精品解析：广东广州市铁一中学2025学年第二学期初二数学期中考试试卷

广州市铁一中学2025学年第二学期初二数学期中考试试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，请分40分） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 2. 下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 1、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可． 【详解】A、∵22+32=13≠16=42， ∴此三角形不是直角三角形，不合题意； B、32+42=52， ∴此三角形是直角三角形，符合题意； C、12+（）2≠（）2， ∴此三角形不是直角三角形，不合题意； D、∵（）2+（）2≠（）2， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，A计算错误； 选项B：，B计算错误； 选项C： ，C计算错误； 选项D： ，D计算正确． 4. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象不经过第三象限 C. 随的增大而减小 D. 图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（ ）方向航行． A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 北偏西 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 【详解】解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 6. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质可得k﹤0，再根据一次函数的图象与性质即可做出选择． 【详解】解：∵正比例函数，且y随x的增大而减少， ∴k﹤0， 在中， ∵2﹥0，k﹤0， ∴直线经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象与性质是解答的关键． 7. 已知函数是一次函数．则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是矩形 B. 有一个角是的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．有一个角是的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意； D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键． 9. 如图，在△中，、是△的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若＝6cm，＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ） A. 14cm B. 18 cm C. 24cm D. 28cm 【答案】A 【解析】 【详解】∵点F、G分别是BO、CO的中点，BC = 8cm ∴FG=BC=4 cm ∵BD、CE是△ABC的中线 ∴DE=BC=4 cm ∵点F、G、E、D分别是BO、CO、AB、AC的中点，AO = 6cm ∴EF=AO=3 cm，DG=AO=3 cm ∴四边形DEFG的周长=EF+FG+DG+DE=14cm 故选：A 【点睛】考点：1、三角形的中位线；2、四边形的周长 10. 如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3， ∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1， ∴BE＝， ∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°， ∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF， ∴△GEH≌△EFA（AAS）， ∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）． 11. 比较大小：______3（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 13. 点在直线上，则的大小关系是_____ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小， 结合增减性判断纵坐标的大小关系. 【详解】解：直线是一次函数，其中一次项系数， 随的增大而减小. 点，的横坐标满足. . 14. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【解析】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 15. 已知，求的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方可求出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，巧用完全平方公式是解答此题的关键． 16. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或核算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）4 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法运算性质, 将原式拆分后分别计算即可, 也可先化简括号内的二次根式再计算； （2）运用平方差公式展开计算, 可以简化运算过程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在梯形中，，． （1）尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意尺规作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，就是所求作的图形； 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 19. 已知实数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： （2）点在一次函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，再化简根式及绝对值即可； （2）由题可得，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：由数轴可知，则， 【小问2详解】 解：点在一次函数的图象上， ，即， ． 20. 某农户种植一种经济作物，总用水量与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示． （1）分别求出当和时，与之间的函数关系式； （2）若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到？ 【答案】（1）时，；时， （2），天 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）根据待定系数法即可求解； （2）将已有的值代入（1）中所得的解析式求解即可． 【小问1详解】 解：时，设函数关系式为：， 结合函数图象有：， 解得：， 即时，函数关系式为：， 同理可求：时，函数关系式为：； 【小问2详解】 当时，根据时，， 有：； 总用水量，此用水量大于， 令：，解得：， 答：种植时间为11天，总用水量为；种植时间为天时，总用水量达到． 21. 已知直线的图象与直线的图象平行． （1）求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； （2）直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 【答案】（1），图象见详解 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行可以得出这两条直线的解析式中自变量的系数相等即可求出的值，问题即可解； （2）先求出、两点的坐标，进而得出，再根据三角形的面积求出，结合点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，解得：， ∴直线， 当时，解得：， 当时，解得：， ∴，， 结合上述两点，画函数图象如下： 【小问2详解】 ∵， ∴， 如图， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∵，， ∴，或者， 即：，或者． 22. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记菱形的判定与性质是解本题的关键； （1）证明，结合平行四边形的性质证明，可得，从而可得结论； （2）证明，四边形是矩形，从而可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 【答案】（1）①见解析；② 2 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可； （2）①根据题意和坐标系写出答案即可；②通过将所求代数式变形，可知该式可以表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：①由题意得，，； ②原式， 表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和， 由图可知，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长， ， 的最小值为． 24. 数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片进行了如下两步深度操作． 活动探究 巧构特殊角 1．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，使纸片展平． 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图2，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． 在图2的基础上，取的中点，如图3，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点． 解决问题： （1）问题一：图1中的度数为_____，请说明你的理由． （2）问题二：证明四边形是黄金矩形； （3）问题三：四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），理由见详解； （2）证明见详解； （3）是，证明见详解． 【解析】 【分析】（1）交于P，根据折叠的性质得，，，，则可得为的中位线，利用平行线的性质得，根据斜边上的中线性质得，，从而得到，然后利用可得到的度数． （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求得，由对折可得：，设，则，由面积可得：，列方程可求，再进一步可得结论． 【小问1详解】 解：交于P，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段， ∴，， ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∴为的中位线，， ∴P点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ，， 又∵四边形是矩形， ，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是黄金矩形； 【小问3详解】 解：四边形是黄金矩形，理由如下， ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形； 由（2）可知，， 为的中点， ， ， 如图，连接， 由对折可得：，，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 四边形是黄金矩形． 25. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接、，若的最小值为，求的长． 【答案】（1）； （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于，于，作于，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点在与成 的直线上运动，延长至，使，作于，连接，交直线于，当点在处时，最小，最小值是，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， ▱是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【小问2详解】 ， 证明：如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作于，于，过点作于， ， 四边形是正方形， 平分，， ，四边形是矩形， 矩形是正方形，， ， 射线绕点逆时针旋转交于点， ， ， ， ， ， ， 和关于对称， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点在与成 的直线上运动， 延长至，使， 作于，连接，交直线于， ， ， 当点在处时，最小，最小值是， 又， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市铁一中学2025学年第二学期初二数学期中考试试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，请分40分） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 1、、 D. 、、 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象不经过第三象限 C. 随的增大而减小 D. 图象可由直线向上平移2个单位长度得到 5. 如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（ ）方向航行． A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 北偏西 6. 已知正比例函数，且y随x的增大而减少，则直线的图像是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是一次函数．则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是矩形 B. 有一个角是的平行四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 9. 如图，在△中，、是△的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若＝6cm，＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ） A. 14cm B. 18 cm C. 24cm D. 28cm 10. 如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）． 11. 比较大小：______3（填“”“”或“”） 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 13. 点在直线上，则的大小关系是_____ 14. 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 15. 已知，求的值是______． 16. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______． 三、解答题（共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或核算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 如图，在梯形中，，． （1）尺规作图：在线段上截取．连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，，求的长度． 19. 已知实数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： （2）点在一次函数的图象上，求的值． 20. 某农户种植一种经济作物，总用水量与种植时间（天）之间的函数关系式如图所示． （1）分别求出当和时，与之间的函数关系式； （2）若种植时间为11天，总用水量为多少？种植时间为多少天时，总用水量达到？ 21. 已知直线的图象与直线的图象平行． （1）求直线的函数解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象； （2）直线的函数图象与轴，轴分别交于、两点，为轴上的一个动点，当的面积为8时，求的值． 22. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 24. 数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片进行了如下两步深度操作． 活动探究 巧构特殊角 1．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，使纸片展平． 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图2，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． 在图2的基础上，取的中点，如图3，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点． 解决问题： （1）问题一：图1中的度数为_____，请说明你的理由． （2）问题二：证明四边形是黄金矩形； （3）问题三：四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 25. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为，的长为________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接、，若的最小值为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $