9.2正弦定理与余弦定理的应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 《人教B版2019高中数学必修第四册》 图9-2-1中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？ 探究新知 如图9-2-2所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量.用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A,B都不便到达，所以ΔABC的3条边都无法用米尺测量． 如图9-2-3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量.用测量角度的仪器测出 ∠BCD=β,∠BDC=γ,∠ACD=θ,∠ADC=φ. 然后，利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长.首先，在ΔBCD中，因为∠CBD=π-β-γ，所以由正弦定理可得 =,因此，BC=同理，从ΔACD可得 AC=，最后，在ΔABC中，根据AC,BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长. 探究新知 例1  如图9-2-4所示，A,B是某沼泽地上不便到达的两点，C,D是可到达的两点．已知A,B,C,D4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB=45∘，∠BCD=30∘,∠CDA=45∘,∠BDA=15∘，CD=100m，求AB的长. 图 9-2-4 解 因为A,B,C,D4点都在水平图9-2-4面上，所以 ∠BDC=∠BDA+∠CDA=15∘+45∘=60∘ 因此∠CBD=180∘−30∘−60∘=90∘，所以在RtΔBCD中，BC=100cos30∘=50(m) 在ΔACD中，因为∠CAD=180∘−45∘−30∘−45∘=60∘，所以由正弦定理可知=因此AC=m.在ΔABC中，由余弦定理可知AB=m. 由例1可以看出，在用解三角形的知识解决实际问题时，常常需要综合利用正弦定理与余弦定理. 例2  如图9-2-5所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测，目前台风中心位于城市A 的东偏南60°方向、距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为1003km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果图9-2-5会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由. 解 如图9-2-6所示，设台风的中心xh后到达位置Q，且此时AQ=1003km. 在ΔAQP中，有P=60∘−30∘=30∘，且AP=300km, PQ=20xkm, 因此由正弦定理可得==,从而可解得sinQ==，所以 Q=60∘或Q=120∘.当Q=60∘时，A=180∘−30∘−60∘=90∘,因此20x=,x=10； 当Q=120∘时，A=180∘−30∘−120∘=30∘，因此20x=100,x=5 这就说明，城市A在5、3h后会受到影响，持续的时间为10−5=5(h). 知识扩展 术语 定义 图示 铅直平面 与水平面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 坡比（坡度） 坡面的垂直高度与水平距离之比 1.实际测量中的术语： 知识扩展 1.实际测量中的术语 术语 定义 图示 视角 观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角 仰角 在同一铅直平面内，视线在水平线上方时，视线与水平面的夹角 俯角 在同一铅直平面内，视线在水平线下方时，视线与水平面的夹角 习题9-2A ①如图所示，设A,B两点在河的两岸，测量者在与A同侧的河岸边选取点C，测得AC的距离是50m，∠BAC=45∘∠ACB=75∘，求A,B两点间的距离. 解 在△ABC中，∠BAC = 45∘，∠ACB = 75∘，∠ABC = 180∘-45∘-75∘=60∘ 由正弦定理 = , ∴AB= sin75∘=sin(45∘+30∘)=,sin60∘=，代入得 AB==25(m) 习题9-2A ②如图所示，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶的仰角分别为30°和45∘，两个观测点C,D之间的距离为200m，求此山的高度AB（测量仪器的高度忽略不计，A,B,C,D都在同一平面内，ΔABC是一个直角三角形）. 解 在ΔADC中,∠ACD = 30∘ ,∠ADC = 180∘- 45∘= 135∘, ∴∠ CAD = 180∘- 30∘- 135∘= 15∘,CD = 200m 由正弦定理：=，sin15∘=，sin30∘=， ∴AD==100（） 在RtΔABD中,∠ADB = 45∘，AB==100（ 习题9-2A ③如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是α=45∘时，旗杆在山坡上的影子的长是30m，求旗杆的高． 解 设旗杆高为hm，记旗杆顶端为P，底部为Q，影子顶端为R，则QR=30m， ∠QPR = 45∘,∠PQR = 30∘ 在Δ PQR中，由正弦定理：， ∴h===15（m) R P Q 习题9-2A ④ 如图所示，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A作直线往复运动，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长85mm，求曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动的距离AA0 解 在ΔABC中,CB =85mm,AB = 340mm,∠C = 60∘， 由余弦定理： AB2= AC2 + CB2 - 2·AC·CB cos60∘ 3402= AC2 + 852 - 2·AC·85·cos60∘ 解得AC = （舍去负根）。 AA0=A0C-AC=AB+CB-AC=425- 习题9-2B ①为了测量河堤背水坡对地面的倾斜角，用一根长为m的长棒AB靠在堤旁，C为堤脚，现测得AC=n,BC=t.如图所示，且图中所示各点都在同一铅垂平面内，你能用m,n,t表示出河堤背水坡的倾斜角α满足的条件吗？ 解 在ΔABC中，AB=m，AC=n，BC=t，∠ACB = 180∘- α. 由余弦定理： AB2= AC2+ BC2- 2·AC·BC·cos∠ACB代入得： m2 = n2 + t2 - 2ntcos(180∘- α) 由诱导公式cos(180∘-α) = -cos180∘- α，得： m2 = n2+t2+2ntcosα整理得： cosα= 习题9-2B ②如图所示，从高为h的热气球A上测量海平面上B,C两点之间的距离.现测得B的俯角是a，且C的俯角是β，图中各点都在同一铅垂平面内.用α，β和h表示出BC. 解 由题意，热气球高度A到海平面的垂直距离为h，B的俯角为α，则AB =，B到垂足的水平距离为； C的俯角为β，则C到垂足的水平距离为 ∴ BC = - = h(- = 习题9-2B ③如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α, ∠BDC=β CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解 在ΔBCD中，∠BCD=α, ∠BDC=β， ∴CBD = 180∘-α-β， CD = s. 由正弦定理：= ∴BC =（因为sin(180∘--α-β) = sin()） 在RtΔABC中，ACB =θ， ∴AB = BC ·tanθ = 习题9-2B ④为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.已知A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如图所示）.飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括 （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用文字和公式写出计算M,N间距离的步骤． 解 (1)需要测量的数据： 在A点测得M的俯角α1、N的俯角α2； 在B点测得M的俯角β1、N的俯角β2； A、B间的距离d. α1 α2 β1 β2 d 在ΔABM中，∠MAB =α1，∠MBA = 180∘-β1，∴∠AMB =β1-α1，由正弦定理： AM = = 同理，在ΔABN中，AN = ② 在ΔAMN中，∠MAN = α1 - α2，由余弦定理： MN = 习题9-2B ⑤如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的3点，在山顶P处测得3点的俯角分别为α，β，γ．计划沿直线AC开通穿山隧道.为求出隧道DE的长度，你认为还需要直接测量出AD,EB,BC中哪些线段的长度？根据条件，并把你认为需要测量的线段长度作为已知量，写出计算隧道DE长度的运算步骤. 解 需要测量的线段：AD、EB、BC（或AD、DE、EB，这里以AD、EB、BC为例） 在ΔPBC中，∠PCB =γ，∠ BPC = β-γ，由正弦定理： PB= ,同理在ΔPAB中，AB=+BC, DE=AC-BC-EB-AD 小结 解题通用步骤(基线:测量时选定的基准线段（长度已知或可测）) 建模：画示意图，标注已知（基线、角度、速度）与未知； 选定理： 两角一边 / 两边及对角→正弦定理； 两边及夹角 / 三边→余弦定理； 求解：结合内角和 A+B+C=π，分步计算； 检验：边长正、角度 (0,π)、大边对大角。 $