精品解析：广东韶关市仁化县2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题

2025－2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 4. 在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是 ( ) A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. ，， 5. 直角三角形中，两直角边分别是和，则斜边上的中线长是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 8. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌； ；若，，则； 若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则_______． 13. 如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 18. 如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 20. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 21. 综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 （1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． （2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 项目式学习． 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 （1）任务一：小明画出了锐角，，，计算的值，并写出过程； （2）任务二：小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程； （3）任务三：小山画出了钝角，，，则______． 【项目总结】 （4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的总面积最大． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x-3≥0， 解得x≥3． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母； 【详解】解：A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，∴B是最简二次根式； C：的被开方数是小数，∴C不是最简二次根式； D：，被开方数含能开得尽方的因数，∴D不是最简二次根式． 3. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式运算法则运算及即可． 【详解】解：A、不能合并，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，能熟练运算是解题关键． 4. 在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是 ( ) A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 详解：A．32+52≠92，故不是直角三角形，错误； B．42+62≠82，故不是直角三角形，错误； C．12+（）2=22，故是直角三角形，正确； D．（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，错误． 故选C． 点睛：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5. 直角三角形中，两直角边分别是和，则斜边上的中线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边＝， 所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 6. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 7. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. AB∥CD，AD＝BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D C. AB∥CD，AD∥BC D. AB＝CD，AD＝BC 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断； 平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断； 平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定； 平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形； 平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形； 故选A． 【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法． 8. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键． 9. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得到，求出的度数后，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，数量掌握平行线的性质是解答本题的关键． 10. 如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌； ；若，，则； 若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】依据SAS可对作出判断，然后证明为等腰直角三角形，从而可对作出判断，依据勾股定理求得AE的长，然后依据三角形的面积公式可对作出判断，分别求得EF和AC的长，然后可对作出判断． 【详解】解：，，， ≌，故正确． ≌， ，． ， ，即， 为等腰直角三角形， ，故正确． ，， ． ． ，故错误； ，E为DC的中点， ， 依据勾股定理可知：，则，则，故错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定定理是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则_______． 【答案】； 【解析】 【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°. 【详解】解：∵BF=CF,CK=EK， ∴∠FBC=CEK=45°， ∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°， 连接AD、BE， ∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10， ∴BC²+CE²=BE²， ∴∠BCE=90°， ∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20， ∴AD²+CD²=AC²， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∴∠BAC+∠CDE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形． 13. 如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，在Rt△OAB中，可求得OB的长，从而得出点C所代表的实数． 【详解】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝， ∴点C所表示的实数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，只需在Rt△OAB中求解出OB的长度即可． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案． 【详解】∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，注意有括号时，根据运算规则，要先算括号内的． 先将二次根式化为最简二次根式的形式，然后计算括号内的，最后算除法． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 18. 如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出，，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：分别是的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，． （1）求证：是直角三角形． （2）八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）过作交于，利用勾股定理求出，再根据求出面积，进而得到总费用． 【小问1详解】 证明：，，， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ， 则（元）， 答：购买西红柿苗总共需要元． 20. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①; ② 【解析】 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 21. 综合与实践 【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为． 【操作探究】 （1）如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形． （2）如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据全等三角形的性质可得，由两组对边分别相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由矩形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：根据题意：， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：根据题意：， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在和中， ∵， ∴，即， 解得：， ∴三角板平移的距离． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 项目式学习． 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 【解决问题】 （1）任务一：小明画出了锐角，，，计算的值，并写出过程； （2）任务二：小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程； （3）任务三：小山画出了钝角，，，则______． 【项目总结】 （4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的总面积最大． 【答案】（1）；计算过程见解析 （2）；计算过程见解析 （3） （4）钝角 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得； （3）过点作，交的延长线于点，设，则，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得； （4）分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可知，①， ， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 【小问3详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 则， 设，则， ， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 【小问4详解】 解：小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 23. 综合与实践 【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明． 【思考尝试】（1）①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________； ②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程． 【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程． 【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）①；②见解析；（2）不变，；（3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质结合角平分线的定义求出，即可解答；②求出，由①知，易证，再证明，进而证明，推出四边形是平行四边形，，即可证明结论； （2）在上截取，连接．由（1）同理可得．证明出，得到，即可得解； （3）过D作交的延长线于点H，连接、．由（2）知，则点P在与成的直线上运动，当A、P、H三点共线时，即最短，当与相等时，即A、D、P三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）①∵正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴时，需先求得二者度数均为； ②∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）不变，， 如图，在上截取，连接， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在正方形中，， ∴； （3）如图，过D作交的延长线于点H，连接、． 由（2）知：， ∴点P在与成的直线上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点H与D关于对称，， ∴， ∴， 当A、P、H三点共线时，即最短， 此时， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $