辽宁沈阳市东北育才高中2025-2026学年下学期高一数学期中考试试卷

东北育才高中2025-2026学年度下学期 高一年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟满分：150分命题人、校对人：高一数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.与-300°角终边相同的最小正角是() A. B号 C. D.8 2.半径为2的圆中，弧长为智的弧所对的圆心角是《) A.45 B.60 C.120 D.150° 3.设c0sa=- ∈(0，)，则可表示为() A.arccos 1 B.-arccos C.π-arccos6 1 D.m+arccos 4.在△ABC中，“|AB+AC>AB-AC”是“△ABC是锐角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5,在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的面积记为S,若 且45=V3(a2+b2-c2),则△ABC的形状为() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.纯角三角形 6.若cos(a+)cos(a-)=-名则sin2a=(） A.-8 B.8 c.青 D. 高一年级数学科试卷第1页/共6页 7.函数f(x)=siwx+√2 cosox(w>0)对应的图象如图，点A为图象与x轴的交点，点B 为图象的最高点，点C为图象的最低点，若AB⊥AC,则ω的值为() A.2 B. C. D.n 8.已知函数f()=2sin(ox+）(0<ω<4)，将f)的图象向右平移n个单位长度，所 得图象与原来的图象重合.当x,x2∈（臣习时，f(x1)+f(x2)=0,则f(x1+x2)= () A-月 C.-1 D.-V3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则siA>sinB B.若A=30°，b=4,a=5,则△ABC有两解 ABI JACI Ad交测则△Bc为等边三角形 D.若4=609，a=5,则△ABC面积的最大值为253 4 高一年级数学科试卷第2页/共6页 10.函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,ω>0，pl<)的部分图象如图所示，将f(x)的图 象向右平移亞个单位长度得到函数g()的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的有 () A.x=一是g()的一条对称轴 B.9()在(-石)上单调递增 C.9)的一个对称中心为(，0) D.9(x+)是偶函数 11.如图，在四边形ABCD中，AB=V3,AC=CD,BC=1AB(1>0),AB.BC=AC. CD=0,则() A.当A=1时，BD=V15 B.当1=号时，DA=DB C.BC·BD的取值范围是(V3,+oo) D.DA·DB的取值范围为(3，+0) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知sin41+sin42++sin42026=2026,则sin(A1+A2++A2026)= 13,关于x的方程2cos2x+4sinx+1=0的解集为 14.已知函数f(x) （1,x≥ -1,x< ,向量ei,e2,e3是平面内三个不同的单位向量，其中 向量e1,e2相互垂直，且满足e1·e2e2e3汁e3·e)=1,则(e1+3e2)·e3的取 值范围是 高一年级数学科试卷第3页/共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) (1)已知tana=2化简求值： sin(r-a)-sin(Gta） 3cos(-@)-5cos(n+a) (2已知x∈(0，，Be(（怎m)且sina=5,sim(+)=-,求cosB的值， 16.(本小题15分) 从0=a:②asin8-V36cos80msG=V5cs2a:®1+m=号 1+cosB 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角△ABC中，a,b,c 分别是角A,B,C的对边，若 (1)求角B的大小； (2)求sinA+sinC取值范围. 高一年级数学科试卷第4页/共6页 17.(本小题15分) 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=2EB,M是线段CE上一动点， (1)ME=mMA+nMB,m,n∈R,求m·n的值： (2)若AB=9,CA,CE=43,求(MA+2MB)·MC的最小值. D B 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=sin4x+2 sinxcosx-cos4x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f)的图象向左平移无个单位长度，得到函数g)的图象：再将函数g() 图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω>0）（纵坐标不变），得到函数(x)的图象. 若h()在区间匠，上没有对称轴，求ω的取值范围： 的若关于x的不等式-2sin(2x+)-m+3<0在区间(-晋-)上有解， 求实数m的取值范围. 高一年级数学科试卷第5页/共6页 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=cos(asinx)-sin(bcosx),a,b∈R. (1)若a=0,b=7,求f(x)的值域； (2)若a=是b=,求f网在(0，)上的所有零点： (3)若对于满足a2+b2≥m的所有a,b,都存在x使得f(xo)≤0，求正实数m的最 小值. 高一年级数学科试卷第6页/共6页 东北育才高中2025-2026学年度下学期 高一年级数学科期中考试答案 一、单选 1.与-300°角终边相同的最小正角是() A. B.9 C. D.8 1.C 【分析】由终边相同的角运算求解即可. 【详解】与-300°角终边相同的角为-300°+360°.，∈， 令-300°+360°.>0，解得>名 且∈，则的最小值为1， 所以与-300°角终边相同的最小正角是-300°+360°=60°，即为 故选：C 2.半径为2的圆中，弧长为”的弧所对的圆心角是() A.45 B.60° C.120° D.150° 2.C 【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度. 经=2红，2rad=120° 【详解】由=得==之=号号 所以圆心角为120° 3.设c0s=- ∈(0，)，则可表示为() A.a话 B.-arccos C. 1 -arccos D.+arccos 【答案】C 4.在△ 中，“|+>-”是“△ 是锐角三角形”的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.B 【分析】根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若)+|>-↓即(+)2>(-)2， 第1页，共14页 整理可得·>0，可知cos>0, 且∈(0，)，可知角为锐角， 所以+|>|一，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出△ 是锐角三角形，但△ 是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“+>-”是“△ 是锐角三角形”的必要不充分条件。 5.在△ 中，角、、的对边分别为、、，△ 的面积记为，若s=8且4=V3(2+2-), 则△ 的形状为() A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.钝角三角形 5.c 【详解】在△ 中，sn=sn 又os=os可得tan=tan，从而=： 利用余弦定理和面积公式可将4=V3(2+2-2)化为2sin=2V3cos, 所以tan=V3,从而=？故△ 是等边三角形 6.若c0s(+)cos(-9)=- ,则sin2=(). A.-8 B.8 c D.月 6.D 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】cos(+)=cos cs-sin sin=受(cos-sin) a(+男(9-竖om-m竖ms- -2(cos -si 6 可得(cos-sin)2=号 因为(cos-sin)2=cos2-2 sin cos+sin2=1-sin2 所以1-sin2=号→sin2=号 7.函数()=sin+V2cos(>0)对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点， 点为图象的最低点，若上，则的值为() 第2页，共14页 A.2 B. c.月 D.π 7.C 【分析】化简得到()=V3si(+),得到()的最大值为v3,最小值为-V3,设的中点为，得 到点和点都在轴上，由上，得出！|=引 ,设()的最小正周期为，列出关于的方程，求 得=4，进而得到的值. 【详解】由函数()=sin+V2cos=V3sin(+),其中tan=V2, 可得函数()的最大值为V3,最小值为-√3， 因为点为图象的最高点，可得=V3,点为图象最低点，可得=一V3, 点是图象与轴的交点，可得=0， 设 的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以=3+®=0， 2 所以点和点都在轴上， 在△中，因为 上，所以上 =且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得！|=引， 过点，分别作，的平行线，交于点，则上， 设函数()的最小正周期为， 可得11=，11=V2+2= (232+(3)2=12+2, 因为1=引↓，可得=、12+2，解得 =4，所以=2巫= 第3页，共14页 8.已知函数()=2sin(+)0<<4),将()的图象向右平移π个单位长度，所得图象与原来的图 象重合.当1,2∈（侣）时，（)+（2)=0，则(1+2)=（) A.-月 B- C.-1 D.-3 8.D 【详解】将()的图象向右平移π个单位长度，所得图象与原来的图象重合.可得π是函数()的周期的整 数倍 即.2π=π(eN),即=2（∈N), 又0<<4，则=2， 故()=2sim(2+), 当∈（位）时，2+∈（智9） 则（)在（侣）上单调递减， 由（)+（)=0，得22步=即1+2=票 2 则(1+z)=2sin(2×号+)=2sin5=-V3. 二.多选题 (多选)9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=5,则△ABC有两解 C若（十：=0，且可2则△M8c为等边三衔形 111 D.若4=60°，a=5,则△ABC面积的最大值为253 【解答】解：A选项，在△ABC中，由A>B得a>b,即2 RsinA>2 RsinB,所以sinA>sinB: B选项，若A=30°，b=4,a=5, 、由正弦定理得，30。一子 ，解得 2 又a>b,所以A>B,所以B只能是锐角，△ABC只有一解，B错误； C选项，一和一分别为与和同方向的单位向量， 111 第4页，共14页 由（一+→）·=0，可知∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC是等腰三角形且AB=AC, 1」1 → 又因为 ∠ 1×1 所以∠ =3'所以△ABC是等边三角形，C正确： D选项，因为A=60°，a=5,得25=a2=b2+c2-2 bccos60°=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时取等号， 即bc≤25， 所以△ 1 2 ≤号×25×号-255 4,D正确. 故选：ACD. 10.函数()=sin(+)(>0,>0,|1<2)的部分图象如图所示，将()的图象向右平移2个单位 长度得到函数()的图象，则下列关于函数()的说法正确的有() 7元 312 A. =-3是（)的一条对称轴 B.（)在(-63)上单调递增 C.（)的一个对称中心为-石0) D.（+)是偶函数 【答案】AD 【解析】【分析】 本题考查了函数=(+)的图象与性质，属于中档题。 先由图象得出（)=√2sin(2+3),再由三角函数性质逐一判定即可得出结论. 【解答】 解：由图知；（)min=-=-√2，则=√2， 子=品一3=了所以=，则=2=2， 即()=√2sin(2+). 因为（写）=V2sin(号+)=0，所以号+=，e,即=-号 第5页，共14页 因为|<2得=3所以（)=V2sin(2+3): 所以()=√2sin[2(-z)+3]=V2sin(2+). 当=-3时，(-3)=V2sin(-z)=-√2，故A对： ()在(-3石)上单调递增，在（石子）上单调递减，故B错： (-)=V2in(-石)≠0，故C错； (+石)=V2sin(2+2×6+)=V2cos2, (+)是偶函数，故D对， 故选AD. （多选)11.如图，在四边形ABCD中，=V3,=，=（>0),”. =0, 则() A B A.当λ=1时， =√15 B.当=时，DM=D8 C. . → 的取值范围是(V3,+∞) D 的取值范围为(3，+∞) 【解答】解：因为=V3,=, =(>0),.’=.=0, 建立如图所示平面直角坐标系， M D B U 可得(0,0)，(0，V3),(3,0),过点D作DE⊥x轴，垂足为E, 第6页，共14页 因为AC⊥CD,则∠ACB+∠DCE=90°， 又∠ACB+∠BAC=90°，所以∠B=∠E=90°∠BAC=∠DCE, 又∠ABC=∠E=90°，AC=CD,所以直角△ABC兰直角△CED, 即=3，=3，则(+3,3) 选项A,当=1时，(2W3,V3),则=(2V3-0)2+(3-0)2=V12+3=V5,A正确： 选项B,当=号时，1+V3,1), 则2=(1+V3)2+(1-V3)2=8, 2=(1+3)2+12=5+23≠8， 故DA≠DB,B错误： 选项C,=W3,0,=W3(+1),3),则.”=3(+1)=32+3， 因为λ>0，由二次函数单调性可得312+3λ∈(0，+∞)，C错误； 选项D,=(-V3(+1),3(1-),=(-3(+1),-V3), 则：”.”=3(+1)2-31-)=62+3+3， 入>0时，二次函数对称轴为=一年 1 由单调性可知62+3+3>3，即.的取值范围是(3，+∞)，D正确. 故选：AD, 三.填空题 12.已知sinA1+sinA2+…+sinA2026=2026,则sin(A1+A2+…+A2026)=0· 【解答】解：根据题意，若sin41+sin42+…+sin42026=2026, 则sinA1=sinA2=…=sinA2026=1, 不妨设A=2k1T+2A2=2k2π+2A3=2k3T+2…,A2026=2k2026m+2(k、2k3、…、k2026 都是整数)， 则sin(A1+A2++A2026)=sin[2(k1+k2++k2026)π+2026×]=sinl013π=0. 故答案为：0. 13.关于的方程2cos2+4sin+1=0的解集为 【答案】(|=-石+2或-石+2，∈} 第7页，共14页 【解析】【分析】结合余弦的二倍角公式将方程转化为(2sin+1)(2sin-3)=0,进一步转化为解方程 sin=-即可得答案。 【详解】因为cos2=1-22, 所以2cos2+4sin+1=0台2(1-22)+4sin+1=0台42-4sin-3=0台(2sin+ 1)(2sin-3)=0, 所以5n=一或sn=是 显然sin=无解： 方程sin =-的解为=-石+2，e或=名+2， 所以，原方程的解为(1=-石+2或=。+2，∈} 14.已知函数 ，向量1,2,3是平面内三个不同的单位向量，其中向量1,2相互垂 -1,<2 直，且满足f(1·2)+f(23)+f(3·1)=1,则(1+V32)·3的取值范围是3,2]· 【解答】解：已知1,2相互垂直，则12=0，所以(1：2)=(0)=-1， 因为(1·2)+(2·3)+(3·1)=1， 所以（2·3)+(3)=2， 所以(23)=(3)=1， 1→→、1 即2·3≥克3°1≥2 以1,2的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则1=(1,0)，2=(0,1)，设3=(，)， 则2·3= ≥231=≥ 由≥且≥2可得2+石≤≤2+3'∈， 已知1=(1,0)，2=(0,1)，3=( 则1+V32=(1,V③)， 第8页，共14页 所以(1+V32)·3= +=2(吃+)=2(+6)， 因为2+石≤≤2+3，∈，所以2+3≤+石≤2+2，∈， 则(+石)e号，1，所以2(+石)E3,2, 综上，(1+V32)·3的取值范围是[3,2]. 故答案为：[v3,2] 四、解答题： 15.(1)已知tan=2化简求值： sin(r-)-sin(G+） 3cos(G）-5cos(r+) (2)已知∈(0，)，∈(Gm且sin=25sin(+)=-,求cos的值. 【详解】(1)由诱导公式得s加-)sm登) sin-cos 3cos(-5cos(n+)3sin +5cos …….5分 (2)因为∈(0，》，∈(，所以+∈(，) 因为sin=25,sin(+)=-是 所以cos=V1-sn2=5cos(+)=-V1-sin2(+)=-套.9分 cos cos[(+)-]=cos(+)cos +sin(+)sin =(←)×号+（←-）×95=-25…13分 5 16.(本小题15分) 从O0=:②sin-V3 cos cos=V32:③1+册=2 1+c0s 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角。中，，，分别是角，，的对边， 若 (1)求角的大小： (2)求sin+sin取值范围： 【答案】解：①)若选①：由正弦定理得3 sin sin=sin, 1+c0s 即√3 sin sin=sin(1+cos), 因为0<<2，所以sin≠0， 所以v3sin=1+cos，整理得sin(-)=克 第9页，共14页 又因为0<<2，则-6<一石<3，所以=3…6分 若选②：因为sin-V3 coscos=V32, 由正弦定理得sin sin=√3 sin cos cos+√3sin 2, sin sin =v3cos (sin cos sin cos )=v3cos sin(+), 所以sinsin=V√3 cos sin, 由∈(0，)，得sin≠0， 所以sin=V3cos,即tan=√3， 因为∈(0,2)，所以=3：…6分 若选③：因为1+an=2,所以cos sin+sin cos=2sin, tan cos sin sin 即恶出-部， cos sin 又因为++=，所以，sin=2sin cos sin sin 又因为sn>0,所以cos=分 因为∈(0，)，所以=3：…6分 (0<<2 (2)在锐角& 中，由(1)得， 2 0<3- 6<<2, 人2 sin sinsin +sin(+)=sin +sin cos+cos sin3 =2sin+罗cs=V3sim(+6,.12分 由<+石<号，所以号<sm(+)s1, 所以sin+sin的取值范围为(，V3]. ..15分 第10页，共14页 、 17.(本小题15分) 如图，在矩形 中，点在边上，且=2，是线段上一动点. D M E B (1) +，,∈，求·的值： (2)若=9， ·=43,求(+2)· 的最小值. 【答案】解：(1) =十 =+号 = +(+)=+号 故==子则= …..4分 (2)在矩形 中，=一 三一 =十 所以· =(--)(--3) 12.4 =3+3 ·+2 =2+3， 因为|=9， ·=43, 所以片 2+ 2=x92+ 2=43, 解得1=4，即||==4.…8分 在△ 中，1|=3,11=4，则|=5， 因为=2， 所以+2=(+)+2(+) =3++2 =3 设1|=，0≤≤5， 第11页，共14页 所以(+2)=-3引川1 =-3(5-)=3(2-5) =3(-2-界0≤≤5，…13分 因此当且仅当=时，(+2)有最小值-5， 41 从而(+2) 的最小值为-华 ..15分 18.(本小题17分) 已知函数()=4+2 sin cos-4. (1)求函数()的最小正周期： (2)将函数（)的图象向左平移24个单位长度，得到函数（)的图象；再将函数()图象上各点的横坐标变 为原来的二倍(>0)（纵坐标不变），得到函数h()的图象. ()若h()在区间[好上没有对称轴，求的取值范围： ()若关于的不等式-2sin(2+)-+3<0在区间(-最-上有解，求实数的取值范国 【答案】解：(1)()=sin4+2 sin cos-cos4=sin2+(sin2-cos2)(sin2+cos2) sin2 -cos2 =v2sin(2), ……3分 函数()的最小正周期为2=；…4分 (2)()将函数()的图象向左平移24个单位长度，得到（)=V2sin[2(+24)-4]=V2sin(2-石)， 将函数()图象上各点的横坐标变为原来的二倍(>0)（纵坐标不变），得到函数h()=√2sin(2一石)： ():∈[42]，而>0，“2-6∈[2--6]， -2<2-6 ∈，.....6分 +2> 一6 解得 >2-3 <+ 又>0， 当=0时，0<< 38分 第12页，共14页 当=1时，<<多 综上可知， 的取值范围是(0，)U(:.10分 ()由29-2sm2+)-+3<0, 可得sin2(2-石)-2sin(2+3)-+3<0, 即cos2(2+3)-2sin(2+3)-+3<0, 即1-sin2(2+3)-2sin(2+3)-+3<0, 即sin2(2+写)+2sin(2+3)+-4>0,其中∈(--z),…14分 因为∈(-五，-2)，则-z<2+<6 令=sin(2+3)e(-1,), 则关于的不等式2+2+-4>0在(-1，)上有解， 设()=2+2+-4，∈(-1，分)， 则(-1)=--3>0或（分）=2-华>0,16分 解得<-3或>吕 所以实数的取值范围(-0，-3)U(侣，+∞) ..17分 19.(本小题17分) 己知函数()=cos( )-sin( (1)若=0，=2求()的值域： 2)若=不=，求()在(0,2)上的所有零点： (3)若对于满足2+2≥的所有，，都存在使得()≤0，求正实数的最小值. 【解析】解：(1)当=0，=时，（)=cos(0·)-sin(2 )=1-sin(2). 因为-1≤sin(2)≤1，所以0≤1-sin(2 )≤2，即()的值域为[0,2]：...·4分 (2)当=4 =时，()=cos(年)-sin( 第13页，共14页 令()=0，即cos(年)=sin('?) 根据诱导公式sin(,一)= 可得sin(z年)=sin( -) 则24 =3 4 +2或2年=-年 4 +2,∈...8分 因为∈(0,5)，所以=0. 当2=月 4 时，年+ 4 =2即sin(+3)=1,解得=石 当2年=-3 4 时，年=-分即s（一3）=-1，解得= 4 (舍去) 因此，()在(02)上的零点为=石…11分 (3)(0)=1-sin,()=1+sin,故(0)>0或（)>0，若存在o使得(o)<0,由零点存在定 理，必存在1使()=0， 故此问题可转化为，若对于满足2+2≥的所有，，都存在1使得()=0，求正实数的最小 值.14分 即cos1+sin1=2+2或cos1-sin1=2+2, 得vz+Zsin(1+)=2+2或-V2+Zsin(1-)=2+2 当=0，sin(1+)取1或-1时，2+2取得最小值子…17分 第14页，共14页