精品解析：河南郑州市第六十四中学2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

2025—2026学年下学期期中学情调研 八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 C. “对顶角相等”的逆命题是真命题 D. 反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角小于 6. 将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，______． 12. 分解因式：______． 13. 如图，将沿着射线方向平移，得，若，，，则阴影部分的周长为_________． 14. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 15. 如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式（组）并将解集表示在数轴上： （1）； （2）． 17. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． （2）将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． （3）请求出的面积． 18. 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF． （1）求证：DE=BF； （2）求证：． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进树苗17棵，有、两种树苗可选择，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元． （1）若购进、两种树苗刚好用去1220元，问购进、两种树苗各多少棵？ （2）若购买种树苗的数量多于种树苗的数量的5倍，共有哪几种购买方案？ （3）找出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 21. 如图，在中，，，请完成下面的作图和问题． （1）用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E； （2）用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q； （3）求的度数． 22. 为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： （1）按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； （2）购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 23. 如图1，与都是等腰三角形，，，且． （1）求证：； （2）如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； （3）如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中学情调研 八年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做因式分解”对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果必须是几个整式乘积的形式， A、变形是整式乘法，结果为和的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是分解因式，符合题意 D、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意． 4. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 C. “对顶角相等”的逆命题是真命题 D. 反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角小于 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据角平分线的判定定理，线段垂直平分线的性质，逆命题的真假判断，反证法的假设规则，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：角平分线的判定定理为，在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 故 A选项说法正确； 三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，到三角形三边距离相等的是三角形三条角平分线的交点， 故 B选项说法错误； “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如直角三角板的直角和矩形的直角相等，但不是对顶角，因此逆命题是假命题， 故C选项说法错误； 反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，原结论为“一个三角形中最小角不大于”，结论不成立即“最小角大于”，不是“最小角小于”， 故D选项说法错误． 6. 将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，由作图可知，是的垂直平分线，可得，，由的周长为，可得，所以，然后通过的周长，从而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：． 8. 杭州入选“2025年全国文明城市”，为深化学生对文明城市的认知，某校举办了文明知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了x道题，若得分不低于72分，可列出关于x的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意正确表示总得分，根据“不低于”的含义为大于等于，列出不等式． 【详解】解：设答对了道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意得：． 9. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线图象的上面，即可得出的解集． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴由图象可得，不等式的解集为． 即关于的不等式的解集为． 10. 如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段关于y轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于y轴对称的线段，按照这样的规律，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于点E，证明，可得，从而得到点，，同理，，……，可得到每4个点的坐标为一周期循环，再由，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点E， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴点， ∵作线段关于y轴对称的线段， ∴， 同理，，……， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一致，即． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，______． 【答案】70 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的性质得：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式，确定公因式为，使用提公因式法即可分解因式． 【详解】解：原式． 13. 如图，将沿着射线方向平移，得，若，，，则阴影部分的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等．根据平移可得，，，进而求出，即可求解． 【详解】解：将沿着射线方向平移得， ， ，，， ，， ， 阴影部分的周长为：， 故答案为：． 14. 关于的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据不等式组的解集可知，据此可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴， ∴符合条件的a的值为：1， 故答案为：1（答案不唯一）． 15. 如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【答案】，或4.8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 三、解答题（共75分） 16. 解下列不等式（组）并将解集表示在数轴上： （1）； （2）． 【答案】（1），数轴表示见解析 （2），数轴表示见解析 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项合并同类项得：， 解得：， 把解集表示在数轴上，如图： 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图： 17. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将向右平移6个单位长度，画出平移后的并写出点的坐标． （2）将绕点O旋转，画出旋转后的并写出点的坐标． （3）请求出的面积． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）把的三个顶点分别向右平移6个单位长度，得到点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）把三个顶点分别绕点O旋转，得到点，顺次连接得到，写出点的坐标即可； （3）运用整体减部分的方法可求得的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，点的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积为． 18. 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF． （1）求证：DE=BF； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由AE=CF易得AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC可得∠AFB=∠CED=90°，结合AB=CD，由“HL”可证得：△ABF≌△CDE，由此可得DE=BF， （2）根据△ABF≌△CDE，由此可得DE=BF，∠A=∠C，最后可得AB∥CD． 【小问1详解】 ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB=∠CED=90°， 在Rt△ABF和Rt△CDE中：， ∴Rt△ABF≌ Rt△CDE， ∴DE=BF． 【小问2详解】 ∵Rt△ABF≌ Rt△CDE， ∴∠A=∠C， ∴AB∥CD． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 20. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进树苗17棵，有、两种树苗可选择，已知种树苗每棵80元，种树苗每棵60元． （1）若购进、两种树苗刚好用去1220元，问购进、两种树苗各多少棵？ （2）若购买种树苗的数量多于种树苗的数量的5倍，共有哪几种购买方案？ （3）找出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）购进A种树苗10棵，B种树苗7棵 （2）共有3种购买方案，分别是：方案1：购进A种树苗0棵，B种树苗17棵；方案2：购进A种树苗1棵，B种树苗16棵；方案3：购进A种树苗2棵，B种树苗15棵 （3）费用最省方案为购进A种树苗0棵，B种树苗17棵，所需费用为1020元 【解析】 【分析】（1）购进A种树苗棵，购进B种树苗棵，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进A种树苗棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出不等式求得，据此求解即可； （3）根据（2）的结论，分别计算出总费用，即可求解． 【小问1详解】 解：购进A种树苗棵，购进B种树苗棵， 根据题意得， 解得， 答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵； 【小问2详解】 解：设购进A种树苗棵，则购进B种树苗棵， 根据题意得，， 解得， ∵为非负整数， ∴或1或2， ∴共有3种购买方案， 分别是： 方案1：购进A种树苗0棵，B种树苗17棵； 方案2：购进A种树苗1棵，B种树苗16棵； 方案3：购进A种树苗2棵，B种树苗15棵； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，费用最少，最省费用为1020元． 答：费用最省方案为购进A种树苗0棵，B种树苗17棵，所需费用为1020元． 21. 如图，在中，，，请完成下面的作图和问题． （1）用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E； （2）用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q； （3）求的度数． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交上下两端，连接两个交点，与交于点E，与交于点D，垂直平分线即为所求； （2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于一点，再分别以该两点为圆心，相同的任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点A至该点作射线交于垂直平分线于点Q，即为所求； （3）由角平分线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，通过垂直平分线的性质结合三角形外角的性质得到的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果． 【小问1详解】 解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，的角平分线即为所求： 【小问3详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，． 22. 为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： （1）按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； （2）购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】（1）， （2）当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【解析】 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 【小问2详解】 解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 23. 如图1，与都是等腰三角形，，，且． （1）求证：； （2）如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； （3）如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）的最小值为4，. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ 【小问2详解】 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【小问3详解】 由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $