辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册第四章至选择性必修第三册6.1.4。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若数列满足，，则（ ） A．1 B．2 C．5 D．10 2．下列求导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（ ） A．3.9 B．4，1 C．4.2 D．4，4 4．已知等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 6．随机变量的分布列如下表，则（ ） 0 1 A． B． C．1 D．2 7．如图，将正整数1，2，3，…排成三角数阵，则第10行从左到右第1个数字是（ ） A．42 B．46 C．56 D．58 8．若实数a，b，c，d满足，则恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（ ） A．在上的平均变化率为2 B． C．曲线在点处的切线方程为 D．直线可能是曲线的一条切线 10．某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ） A． B． C． D．与相互独立 11．已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ） A．为等差数列 B． C． D．实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂生产一批零件，其长度（单位：mm）近似服从正态分布，现随机抽检该批次零件共20000个，则这批零件中长度超过208mm的个数约为________。 （附：若随机变量，则，，） 13．已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则________． 14．在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各100人，得到下面列联表： 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 男生 30 70 女生 50 50 （1）估计该校男生和女生喜欢科普类书籍的概率分别是多少； （2）能否有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分）在数列中，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 17．（15分）已知是函数的导函数，且． （1）求的解析式； （2）若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 18．（17分）某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品． （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率． 19．（17分）若存在正整数，使得对任意正整数，都有，则称数列为阶跳跃等差数列． （1）已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，． （ⅰ）求，； （ⅱ）求的前项和． （2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，从的前项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：． 数学试卷参考答案 1．B 由，得，两个式子相除得， 所以数列是以2为周期的周期数列，所以． 2．C 依题意，，，，． 3．B 由已知，得，． 又回归直线经过点，所以，解得． 4．A 设等比数列的公比为，则．由，得1，解得． 5．B 由题可知．因为，所以，所以当取最大值时，． 6．D 由题可知，解得，则， 则，所以． 7．B 设第行从左到右第1个数字为， 由题意知， 累加得，即，所以．故第10行从左到右第1个数字是46． 8．A 由题可得，．设，，。设，则的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，将直线平移到与曲线相切时，切点到直线的距离最小． 而，令，则，可得，此时点到直线的距离为，故，所以，故． 9．AB 对于A，在上的平均变化率为，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，，所以曲线在点处的切线方程为，即，故C错误； 对于D，，因为直线的斜率为，所以直线不可能是曲线的一条切线，故D错误． 10．BC 对于A，，A错误； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，则与不相互独立，故D错误． 11．ACD 当时，，解得，当时，则，所以，故，因为，满足，所以的通项公式为，为等差数列，A正确； ，，B错误； 因为， 所以，C正确； 由不等式，可得，当为奇数时，，化简可得，所以，当为偶数时，，化简可得，所以，所以实数的取值范围为，D正确． 12．455 这批零件中长度超过208mm的概率为，所以这批零件中长度超过208mm的个数约为． 13．0 由图可知点处的切线斜率为，则切线方程为，所以，故． 14． 因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数。 第一种情况，点水平移动2次，， 第二种情况，点水平移动4次，， 第三种情况，点水平移动6次，， 则所求的概率． 15．解：（1）该校男生喜欢科普类书籍的概率为， 该校女生喜欢科普类书籍的概率为． （2） 喜欢文学类书籍 喜欢科普类书籍 合计 男生 30 70 100 女生 50 50 100 合计 80 120 200 ， 所以有的把握认为学生喜欢文学类书籍还是科普类书籍与性别有关． 16．解：（1）因为， 所以数列为等比数列， 则，故． （2）． 17．解：（1）令，得，即． 又，所以， 则，故． （2）设切点为，则切线方程为． 因为点在切线上，所以，化简可得， 所以， 解得或，故实数的取值范围为． 18．解：设“第次抽到的是A商品”，“第次抽到的是B商品”，“选取到第个超市”，． （1）由题意得第一次抽到的是A商品的概率． （2）的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 所以． （3）， ， 则，所以在第二次抽到的是B商品的情况下，第一次抽到的是A商品的概率为． 19．（1）（ⅰ）解：由为1阶跳跃等差数列，得， ，. （ⅱ）解：当为偶数时，设，前项包含个奇数项和个偶数项． 奇数项和， 偶数项和， 所以，则． 当为奇数时，． 综上， （2）证明：因为数列为阶跳跃等差数列，且，所以． 因为，， 所以，， ，， 当时，． 设，则，则单调递增， 则，则， 所以的前项中不大于的项数为， 则， 则． 设， 则， 则， 所以， 所以． 因为，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $