精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年第二学期初一数学期中练习

北京市陈经纶中学2025-2026学年第二学期初一数学期中练习 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义，即无限不循环小数，逐一判断各选项是否为无理数． 【详解】解：A、是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，故本选项符合题意． B、可化为无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． C、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：A 3. 知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．常见的伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当减少时，的度数（ ） A. 减小 B. 增大 C. 增大 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解“对顶角相等”是解题关键． 【详解】解：与是对顶角， ， 减少时，的度数减少； 故选：A． 4. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握会求一个数的算术平方根、平方根、立方根是解题的关键． 直接利用求算术平方根、平方根、立方根逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ，解得：． 故选B． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 邻补角一定互补 C. 相等的角是对顶角 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、对顶角的性质、邻补角的定义，垂线的性质逐项判断解题． 【详解】解：A. 两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B. 邻补角一定互补，是真命题； C. 相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题； D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； 故选：B． 7. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上1；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点经过次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据“冰雹猜想”的运算规则计算前几次的结果，找出循环周期，再利用周期计算次运算后的结果． 【详解】解：根据运算规则计算得： 点经过次运算，，，得到点， 经过次运算，，，得到点， 经过次运算，，，得到点， 运算结果每次为一个周期循环， ， 经过2026次运算后得到的点与次运算后得到的点相同，即为． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 在平面直角坐标系中，点在第_______象限． 【答案】四 【解析】 【详解】点P（3，-4）在第四象限． 【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握每个象限内点的坐标特点是什么． 10. 如图，直线和相交于点，若，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，由垂直的定义可得，即可得的度数 ． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 11. 在平面直角坐标系中，，Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据两点所在直线平行于x轴，那么这两点的纵坐标相等可得出点Q的纵坐标为2，再根据点P和Q两点分别在y轴两侧，且可得出点Q的横坐标． 【详解】解：∵，Q两点分别在y轴两侧，且轴，， ∴点Q的纵坐标为2，横坐标为， ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 关于x，y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用得到的方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得 ， 去括号得 ， 合并同类项得 ． 13. 我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定条件，写出角的数量关系即可． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 由，可得． 14. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据端点，两点的坐标确定坐标原点的位置和单位长度，建立直角坐标系，即可求解出点的坐标． 【详解】解：∵端点，两点的坐标分别为，， ∴小方格的边长为1个单位长度，且点A在x轴负半轴1个单位，y轴正半轴2个单位， 点C在x轴正半轴3个单位，y轴正半轴1个单位， 由此建立坐标系如图： ∴点B的坐标为． 15. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移变换，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可求解． 【详解】解：三角形沿方向平移， ∴，， ∵四边形的周长是，即， ∴， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 16. 北京市三帆中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目．初一某班共有名同学，每名同学至少参与了其中一个项目，其中人参与了“书本灯制作”，个人参与了“自制充电宝”的体验，人有“科技状元榜”的工作任务．因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与．现有以下结论： 只参与了“书本灯制作”的学生有人； 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数； 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法、一元一次方程的应用，根据“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与，并且可以计算出参与“科技状元榜”和“自制充电宝”的学生共有人，可以计算出参与本次活动的共有人，所以可知这次活动中有人同时参与了两个项目，所以可得只参与了“书本灯制作”的学生有人；同时参与了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有人，则同时参与了“书本灯制作”和“自制充电宝”的学生人数有人，如果参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数相等，可得方程，解方程可得：，因为代表的是人数，不能是分数，所以同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数不可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数；由可知，这次活动中有人同时参与了两个项目，只参加了一个项目的人数是人，所以只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 【详解】解：由题意可知：参与“科技状元榜”和“自制充电宝”的学生共有人， 参与了“书本灯制作”的有人， 参与本次活动的共有人， 人， 这次活动中有人同时参与了两个项目， “科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与， 同时参与两个项目的同学一定有一项是“书本灯制作”， 人， 只参与了“书本灯制作”的学生有人， 故正确； 设同时参与了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有人， 则同时参与了“书本灯制作”和“自制充电宝”的学生人数有人， 只参加了“自制充电宝”的学生人数为人， 根据题意可得：， 解得：， 必须是正整数， 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数不可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数， 故错误； 由可知，这次活动中有人同时参与了两个项目， 只参与了一个项目的人数有人， ， 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少， 故正确． 综上所述，正确的结论是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共10个小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 18. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程整理，将各系数化为整数，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：方程组整理得：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解是． 19. 根据解答过程填空． 已知：如图，，平分，交于点，． 求证：． 证明：∵， ∴， ∴①（②）， ∵平分（已知）， ∴（③）， ∴ ④（等式的基本事实）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（⑤）， ∴． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，结合角平分线的定义，完成证明过程即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等式的基本事实）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2）图见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 解：画出三角形如图所示： ． 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 21. 如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 【答案】（1），（2）图见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据图①得出小正方形对角线长即可； （2）根据长方形面积即可得出正方形面积，从而求出正方形边长； 【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图①得：， ∴对角线为， 图②中、两点表示的数分别， 故答案为：， （2）长方形面积为5， 正方形边长为，如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． 22. 老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）相等或互补 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据图形以及平行线的性质进行证明即可； （3）由（1）（2）的结论可得结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 23. 2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．非遗苏绣作品《荷露娇欲语（苏绣）》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的长和宽； （2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由（取3）． 【答案】（1）绣布的长为，宽为； （2）不能够裁出来．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较；正确理解题意、会利用算术平方根求解、正确比较实数的大小是解题的关键． （1）设绣布的长为，宽为，由长方形的面积即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解； 【小问1详解】 解：依题意，设绣布的长为，宽为， 根据题意，得， 即， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∴绣布的长为，宽为； 【小问2详解】 解：不能够裁出来． 理由如下：设完整的圆形绣布的半径为， 由题意，得， ∵π取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴． ∴不能够裁出来． 24. 一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 【答案】该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 【解析】 【分析】设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋，根据题意列方程，取符合条件的整数解即可． 【详解】解：设该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋， 根据题意可得 ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或， 若，蛋的总个数为 （个）， 符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”， 若，蛋的总个数为 （个）， 不符合“蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完”，舍去， ∴该餐厅购买了盒鸡蛋和盒鸭蛋． 25. 如图1，直线、相交于点，射线是的平分线，且． （1）的度数是_____； （2）点为射线上一点，将线段沿直线平移，得到线段，点在直线上，连接，过点作直线的垂线，垂足为点，作直线，当其与直线相交时，记交点为． 当点在射线上时，若，求的度数； 在线段平移的过程中，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 的度数为或； 或或或． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和邻补角的关系可得，再根据角平分线的定义即可求解； （2）①分点在线段上和点在线段延长线上两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解；②分五种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【小问2详解】 解：当点在线段上时，如图，直线与直线相交，设交点为， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ； 当点在线段延长线上时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 由第一种情况知，， ∴ ； 综上所述，的度数为或； 第一种情况：当点在线段上时，如图，过作，则， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：当点在线段延长线上时，如图，过点作，则， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：当点在射线上，且点在射线上时，如图，过点作，则， ∴，， ∴， ∴； 第四种情况：当点在射线上，且点在射线上时，如图，过点作，则， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 第五种情况：当点在射线上，且点在射线上时，如图，过点作，则， ∴， ∴， ∴； 综上，或或或． 26. 定义：在方格状的街道地图中，所有路口的位置都可以用整数坐标表示．从路口到路口，只能沿街道水平或竖直行走，经过的路口个数减1（即走过的街道段数）称为与之间的街距，记作． 例如：从到，需要走过3段街道，街距为3；从到，街距为4；从到，街距为． 现在地图上有三个重要的地点：学校，图书馆，体育馆．社区计划选择一个路口设立“共享服务站”，使得服务站到三个地点的街距之和最小． （1）街距与的和是（ ） .； .； .； . （2）设服务站的位置为．当服务站建在某路口时，到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，则街距之和最小为______． （3）由于施工原因，街道上出现了一段“限行区”：如果服务站所在路口的纵坐标大于或等于它的横坐标，那么从这个路口去往任何一个地点，都需要先绕行一段固定路线，导致到每个地点的街距都要额外增加2个单位（即原来的街距加2）． 例如：若服务站选在路口，因为，属于“限行区”，那么它到学校的街距就是；若服务站选在路口，因为，则不属于“限行区”，街距无需增加．请问：在有“限行区”的情况下，服务站建在哪个路口能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小？街距之和最小是多少？请写出你的思考过程． 【答案】（1） （2） （3）服务站建在或，能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，街距之和最小是，思考过程见解析． 【解析】 【分析】（1）根据街距的定义，可得 ， ，相加即可； （2）根据街距的定义，写出服务站到学校、图书馆、体育馆的街距之和，根据绝对值的几何意义，可得当服务站到三个地点的街距之和最小时，对应点的坐标，即可得街距之和的最小值； （3）根据题意可知，当时，需绕行，要使街距和最小，考虑在直线下方，点附近选址，可得备选位置为，，，分别计算对应的街距之和，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ， ， ∴街距与的和是． 【小问2详解】 解： ， ∴当服务站的位置为时，到学校、图书馆、体育馆的街距之和最小，街距之和最小为． 【小问3详解】 解：根据题意可知，当时，需绕行， 要使街距和最小，服务站选址不考虑直线及其上方， ∴考虑在直线下方，点附近选址， 有个备选位置：，，， ， ， ， ∴服务站建在或，能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，街距之和最小是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市陈经纶中学2025-2026学年第二学期初一数学期中练习 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．常见的伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当减少时，的度数（ ） A. 减小 B. 增大 C. 增大 D. 不变 4. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 11 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 邻补角一定互补 C. 相等的角是对顶角 D. 有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上1；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点经过次运算后得到点是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 在平面直角坐标系中，点在第_______象限． 10. 如图，直线和相交于点，若，则的度数为____． 11. 在平面直角坐标系中，，Q两点分别在y轴两侧，且轴，若，则点Q的坐标为______ 12. 关于x，y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用得到的方程是_______． 13. 我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 14. 数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________． 15. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为______． 16. 北京市三帆中学科技节的活动丰富多彩，其中体验类项目中“书本灯制作”和“自制充电宝”深受大家的欢迎，“科技状元榜”更是万众瞩目的竞赛类项目．初一某班共有名同学，每名同学至少参与了其中一个项目，其中人参与了“书本灯制作”，个人参与了“自制充电宝”的体验，人有“科技状元榜”的工作任务．因为赛程安排，“科技状元榜”和“自制充电宝”不能同时参与．现有以下结论： 只参与了“书本灯制作”的学生有人； 同时参加了“书本灯制作”和“科技状元榜”的学生人数有可能等于只参加了“自制充电宝”的学生人数； 只参加了一个项目的人数比参加了两个项目的人数少． 正确的结论是_____（填写序号）． 三、解答题：本大题共10个小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 18. 解二元一次方程组：． 19. 根据解答过程填空． 已知：如图，，平分，交于点，． 求证：． 证明：∵， ∴， ∴①（②）， ∵平分（已知）， ∴（③）， ∴ ④（等式的基本事实）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（⑤）， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 21. 如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图②中、两点表示的数分别为_______，________； （2）请你参照上面的方法： 把图③中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_______．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） 22. 老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 23. 2024年5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．非遗苏绣作品《荷露娇欲语（苏绣）》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． （1）求绣布的长和宽； （2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由（取3）． 24. 一超市会把临近保质期的食品特价销售．某款鸡蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元；另一款鸭蛋一盒有个，每盒原价元，特价每盒元．一餐厅购买了几盒鸡蛋和几盒鸭蛋，比按原价购买共少花了元，并且这些蛋的总个数恰好够餐厅在天内每天消耗相同数量的蛋（按个计算）且正好用完．请问该餐厅购买了鸡蛋和鸭蛋各多少盒？ 25. 如图1，直线、相交于点，射线是的平分线，且． （1）的度数是_____； （2）点为射线上一点，将线段沿直线平移，得到线段，点在直线上，连接，过点作直线的垂线，垂足为点，作直线，当其与直线相交时，记交点为． 当点在射线上时，若，求的度数； 在线段平移的过程中，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 26. 定义：在方格状的街道地图中，所有路口的位置都可以用整数坐标表示．从路口到路口，只能沿街道水平或竖直行走，经过的路口个数减1（即走过的街道段数）称为与之间的街距，记作． 例如：从到，需要走过3段街道，街距为3；从到，街距为4；从到，街距为． 现在地图上有三个重要的地点：学校，图书馆，体育馆．社区计划选择一个路口设立“共享服务站”，使得服务站到三个地点的街距之和最小． （1）街距与的和是（ ） .； .； .； . （2）设服务站的位置为．当服务站建在某路口时，到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小，则街距之和最小为______． （3）由于施工原因，街道上出现了一段“限行区”：如果服务站所在路口的纵坐标大于或等于它的横坐标，那么从这个路口去往任何一个地点，都需要先绕行一段固定路线，导致到每个地点的街距都要额外增加2个单位（即原来的街距加2）． 例如：若服务站选在路口，因为，属于“限行区”，那么它到学校的街距就是 ；若服务站选在路口，因为，则不属于“限行区”，街距无需增加．请问：在有“限行区”的情况下，服务站建在哪个路口能使其到三个地点（学校、图书馆、体育馆）的街距之和最小？街距之和最小是多少？请写出你的思考过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $