精品解析：辽宁盘锦市辽河油田实验中学等校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

八年级下学期期中考试数学试卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图象中，表示是的函数的是（） A. B. C. D. 2. 函数的自变量的取值范围是（） A. B. C. D. 且 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A. 3≤y≤9 B. 1≤y≤9 C. 1≤y≤3 D. 0≤y≤1 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为 _____． 12. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 13. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） （3） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 18. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 19. 如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． （1）写出的值为______，并求直线的函数表达式； （2）根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； （3）在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 21. 我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． （1）若一个函数的特征数是，则这个函数的最小值是______； （2）将“特征数”是的函数图象向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______； （3）“特征数”是的函数，当时，的最小值为，求的值． 22. 根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． （1）“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ （2）若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 23. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）这个二次函数的图象与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）已知点，，当线段与这个二次函数的图象有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中考试数学试卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图象中，表示是的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应．在图象上，这表现为作垂直于轴的直线，该直线与图象最多只能有一个交点． 【详解】解：A．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； B．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； C．作垂直于轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，故不是的函数； D．对于每一个值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 2. 函数的自变量的取值范围是（） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分数有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．函数分母为平方根，需满足被开方数非负且分母不为零，可以求出的范围． 【详解】解：分母要求且， ，即， 故选：B． 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，解题的关键是明确抛物线平移的“左加右减，上加下减”的原则．根据抛物线的平移规律，左移3个单位对应x的变换，下移4个单位对应常数的调整． 【详解】解：原抛物线为，顶点在， 根据“左加右减”的平移规律，将替换为，得到新抛物线， 根据“上加下减”的规律，在整体表达式后减4，得到， 故选：A． 4. 关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据其增减性和与轴的交点位置确定其比例系数的符号， 从而得到有关的不等式组， 解不等式组即可求解 ． 【详解】解： 根据题意得， 解得：． 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，求出两不等式的公共部分得到的取值范围，然后确定满足条件的最大整数的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 即的取值范围为且． 所以满足条件的最大整数的值为． 6. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 如图， 由题意可得，，，， ∴由勾股定理得，． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较得到结果． 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴，二次函数开口向下，对称轴为直线 ． 分别计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ∵开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 又， ∴ ． 8. 二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A. 3≤y≤9 B. 1≤y≤9 C. 1≤y≤3 D. 0≤y≤1 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可． 【详解】解：二次函数的图像如图： 所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9， 当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键． 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 10. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用y＝2x+1得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线y＝2x+1经过点P（1，b）， ∴b＝2+1， 解得b＝3， ∴P（1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，求一次函数的函数值，熟知相关知识是解题的关键． 12. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 13. 如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 【答案】或 【解析】 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题是一元二次方程求解问题． 三个小题分别采用直接开平方法、公式法、因式分解法求解． 用到等式的性质、平方根的定义、一元二次方程求根公式、提取公因式因式分解等初中数学知识点． 解题思路为将方程整理后，选择合适的方法求出根． 【小问1详解】 解：，   移项得 ，   两边同时除以3得 ，   开平方得 ，  解得 ，； 【小问2详解】 解：，  这里，，，  ∴ ，   ∴， 解得： ，； 【小问3详解】 解：，   移项变形得 ，   提取公因式得  ，  整理得  ，  可得  或 ，   解得 ，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 18. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装货耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是______千米，______，巡逻车的速度为____千米／时； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）60，1；25 （2） （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地装货耗时15分钟， ∴， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的解析式为 将，代入，得 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为 【小问3详解】 解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米， 则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米， 则， 解得； ∵， ∴货车装货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米， 则， 解得； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米． 19. 如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． （1）写出的值为______，并求直线的函数表达式； （2）根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； （3）在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；直线的函数表达式为 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1） （2）70 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 21. 我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． （1）若一个函数的特征数是，则这个函数的最小值是______； （2）将“特征数”是的函数图象向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______； （3）“特征数”是的函数，当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据分别为二次项系数，一次项系数，常数项，写出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最小值，即可求解； （2）根据新定义得出函数为，根据平移规律求得解析式，即可求解； （3）根据题意得出“特征数”是的函数为：，分，两种情况，结合当时，根据的最小值为，求得的值． 【小问1详解】 解：依题意，一个函数的特征数是， ∴这个函数为 ∵ ∵， ∴当时，函数的最小值是 【小问2详解】 解：“特征数”是的函数为 图象向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到 【小问3详解】 解：“特征数”是的函数为： ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 当时， 当时，的最小值为， ∴， 解得： 当时，对称轴为直线 当时，的最小值为， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴ 解得： 综上所述，或 22. 根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． （1）“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ （2）若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 【答案】（1）每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元 （2）；2700 【解析】 【分析】（1）设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元，根据用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可； （2）根据题意列出，由一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元， 则 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 根据题意可得：， 解不等式得：， ∵， ∴W随着a的增大而减小， ∴当时，才能使总利润最大， 最少费用是（元）， 此时（套）， 答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元． 23. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）这个二次函数的图象与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点的坐标； （3）已知点，，当线段与这个二次函数的图象有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）S的最大值为16，此时点D的坐标为； （3）n的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设点D的坐标为，过点D作轴交于点E，则点E的坐标为，利用三角形面积公式得到S关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可知点在直线上运动，设直线与抛物线交于点，确定，进而再对N的位置进行分类讨论即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设这个二次函数的解析式为， 将代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式为，即； 【小问2详解】 解：在二次函数中， 令，则， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得: ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为， 过点D作轴交于点E， 则点E的坐标为， ∴ ， ∴ ， 把代入上式， 可得 ， 对于二次函数， 其中， ∴该函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 对称轴公式为 ， ∴当时，S的最大值， 把代入， 可得， ∴点D的坐标为， ∴S的最大值为16，此时点D的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴点在直线上运动，设直线与抛物线交于点， ∴当时，， ∴， ∵二次函数的顶点为，且， ∴当点N的坐标为时， 此时点N、M与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点， 即； 当点N在点C上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即， ∴当线段与这个二次函数的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $