精品解析：辽宁铁岭市、营口市部分校2025-2026学年高二下学期5月学情调研数学试题

5月份高二年级学情调研 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】此时，． 于是． 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 所以, 故． 3. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 4. 已知x是自变量，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，．故A错误； 对于B选项，．故B错误； 对于C选项，．故C正确； 对于D选项，．故D错误. 5. 记为数列的前n项积，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，由求得，再求和即得． 【详解】由条件知，，， 于是． 6. 记为数列的前n项和，设甲：是等比数列，乙：存在常数k，使得是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】对于充分性，当时，为等比数列， 此时，是公差为1的等差数列，显然其不为等比数列，充分性不成立； 对于必要性，取，，，此时是等比数列． 此时不为等比数列，必要性不成立． 故甲是乙的既不充分也不必要条件． 7. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，并根据导函数定义可得答案. 【详解】因， 则， 于是． 8. 在等差数列中，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得①，， 此时显然，由①可得， 代入②得 即， 整理得，解得或（舍），故． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于对称 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出，根据二次函数的对称性判断A，导数的正负性判断BC，导数的几何意义判断D. 【详解】对于A选项，， 显然曲线关于对称，故A正确； 对于B选项，当时，，单调递减， 故B错误，C正确； 对于D选项，，， 可得曲线在处的切线方程为．即， 故D正确． 10. 在正整数数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 是完全平方数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B，C选项，可采用代入法验证分析，D选项需要将n替换成，再计算分析即可. 【详解】对于A选项，，若，则，矛盾，又因为是正整数数列，故，故A正确； 对于B选项，此时，若，则，矛盾；若，则，矛盾，故．故B正确； 对于C选项，此时，故，故C错误； 对于D选项，将n替换成得，将等式两边同时作为的项数可得，故，于是是完全平方数，故D正确． 11. 现定义“离散有限数列”同时满足以下3个条件：①各项全为正偶数；②从第2项起数列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数m，使得最后一项为m与一个偶数的积，则（ ） A. 1352、104、4是“离散有限数列” B. 当1024、t、2是“离散有限数列”时，t的取值唯一 C. 项数大于或等于3的等差数列一定不是“离散有限数列” D. 当“离散有限数列”的首项是4位数时，末项不可能是48，也不可能是18 【答案】AC 【解析】 【分析】利用“离散有限数列”的定义可判断A选项；设存在、，使得，，推导出，可得出的可能取值，可判断B选项；利用等差数列的定义结合“离散有限数列”的定义可判断C选项；讨论末项的可能取值，并列举出一个符合条件的序列，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，满足②，易知也满足①③． 故1352、104、4是“离散有限数列”，故A正确； 对于B选项，存在、．使得，，所以， 则，所以的值可能是或，即t可能的值有2个，故B错误； 对于C选项，不妨设a、b、c为等差数列的连续3项，若该等差数列为“离散有限数列”， 则存在正整数、，使得，，所以， 由得，所以，由、， 可得，．所以不成立．故C正确： 对于D选项，因为，其中且2为偶数，所以48不满足条件③，所以48不可能是末项， 若末项且n为偶数，则，此时，不满足条件③， 对任意正整数和正偶数p，均有，故18满足条件③， 所以18可能是末项，且9000，180，18是符合条件的一个“离散有限数列”，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一组点通过最小二乘估计得到的回归直线方程为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 回归直线方程一定经过样本中心点， ，即，. 又，. 13. 定义，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的迭代关系求得，然后由导数公式求解． 【详解】注意到，故，，所以，所以． 14. 设首项为0的数列满足，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知平方得出，再根据求和关系得出，最后分奇数偶数计算求解最小值. 【详解】由．得，则， 所以，即，则， 由且可知当n为奇数时，为偶数； 当n为偶数时，为奇数． 所以为偶数，设．则，要使该值最小， 即使更接近11，故当时，的值最小为， 且当的前19项中奇数项均为0，偶数项均为-1， 时满足题意.。 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 近年来某App用户保持连续增长，李明收集了2021～2025年该App在线用户数y（单位：万人）的数据，如表所示． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y 80 150 210 260 300 （1）求x与y的相关系数r（结果保留两位小数）； （2）求y关于x的回归直线方程，并预测2027年该App的在线用户数． 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式为，；相关系数． 参考数据：． 【答案】（1）； （2），预测2027年该App的在线用户数为420万人. 【解析】 【分析】（1）先计算年份代码和用户数的均值，再计算各离差乘积及平方和，代入相关系数公式求解即可； （2）利用最小二乘估计公式求出回归系数和截距，得回归直线方程，再将2027年对应的代码代入计算即可. 【小问1详解】 由题得，， 则，． 【小问2详解】 由（1）可得， 则，， 所以y关于x的回归直线方程为， 当时，，所以预测2027年该App的在线用户数为420万人． 16. 某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 （1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）可以认为学生性别与有无艺术特长无关 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式求解即可； （2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断. 【小问1详解】 因为该校男生有艺术特长的概率为， 记有艺术特长的男生人数为，显然， 于是． 【小问2详解】 因为 ， 故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为学生性别与有无艺术特长无关 17. 记为数列的前n项和，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，得到结论； （2）求出，利用错位相减法和分组求和法进行求解 【小问1详解】 因为， 所以，两式相减得， 即，化简得， 则， 当时，，，则，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，则， 因为，所以， 则，所以， 则． 设①，则②， 式子①-②得， 故， 故． 18. 已知函数． （1）若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2）当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）当时，，令，即可求得定点坐标； （ⅱ）利用切线斜率等于切点处的导数求解即可； （2）先对求导，再分、、三种情况进行讨论即可. 【小问1详解】 （ⅰ）由题得， 因为，所以曲线过定点． （ⅱ）由题得，则， 所以． 又，所以曲线在点处的切线方程为．即． 【小问2详解】 由题得，．则， 对于，， 当，即时，，在上单调递增． 当，即时，由，得， 当时，，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 19. 已知数列满足． （1）证明：单调递减； （2）证明：，并求的前n项和； （3）记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析， （3）当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）通过作商比较法求出,利用组合数公式化简组合数比值,推导出比值为,小于1且数列各项为正,由此证得数列单调递减. （2）构造辅助函数,借助组合数恒等式化简,再结合组合数关系式变形,证得裂项恒等式成立；利用裂项相消求和,中间项全部抵消,代入的值,直接得出数列前项和. （3）先由数列单调性推出相邻两项差值构成的数列也单调递减,依据中位数定义,分、为奇数、为偶数三种情况讨论；利用递减差数列的项大小关系放缩,配对首尾项作不等式累加,结合前项和与中位数的关系式,比较平均数和中位数的大小. 【小问1详解】 由题意可得 因为， 所以． 因为且，所以，故单调递减． 【小问2详解】 令，则， 因为， 所以. 因为，所以． 则，所以得证． ， 又．所以． 【小问3详解】 由（1）可知，设， ，且. 所以，故单调递减． 当时，； 当时，分奇偶情况讨论： 若n为奇数，设，，中位数， 对于任意满足的正整数k，有，，两等式的右端均含有项， 由于单调递减，所以，即， 将这个不等式相加得， 两边同时加上，有， 两边同时除以n，； 若n为偶数，设，，中位数， 对于任意满足的正整数k，有，， 同理，两等式含有的项数相同且递减， 故，即， 将这个不等式相加得， 加上中间两项，得， 两边同时除以n．得． 综上，当时，，当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月份高二年级学情调研 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知x是自变量，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前n项积，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 记为数列的前n项和，设甲：是等比数列，乙：存在常数k，使得是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 7. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于对称 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线方程为 10. 在正整数数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 是完全平方数 11. 现定义“离散有限数列”同时满足以下3个条件：①各项全为正偶数；②从第2项起数列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数m，使得最后一项为m与一个偶数的积，则（ ） A. 1352、104、4是“离散有限数列” B. 当1024、t、2是“离散有限数列”时，t的取值唯一 C. 项数大于或等于3的等差数列一定不是“离散有限数列” D. 当“离散有限数列”的首项是4位数时，末项不可能是48，也不可能是18 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一组点通过最小二乘估计得到的回归直线方程为，且，则______． 13. 定义，，，若，则______． 14. 设首项为0的数列满足，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 近年来某App用户保持连续增长，李明收集了2021～2025年该App在线用户数y（单位：万人）的数据，如表所示． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y 80 150 210 260 300 （1）求x与y的相关系数r（结果保留两位小数）； （2）求y关于x的回归直线方程，并预测2027年该App的在线用户数． 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式为，；相关系数． 参考数据：． 16. 某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据． 有艺术特长 无艺术特长 男 250 100 女 350 150 （1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 记为数列的前n项和，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求的前n项和． 18. 已知函数． （1）若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）当时，讨论的单调性． 19. 已知数列满足． （1）证明：单调递减； （2）证明：，并求的前n项和； （3）记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $