辽宁抚顺市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中学情摸底考试数学试题

**基本信息** 2026年高二数学期中卷以大数据推荐系统等时代情境为载体，通过函数导数、数列、概率统计等知识的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配期中阶段性学情评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数求导、数列前n项和、独立重复试验|第7题以大数据平台收益为情境，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|导数运算、函数单调性、等比数列性质|第10题结合导函数图象分析极值，考查数学思维推理能力| |填空|3/15|切线方程、数列公共项、概率游戏|第14题甲乙抽牌概率模型，发展数学语言表达能力| |解答|5/77|二项式定理、等差等比数列、函数综合、概率递推|第18题传球概率递推及条件概率，第19题函数值域与不等式证明，综合考查数学思维与创新意识|

2026年4月高二年级期中学情摸底考试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．等于（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件在1次试验中发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（    ） A．40种 B．20种 C．10种 D．6种 7．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（   ） A．17万条 B．16万条 C．15万条 D．14万条 8．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点 C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值 11．在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．（m，） B． C．是等比数列 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13．将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，，则的前项和为______． 14．甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 16．（15分）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（15分）（1）求函数的值域； （2）求函数在点处的切线方程； （3）求函数的增区间. 18．（17分）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 19．（17分）已知函数. (1)当时， （ⅰ）求在区间上的值域； （ⅱ）证明：，. (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年4月高二年级期中学情摸底考试 数学·参考答案 1.B 【详解】由排列数公式可知2026×2025×2024=A026· 2.C 【详解】f'(x)=cosx,∴.f'(0)=1,f(x)=sinx+1, 3.D 【详解1当m2时，=8-8，(n 「2，n=1, 当n=1时，4=2，不满足上式，所以a.= 1 n(n-1n≥2. 4.C 【分析】利用赋值法，令x=2、x=-2和x=0,再列式求解即可 【详解】解：令x=2,得a,+24+2a2+24+…+2a,=0①， 令x=-2,得4-24+22a,-24,+…-2a=4②， ①+②，得2(4+242+2*a+2a）=4=24, 即a,+224,+244,+2a。=23, 令x=0,得a。=2, .22a+2a+2a,=2-27. 5.D 【分析】根据独立重复试验概率公式求出随机事件A恰好发生1次的概率，和恰好发生2 次的概率，建立p的不等式关系，求解即可. 【详解】依题意可得 「cp1-p'≤Cp0-pj,解得04sp<1, 0<p<1 即事件A在1次试验中发生的概率P的取值范围是[0.4,1). 故选：D 答案第1页，共8页 6.C 【详解】由题意可得A社区2名、B社区2名或者A社区3名、B社区1名， 所以不同的分配方案数为C?+C:=6+4=10. 7.C 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解 【详解】设收益为y元，则y 25600x-100x(x≥2)： x+1 y=-100x-15)06x+17) 当y'>0时，2<x<15;当y<0时，x>15, (x+1)2 所以函数y在(2,15)上单调递增，在15，+∞)上单调递减， 即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益， 故选：C. 8.B 【分析】设等比数列{an}的公比为q,根据己知条件求出q和a的值，可得出数列{a}的通 项公式，分析可知：当n≤3时，an>1,当n=4时，a.=1,当n>4时，0<a,<1,即可得 出T的最大值， 【详解】设等比数列{a}的公比为9. 若g=1,则冬=2，不符合题意， S 41-q） 9 所yS6-1-9=1+q=。,解得4=2 S41-q3) 1-q 1 又因为a和4的等差中项为5，所以4+a=10,则4+二4=10，解得4=8. 4 2-1 所以，a4n=4q1=8× =24-， 2 当n≤3时，an>1,当n=4时，an=1,当n>4时，0<a,<1, 所以Tn的最大值为T=T,=a44,4=2×22×2=64. 故选：B. 9.ABD 【分析】利用复合函数的求导公式可判断A选项；利用基本初等函数的导数公式可判断B 选项；利用求导法则可判断CD选项. 【详解】对于A选项，(sin2x)=2cos2x,A错： 答案第2页，共8页 对于B选项，(2)=2h2,B错： 对于C选项，(xe)=(x+1)e,C对： 对于D选项 lnx_1-hx,D错. x x2 故选：ABD 10.ABC 【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的 极值点即可. 【详解】 根据'(x)的图象可知：函数∫'(x)在(b,c)上单调递增，故A正确： 根据f'(x)的图象可知：f'(x)=0有三个解，其中x=a和x=e是导函数的变号零点， 而是x=c不是导函数的变号零点，故函数∫(x)有2个极值点，故B正确： 根据f'(x)的图象可知：在x∈(a,e)时，f'(x)≤0，所以函数f(x)在(a,e)上单调递减，故 C正确： 根据∫'(x)的图象可知：f'(x)=0有三个解，其中x=a和x=e是导函数的变号零点， 而是x=c不是导函数的变号零点，故函数∫(x)在x=c处无极值，故D错误： 故选：ABC 11.ABD 【分析】根据等比数列通项性质判断A,根据等比数列求和化简判断B,根据对数运算及等 差数列定义判断C,根据等比数列求和判断D, 【详解】4n=a4,1，am=aq,两式相除可得a.=an-m，故A正确： 因为g≠1，由等比数列求和公式S--9,可得S,（1-g)=4-4q,故B正确： 1-q 因为血a1-血a,=hq（常数)，所以na}是等差数列，故C不正确： 对于D, 1111 a’a’,,’a 可看作是以二为首项，q(q≠1)为公比的等比数列， cL. 11 所以二++…+二= 4a2 1_11-4,故D正确 a,a 1-g 答案第3页，共8页 故选：ABD 12.y=3x+1 【详解】f(0)=e°=1，又f"(x)=3e3x,则f'(0)=3e°=3， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1. 13.3n2+4n 【分析】由题意可知公共项是以7为首项，以6为公差的等差数列，进而结合等差数列的前 n项和公式即可求出结果 【详解】因为数列3n+1}是以4为首项，3为公差的等差数列，数列2n-1}是以1首项，2 为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a}是以7为首项，6为公差的等差数列， 所以{a}的前n项和为7m+-Dx6=3r+4L. 2 故答案为：3n2+4n. 5 14.2 【详解】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去2张牌是2和3，分两类： ①若第1次甲抽到的是2，则乙可以是3或4，比较后甲盒中只有3,4，乙盒中为2,2,3,4： 第2次则甲抽到3，乙抽到4，故概率为=××2×436 12111 ②若第1次甲抽到的是3，则乙抽到了4，比较后甲盒中只有2,4，乙盒中为2,3,3,4；第2 11131 次则甲抽到2，乙可以抽到3或4，故概率为卫= 332424 所以2次此较大小后，甲的牌盒中只利1张扑克牌的率为P=R+R64) 15.(1)n=7 (2)7 【分析】(1)根据二项式系数的概念和组合数计算公式求解； (2)由二项展开式通项公式，令x的指数为0，求出？，从而求出常数项， 【详解】(1)由题意可知，C=3C,则0-少-3， 2 又neN,所以n- =3,解得n=7 二项式x-1 (2) 令42-7r=0,解得r=6, 所以展开式中的常数项为(-1)°C=7 16.(1)4=3n-2,b=2.3"1; 答案第4页，共8页 (2S=81-D+3-3 【分析】(1)根据给定条件，求出公差得数列{a}的通项；利用等比数列性质求出b,q得数 列地}的通项。 (2)由(1)的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解。 【详解】(1)在等差数列{a,}中，4=1，a,=10,公差d=4,4=3, 4-1 所以数列{a}的通项公式为a.=a+(n-1)d=3n-2; 在等比数列b}中，b=bb=36,由b1+g)=b,+b,=60>0,得b2>0, 解得b,=6,q2=9,而q>0,因此q=3, 所以数列b}的通项公式是b,=b,g-2=2.31 （2)由(1)知，Sn=(a+42+…+4)-3(6+b+…+bn) 20+3-2)-3.20-3）-n31-0+331 2 1-3 2 17.(1)[0,+)；(2)7x-y-1=0;(3) 元+2m匹+2x 6 ,k∈Z 【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的值域： (2)求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程： (3)求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解。 【详解】(1)函数f(x)=e-x-1的定义域为R,又f'(x)=e-1, 所以当x>0时f'(x)>0,当x<0时f'(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-n,0)上单调递减，所以f(x)≥f(0)=0, 所以函数f(x)=e-x-1的值域为[0，+o), 2》因为o)=+h2).则/付】月又=5+ 所以r付)7，即切点为传引 ,切线的斜率k=7, 5 1 所以切线方程为y-272,即7-1=0 （3)函数f()x-cosr的定义域为R,又广)sinx, 令f'(x)>0,即号+simx>0,即sinx>-1, 解得-名加<x<名+，tez 6 答案第5页，共8页 6 1 18.(1)4=1,42=0,43=-: 3 1 13 2)a=3b+36≥2刃：a= 44 )(nEN): 3 3 品 【分析】(1)根据给定条件，求出4,42，再利用全概率公式求出4. (2)根据给定条件，利用全概率公式求出an;再结合4，+b,+cn=1及构造法求出通项公式. (3)由(2)的结论，利用条件概率公式列式求解 12 1 11 【详解】(1)依题意，a=L4=0:6=36行所以a=63十，3有 1 题意，当n≥2时，4，=b3C1,1+b士 11 则a,0-a),即a4a,而a-44, 1 13 因此数列a宁是首项为公比为的等比数列，4士子（， 所以红的道顶公式是a身产（学roeN)。 (3)设事件A:第5次球从甲传出；事件C:第3次球从丙传出， 则事件AC表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， 2 2， 2 c=34+3b,=3×0+ 3 3 3391 443=27 21 2 所以pCD=PL4Q.C32S-294 P(49a9721 27 19.(1)(i)[0,3]:(i)证明见解析 (2)(-0,可 【分析】(1)()对函数求导，利用导数判断函数在区间内的单调性； (i)将f(2x)代入不等式，构造新函数，利用导数分析其在给定区间内的单调性，进而证 明不等式： (2)分离参数，构造函数，根据导数分析函数的单调性，结合恒成立条件确定参数范围， 【详解】(1)当a=1时，f(x)=x-sinx, (i)f'(x)=1-c0sx≥0， 所以f(x)在[0,3元上单调递增， 答案第6页，共8页 则f(c)n=f(0)=0,f(e)mx=f(3沉)=3沉， 所以f(x)在区间[0,3π上的值域为[0,3π： (ii)要证明x∈ 02 f(2x)<tanx, 需证明2x-sin2x-tanx<0在0， 上恒成立， 2 g(x)=2x-sin2x-tans,xeo 1 1 则g'(x)=2-2cos2x- =4-4c0s2x+ cos'x 9 cos2x 因为xe0 π 所以cosx∈(0,1)， 1 则4c0s2x+ cos2x ≥4，当且仅当cosr=5时取得等号， 所以g()≤0，则g(y)在区间0， 92 上单调递减， 故g(x)<g(0)=0,即2x-sin2x-tanr<0, 综上可知，xe0,2)f(2d)<tar (2)由(1)可知，当a=1时，f(x)在(0，+o)上单调递增，则f(x)>f(0),即x-six>0. a(r-siny)≤r产在(0，+o)上恒成立转化为as一 在(0，+∞)上恒成立， x-sinx 令h(x)= (x)2xsimco(-2sinw +.xcosx) x-sinx (x-sinx) (x-sinx 令m(x)=x-2sinx+xcoSr,则l(x)=1-cosx-sinx, 令v(x)=l-cosr-xsinx,则v'(x)=-xCOSx, 当（引时.r)<0,所以单调港减。 当xe(任时，(e>0,所以)单调道增， 因为0=0=0，中=m()1-子<0，(=()=2>0， 所以当re(Q,可时，存在唯的ye（仔， 使得m(x)=0, 当x∈(0，x)时，m(x)<0,所以m(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(x。,时，m(x)>0,所以m(x)在(x,π]上单调递增， 答案第7页，共8页 因为(0)=0，（π）=0，所以x∈(0，π]时，(x)≤0， 则当x∈(O,π]时，1(x)≤0，所以h(x)在(0，π]上单调递减， 因此当x∈(0，]时，h(x)≥h()=元. 下面证明当x∈（兀，+o)时，h(x)>π，即证x2>π(x-sinx), 令u(x)=x2-π(x-sinx),x∈（兀，+o),则(x)=2x-π+πc0sx≥2x-2π>0， 所以u(x)在（π，+o)上单调递增，则u(x)>()=0,即x2>(x-sinx), 因此当x∈（兀，+o)时，h(x)>π. 综上可知，实数a的取值范围为(-o,元] 答案第8页，共8页