2026年河南省三门峡市卢氏县部分名校联考二模数学试题

2026年中招学科适应性第二次调研考试 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1．下列是无理数的是（ ） A． B．0 C． D． 2．某几何体的俯视图如图所示，则该几何体可能为（ ） A． B． C． D． 3．有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，新乡市、郑州市连线与新乡市、开封市连线的夹角为56°，新乡市在郑州市的北偏东24°方向上，则开封市在新乡市的（ ） A．南偏东32°方向上 B．南偏东24°方向上 C．北偏西32°方向上 D．北偏西24°方向上 6．4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了100名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有20名，估计该校700名学生中该月阅读两本以上名著的有（ ） A．100名 B．120名 C．140名 D．150名 7．下列计算结果等于的是（ ） A． B． C． D． 8．一个不透明的盒子中装有四个分别标着“H（氢）”“O（氧）”“C（碳）”“Ca（钙）”四种元素符号的小球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“CO”的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，D是BC的中点，将沿AD折叠，得到，连接CE，则CE的长度为（ ） A．2 C． D． 10．创新角度 在选择题中设置分类讨论问题 如图，已知A，B，C为上的三点，且，，．P是上一动点（不与点A，B重合），连接CP交弦AB于点D．当为等腰三角形时，的长为（ ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是著名的雕塑断臂的维纳斯便是如此．比较大小：______．（填“＞”或“<”）． 12．写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 13．如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 14．如图，在平面直角坐标系中，，正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，将PM绕点P顺时针旋转90°，得到PN，连接MN．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A-B-C-D-E-F-A…）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为_______． 15．如图，在正方形ABCD中，，E，M分别为AD，BC的中点，P为BC边上一动点（不与点C重合），连接DP，过点P作，且连接EF，FM，则的值为_______，线段EF长度的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）解不等式组： （2）若计算的结果是，求“”代表的单项式． 17．（9分）如今，各类人工智能产品已被广泛应用于工作与学习中，为人们提供了高效的辅助支持．某区组织全区七、八年级数学教师用DeepSeek与Kimi结合制作教学课件比赛，比赛结束后，该区从七、八年级数学教师的比赛成绩中各随机抽取了20名教师的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组（A．；B．；C．；D．；E．），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 七年级20名数学教师课件的成绩： 89 77 58 77 89 68 88 69 79 84 77 78 82 87 66 96 94 83 67 92 其中八年级数学教师课件成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的七、八年级数学教师课件成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80.5 b 102.3 八年级 80 c 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______°，_______，________； （2）若抽取的七年级甲教师和八年级乙教师的成绩均为82分，则_______教师的成绩在本年级的排名更靠前；（填“甲”或“乙”） （3）根据上述数据，你认为哪个年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好，请说明理由（写出一条即可）． 18．（9分）某家电专卖店销售A，B两种型号的环保空调，已知其中两单的销售情况如下表： A型空调数量/台 B型空调数量/台 总销售额/元 1 2 14000 2 3 24000 （1）求两种型号的空调的销售单价各是多少． （2）为了响应国家家电以旧换新政策，更多让利于老百姓，专卖店决定推出“以旧换新”和打折促销两种优惠政策．小李计划购买A，B型空调各一台，其中一台用家中旧空调以旧换新购买．可采取如下两种方案． 方案一：旧空调可以抵消A型空调的售价的1000元，B型空调优惠a%； 方案二：旧空调可以抵消B型空调的售价的800元，A型空调优惠10%． 若方案一优惠额不小于方案二，求a的最小值． 19．（9分）创新角度 设置反比例函数的实际应用题 “杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是100N，求x的取值范围． 20．（9分）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，ON，MN上都有相同单位的刻度，G可以在MN上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度PQ．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的ON平行于地面AQ，ON的延长线交PQ于点F，滑动OG使O，G，P在同一条直线上，此时．．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交PQ于点E，滑动，使，，P在同一条直线上，此时，．小明的身高，自动扶梯的高BM为4.5m，水平宽AM为19.5m．试根据以上数据计算出建筑物的高度PQ．（结果精确到1m） 21．（9分）创新角度 圆与动点问题的综合 如图，AB为的直径，射线BC与相切于点B，点P为射线BC上一动点，连接OP，过点B作，交于点D，连接DE． （1）当时，如图（1），连接AD，求证：四边形OADE是菱形． （2）当时，如图（2）．若，求BD的长． 22．（10分）创新角度 抛物线与直线的综合应用 小华家安装了一个截面为抛物线形的遮阳棚，在学习完二次函数知识后，小华想借助这个遮阳棚进行探究活动，通过测量、计算，将相关信息整理如下，请仔细阅读，并完成相应的任务， 素材一 如图（1），曲线AB为遮阳棚，AC为支架，CO为落地窗户（A，C，O三点共线），，，，遮阳棚的跨度．已知曲线AB所在的抛物线与抛物线的形状相同，以点O为坐标原点，CO所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 素材二 如图（2），为加固遮阳棚，要安装支撑架BC和GF，其中点G在BC上，点F在曲线AB上，且． 任务1：求素材一中曲线AB所在抛物线的函数表达式． 任务2：小华的爸爸找来一根长0.6m的木棍作为支撑架GF，是否符合素材二中的要求？若符合，请通过计算加以说明；若不符合，请说明理由． 23．（10分）创新角度 教材引入 【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），DE是的中位线． 求证：，． （1）证明：如图（2），延长DE到点F，使得，连接CF……请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 （2）如图（3），已知四边形ABCD纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 （3）在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形ABCD中，，AC是其对角线，点M为射线BC（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转120°得到点，连接，，点N是的中点，连接MN，AM． ①证明：； ②连接CN．若，，请直接写出CN的长． 九年级数学参考答案 选择题答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C A C B B D C 1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 如图，易知，，，∴开封市在新乡市的南偏东32°方向上。 6．C （名）。 7．B 逐项分析如下，故选B． 选项 分析 正误 A × B √ C × D × 8．B 根据题意，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的元素符号可以组成“CO”的结果有2种，故所求概率为． 9．D 如图，过点A作于点AG，连接BE交AD于点F．，，，．易知AD为斜边BC上的中线，（依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．（点拔：利用“等面积法”列方程），．同理得，由折叠的性质可知，．易知DF是的中位线，，．由折叠的性质可得，，． 一题多解 如图，连接BE交AC于点F．，，，．易知，∴点B，A，E，C四点共圆，由此易证，，，．设，则，在中，由勾股定理得，即，解得（负值已舍），，，，，． 10．C ，，．如图（1），连接OB，OC，则，，是等边三角形，．分两种情况讨论．当时，如图（2），则，，所对的圆心角为60°，．当时，如图（3），则，，∴所对的圆心角为105°，．综上可知，那的长为或． 解题突破 解决本题时，应根据等腰三角形BCD边的不确定性，分，，（时，点P与点A重合，故舍去此种情况）分类讨论，切勿漏解. 11．> 12．（答案不唯一，符合条件即可） 13． 【解析】，．如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F，则，，∴．∵反比例函数的图象在第二象限（易错点），． 14． 【解析】易知，∴正六边形ABCDEF的周长为6，∴点M运动一周用时（秒）．∵，∴第2025秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与EF的中点重合，如图所示，此时． 过点N作轴于点H，易证，，，，． 15． 【解析】如图（1），过点F作于点G，则．，，．又，（点拨：相似模型——一线三直角），，．M为BC的中点，，，，，在点P运动的过程中，的度数不变，即直线FM固定不动，∴当时，EF的长度最小（点拨：垂线段最短），如图（2），连接EM，则，，．又，，．设，则，，，． 16．（1） 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． （2）， ． 17．（1）20 126 77 82.5 （2）甲 （3）八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好． 理由：因为七、八年级数学教师课件成绩的平均数一样，八年级数学教师课件成绩的中位数和众数均比七年级的高，且八年级数学教师课件成绩的方差比七年级的小，成绩较稳定，所以八年级的数学教师在人工智能辅助制作教学课件方面掌握的情况更好．（答案不唯一，写出一条合理理由即可） 18．（1）设A型空调的销售单价是x元，B型空调的销售单价是y元． 由题意，得 解得 ∴A型空调的销售单价是6000元，B型空调的销售单价是4000元． （2）由题意，得， 解得． ∴a的最小值是10． 19．（1）由题意设y关于x的函数表达式为， 将，代入，得，， ∴y关于x的函数表达式为． （2）由（1）可知，y关于x的函数表达式为． ，， ∴y随x的增大而减小． ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，x的值最大，最大值为50， ∴当时，y的值最小，最小值为， ∴弹簧秤的示数y的最小值为12． （3）将代入，得． 根据反比例函数的图象与性质可得． 由题意可知，故x的取值范围是． 20．设． 由题意可知，， ，． 由题意可知，， ，， ，，， ，． 又，， 解得， ． 答：建筑物的高度PQ约为17m． 21．（1）证明：如图（1），设OP，BD交于点Q， ，（依据：垂径定理）． ，，∴， ∴． ∵BC是的切线，∴，∴． ∵AB是的直径，∴， ． ∵，， ，∴四边形OADE是平行四边形． 又，是菱形． （2）如图（2），连接BE，AE，则． 设BD，OP交于点Q，∵AB是的直径，∴， ， ． ，，， ， ． 22．任务1：根据题意，可知曲线AB所在抛物线过点，即． 由曲线AB所在的抛物线与抛物线的形状相同，且曲线AB所在的抛物线开口向下，可设曲线AB所在抛物线的函数表达式为， 将代入，得． ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴曲线AB所在抛物线的函数表达式为． 任务2：不符合． 理由：∵，，． 设直线BC的函数表达式为， 将，分别代入， 得解得 ∴直线BC的函数表达式为． 设点F的横坐标为，则，， ， ∴当时，GF最大，最大值为． ， ∴小华的爸爸找来的0.6m长的木棍作为支撑架GF，不符合素材二中的要求． 23．（1）证明：∵点E是AC的中点，． 又，， ， ，，． ∵点D是AB的中点，， ，∴四边形DBCF是平行四边形， ， ，． （2）作图如图（1）所示．（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边AD，AB，BC，CD的中点． （3）①证明：如图（2），延长MN至点G，使，连接BC，AC． ∵点N是的中点，． 又，， ，． 由旋转的性质可知，， ，， ． ∵四边形ABCD是菱形，． 又，是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形，． ②CN的长为2或1． 解法提示：由题意知，．分两种情况讨论． Ⅰ．当CN是的中位线时，如图（3），此时，． Ⅱ．当CN不是的中位线时，如图（4），取BM的中点H，连接HN， ，， ，， 是等边三角形，． 设，则，， ，解得，． 综上所述，CN的长为2或1． 学科网（北京）股份有限公司 $