精品解析：　河南驻马店市驿城区2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

八年级数学期中测试 一、选择题（每空3分，共30分） 1. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 某数学兴趣小组对关于x的不等式组，讨论得到以下结论，①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则m的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（每题3分，共15分） 11. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 12. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，若∠E＝70°，AD⊥BC，则∠BAC＝_____． 13. 如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 14. 已知关于的不等式组，若该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． 15. 数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边BC与直线l重合，问： （1）如图（1）已知，，点P在BC边所在的直线l上移动，小方发现AP的最小值是______； （2）如图（2）在直角中，，，，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式（组），并把不等式组（2）的解集表示在数轴上． （1） （2） 17. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是______； （2）若经过平移后得到，点的坐标为，则点的坐标为______； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 19. 如图，一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C， 点C的横坐标为1． （1）求的函数表达式． （2）若，请直接写出x的取值范围． （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 20. 如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 21. 为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 22. 回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 23. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝，则： ①线段PB＝　 　，PC＝　 　； ②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P满足，直接写出的值：　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中测试 一、选择题（每空3分，共30分） 1. 下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意； B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意； C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意． D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D选项正确，符合题意； 故选D． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减同一个数，不等号不改变方向；不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号不改变方向；不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：A．， ，故A成立； B、， ，故B成立 C、、， ，故C成立； D、若，则不一定成立，如：当时，满足，但，故D不成立． 故选：D． 3. 下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出各项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意； ②逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：同一平面内，两条直线平行，则两条直线垂直于同一条直线，是真命题，符合题意； ④逆命题为：等边三角形是有一个角为60度的等腰三角形，是真命题，符合题意； ⑤逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； 故选D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1 考点：线段垂直平分线的性质 6. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 7. 如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x的不等式组的解集与一次函数图象之间的关系，即可得到答案． 【详解】过点A作ACy轴，交x轴于点C， ∵， ∴C（-2，0）， 根据图象可知：直线AC与y轴之间的函数图像上的点所对应的x的取值范围（包含-2，不包含0）就是关于x的不等式组的解集， ∴不等式组的解集是： ． 故选D. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解集与一次函数图象之间的联系，把不等式组化为一次函数图象的位置关系，是解题的关键． 8. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 9. 某数学兴趣小组对关于x的不等式组，讨论得到以下结论，①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则m的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则m的取值范围为．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①若，不等式组为， ∴不等式组的解集为，故①正确； ②若不等式组无解， ∴，故②错误； ③若，不等式组为， ∴不等式组无解，故③正确； ④若不等式组只有两个整数解， ∴两个整数为4和5， ∴，故④错误； 综上，正确的结论为①③． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ∴，即 同理可得，，… ∴序号为奇数时， ∴点的坐标为，即． 二、选择题（每题3分，共15分） 11. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 【答案】AB=AC 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中， 第一步应是假设AB=AC． 故答案为：AB=AC． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 12. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，若∠E＝70°，AD⊥BC，则∠BAC＝_____． 【答案】85° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，∠BAD、∠DAC相加即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE， ∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°-∠ACB=20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°． 故答案为：85°． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的两锐角互余，掌握旋转的性质是本题的关键． 13. 如图，两个直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，平移距离为的长度，其中，，，阴影部分的面积为______． 【答案】140 【解析】 【分析】首先由平移的性质得，，然后得到，代数求解即可． 【详解】解：由平移的性质，得，， ∴， ∴． 14. 已知关于的不等式组，若该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键．根据不等式组有解，可得不等式组的解集为，根据该不等式组的所有整数解的和为，可得不等式组的所有整数解为或，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴不等式组的所有整数解为或， 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或． 15. 数学兴趣活动课上，小方将等腰的底边BC与直线l重合，问： （1）如图（1）已知，，点P在BC边所在的直线l上移动，小方发现AP的最小值是______； （2）如图（2）在直角中，，，，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______． 【答案】 ①. 10 ②. 5 【解析】 【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．根据垂线段最短，求出AH即可解决问题． （2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝20，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为10． ∴AP的最小值是10； （2）如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK． ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAK＝60°， ∴∠PAD＝∠CAK， ∴∠PAC＝∠DAK， ∵PA＝DA，CA＝KA， ∴△PAC≌△DAK（SAS）， ∴PC＝DK， ∵KD⊥BC时，KD的值最小， ∵ ， 是等边三角形， ∴ ， ∴PC的最小值为5． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式（组），并把不等式组（2）的解集表示在数轴上． （1） （2） 【答案】（1） （2），数轴表示见解析 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 17. 如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点M，于点N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线性质，运用直角三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据角的平分线性质，证明，得到，结合得到计算即可． 【小问1详解】 ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴； ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分，，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，直角三角形全等的判断和性质，直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是______； （2）若经过平移后得到，点的坐标为，则点的坐标为______； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）3 （2） （3）图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换和平移，根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）依据三角形面积计算公式利用割补法即可得出的面积； （2）依据平移的规律，即可得到点的坐标； （3）依据旋转的性质，即可得到绕着点O按顺时针方向旋转得到的，即可得出点C的对称点的坐标． 【小问1详解】 解：的面积是， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：因为点经过平移后的对应点为的坐标为， 所以点经过平移后的对应点为的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： 点的坐标． 19. 如图，一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C， 点C的横坐标为1． （1）求的函数表达式． （2）若，请直接写出x的取值范围． （3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）、 【解析】 【分析】（1）把代入求得，再利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据当时，一次函数的图象位于正比例函数图象的下方，即可求解； （3）过点C作于点E，于点F，先求点B坐标，设，则，求得，由，从而可得，即，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为1， ∴当时，， ∴， ∵一次函数的图象经过点、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由图可得，当时，； 【小问3详解】 解：过点C作于点E，于点F， 在直线上，当时，，即， ∴， ∵， ∴，，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴、． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、两直线的交点问题、一次函数与不等式，利用待定系数法求得函数解析式是解题的关键． 20. 如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1）见详解 （2）是直角三角形，理由见详解 （3）当或或时，则是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质； （1）由旋转的性质得出、即可知是等边三角形； （2）由旋转可以得出，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出，进而得出的形状； （3）由条件可以表示出就有，分当，或时分别求出的值即可． 【小问1详解】 解： 绕点按顺时针方向旋转得， ，， ， 是等边三角形． 【小问2详解】 解：当时，是直角三角形．理由如下： 绕点按顺时针方向旋转得 ， ， 由（1）是等边三角形 ， ， 当时，是直角三角形． 【小问3详解】 解：， ． 是等边三角形， ， ，， ①当时， ， 解得： ②当时， ， 解得：， ③当时， ， 解得： 综上，当或或时，则是等腰三角形． 21. 为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 【答案】（1）每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 （2）方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组． （1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元． 依题意，得： ， 解得：． 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元； 【小问2详解】 解：设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱． 依题意，得：， 解得：． 又m为整数，m可以为5，6，7， ∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱； 方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱； 方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱． 22. 回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可证是等边三角形，可得，可求解； （2）由在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可求，，即可求解； （3）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． 又， ， ， 是等边三角形， ， 即； （2）解：，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）解：作交于，交于． ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点平移到线段大三角板的边上时，或 23. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝，则： ①线段PB＝　 　，PC＝　 　； ②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P满足，直接写出的值：　 　． 【答案】（1）①4，2；②PA2+PB2＝PQ2，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC； ②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算； （2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明； （3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∴PB＝AB﹣PA＝6﹣2＝4， 作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝AB＝3，CH＝AB＝3， ∴PH＝AH﹣AP＝， ∴PC＝＝2， 故答案为4；2； ②PA2+PB2＝PQ2， 理由如下：如图①，连接QB， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2， 故答案为PA2+PB2＝PQ2； （2）如图②，连接BQ， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2； （3）当点P在线段AB上时，由（1）①得，； 当点P在线段BA的延长线上时， 设BC＝2x，则AB＝2x， ∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB， ∴AH＝CH＝AB＝x， ∵， ∴AB＝4PA， ∴PA＝AB＝x ∴PH＝PA+AH＝x， 由勾股定理得，PC＝＝x， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $