精品解析：山东济南市2026届高三5月针对性训练数学试题

绝密★启用并使用完毕前 济南市2026届高三针对性训练 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. Ü D. Ü 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 8 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. C. 若，则 D. 若为的中点，则 11. 若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的值为________． 13. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国内某摩托车企2025年3月—9月新车月销售量y（单位：百台）的数据如下表： 月份 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 1 2 3 4 5 6 7 月销售量y 11 16 18 21 24 28 29 计算得． （1）求y关于x的线性回归方程； （2）现从这7个月的月销售量数据中随机抽取3个，记抽取的数据中不低于20（单位：百台）的数据个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 16. 如图，在三棱台中，平面，，且，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前2n项和． 18. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 19. 已知，，…，是平面直角坐标系xOy内的点，且和在抛物线上．记的坐标为，对于任意，都有，且直线与C相切． （1）当时，证明：； （2）已知函数． （ⅰ）若，，证明：； （ⅱ）证明：． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用并使用完毕前 济南市2026届高三针对性训练 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，可知虚部为. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得，故B正确. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. Ü D. Ü 【答案】C 【解析】 【详解】或，，所以，所以A错误； 或，，所以Ü，所以，所以B错误，C正确； 由Ü，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】已知，， 则，， 所以， 则. 5. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程代入双曲线方程应用韦达定理求解. 【详解】由得，由已知得，解得（舍去）. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】可知，则含的项为， 即. 7. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 8. 在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据相邻对称轴距离求出函数周期，计算得到ω；对B，利用奇函数定义判断；对C，换元判断函数单调性；对D，根据图象变换求解判断. 【详解】对于A：因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，即，所以， ，A正确； 对于B：由选项A分析可知，所以， 令，则定义域为，且，所以是奇函数， 所以为奇函数，B正确； 对于C：由，得，令， 因为在单调递减，在单调递增，所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：函数的图象向左平移个单位长度，得到，D正确. 10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. C. 若，则 D. 若为的中点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 11. 若数列，，，…，由m个1和n个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”．记“数列”的个数为．已知数列，，，…，为“数列”，则（ ） A. B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列新定义分析各选项，A中是直接写出符合题意的新数列进行判断，BC是结合系数及新数列的特征确定的位置然后求和判断，D是根据新数列的定义确定最后一项的取值进行分析判断. 【详解】对A，就是3个1和3个，要满足，第一个是1，最后一个一定是，因此数列有：；；；；共5个，A错 对B，若，即有个1和个，要使得取最大值，系数大的尽可能取1，当数列取，可以证明为最大值，B正确； 对C，若，即有个1和个，要使得取最小值，系数大的尽可能取，数列取，，可证它是最小值，C正确； 对D，对数列，由于，所以， 所以，所以数列中，可以是1也可以是， 若，则是数列， 若，则是数列， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为是周期为2的偶函数，所以， 因为当时，，所以. 14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交椭圆于点，则与关于原点对称，进而推得 ，由椭圆定义及勾股定理求得的长度，进一步求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知 ， 由椭圆的对称性可知， ，， 因为，所以，所以， 设 ，则，所以 ， 则，即，解得， 所以 ，所以点是椭圆的上顶点，过点作 轴，垂足为， 则，所以 ，即， 由 得，所以的离心率 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 国内某摩托车企2025年3月—9月新车月销售量y（单位：百台）的数据如下表： 月份 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号x 1 2 3 4 5 6 7 月销售量y 11 16 18 21 24 28 29 计算得． （1）求y关于x的线性回归方程； （2）现从这7个月的月销售量数据中随机抽取3个，记抽取的数据中不低于20（单位：百台）的数据个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据所给数据，结合参考公式直接计算，即可求解； （2）写出X的所有可能，求对应概率即可得出分布列，由期望公式计算期望即可. 【小问1详解】 ，，，根据参考数据可得， ， 所以，故y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 数据中不低于20（百台）的月份：6月、7月、8月、9月，共4个； 低于20（百台）的有3个，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， ；； ；； 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为. 16. 如图，在三棱台中，平面，，且，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 因为，所以，故平面平面. 【小问2详解】 当时，则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 又因为，所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 18. 已知函数． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值； （2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. 【小问2详解】 若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点， 则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为， 由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即， 所以实数m的取值范围为. 19. 已知，，…，是平面直角坐标系xOy内的点，且和在抛物线上．记的坐标为，对于任意，都有，且直线与C相切． （1）当时，证明：； （2）已知函数． （ⅰ）若，，证明：； （ⅱ）证明：． 参考公式：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求抛物线在，处的切线方程，两切线交点为，可证结论. （2）（ⅰ）根据（1）的结论，表示出，设，，利用导数分析函数的单调性，即可证明结论. （ⅱ）当时，根据（1）的结论，表示出，设，，用导数分析函数的单调性，即可证明结论；当时，可用的结论进行证明. 【小问1详解】 如图： 因为，所以. 当时，因为，在抛物线上， 过点的抛物线的切线方程为； 过点的抛物线的切线方程为. 所以， 所以， 因为，所以，即. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，由（1）可知，，所以,,. 所以，. 所以. 令（）， 则， 则， 因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增. 因为，所以，故，即. （ⅱ）记与切于点，设，. 由题意知，，. 先证明当时命题成立： 此时即为，即为， 所以抛物线：在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为. 由（1）可知，点的横坐标为， 故（其中）， 同理有， 所以， 记（其中）. 设， 则. 注意到， 从而，在上单调递增，故， 从而，命题成立. 对于任意的， 注意到， 所以. 由时情况可知，（）， 所以， 注意到即为，即为， 从而，命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $