° B.对角线互相平分的四边B 2 形是平行四边形 C.一组对边相等、另一组对边平行的四边形 是平行四边形 D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 2.【教材P66习题T5变式】如图，在口ABCD 中，E,F分别是边BC,AD上的点，且DF= BE.求证：四边形AECF是平行四边形， 3.【教材P62练习T2变式】如图，AB∥CD,BE ⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F,并且 AE=DF.求证： (1)BE=CF; (2)四边形BECF是平行四边形. 47 八年级数学·下册 四边形的判定（2) 知识点二平行四边形判定方法的灵活运用 4.【新中考·条件开放】如 D 图，四边形ABCD的对 角线AC与BD相交于 点O,AB=CD,请添加一个条件： ,使四边形ABCD 是平行四边形 知识点三平行四边形的性质与判定的综合运用 5.如图，在□ABCD中，点E,F分别在边BC, AD上，添加下列条件后，不能使四边形 AECF是平行四边形的是 A.BE-DF B.AE//CF C.AF-AE D.∠AEB=∠CFD 6.如图，在□ABCD中，AE⊥BD于点E,CF⊥ BD于点F,连接AF,CE. 求证：四边形AECF是平行四边形. 02综合练 身关锭能力提升一 7.如图1，在□ABCD中，AD>AB,∠ABC为 锐角.要在对角线BD上找点V,M,使四边 形AVCM为平行四边形，现有图2中的甲、 乙、丙三种方案，则正确的方案是 () D 图1 丙： 2 取BD的中点O,作 :作N⊥BD于点N, 作AN,CM分别平 BN=NO,OM=MD :CM⊥BD于点M :分∠BAD,∠BCD 。,。。。。。。。 图2 A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是 C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是 8.如图，在□ABCD中，BE,DF分别平分 ∠ABC,∠ADC,交AC于点E,F,连接DE, BF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)过点E作EH⊥AB,垂足为H.若□AB CD的周长为18，EH=2,则△ABC的面 积是 03素养练 净学科老米路育一 9.如图，在四边形ABCD中，AD A→PD ∥BC,AD=12cm,BC= 15cm,动点P,Q分别从A,CBQ 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D 运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动， 其中一动点到达终点时，另一动点随之停止 运动，设运动时间为ts. (1)AP= BQ= ;(分别用含有t的式子 表示) (2)【分类讨论思想】当点P,Q与四边形ABCD 的任意两个顶点所形成的四边形是平行 四边形时，求出t的值. 解题妙招 动点问题的求解方法： 解决动点问题的基本思路是变“动”为“静”， 用“静”去理解“动”.解决动点平行四边形问题要 在掌握平行四边形判定条件的基础上，根据已知 的一个条件，再找一个合适的条件，使四边形成为 平行四边形，此外还应注意分类讨论思想的应用， 如T9. 助学助散优质高数48