精品解析：山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三下学期5月高考模拟考试数学试题

山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2025.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】因为,所以, 故选：A. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，进而求得，得到答案. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：B. 3. 如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归方程即可解出． 【详解】因为，所以当时， ． 故选：D． 4. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）． 故选：C． 5. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和正切公式求出的值，进而得出为钝角，再结合常数“1”的代换和齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】由题意得，因此为钝角， 所以. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知，又， 所以为等边三角形， 为准线与轴的交点)， 抛物线焦点，准线，， 故 故. 故选：C 7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式得，再应用正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】A选项， ， 所以的图象上最高点和最低点间距离的最小值为， 所以，可得，A对； B选项，由，则， 又，故， 要想的图象在上单调递增， 需满足，可得，B错； C选项，由的图象关于轴对称， 所以，可得， 由，故当时，取得最小值，最小值，C对； D选项，对，恒成立， 即的图象关于对称， 所以，则，故满足要求， 显然存在ω，对，恒成立，D对. 故选：ACD 10. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 记，则的面积； C. 若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以， 所以 ， ，，， 双曲线的方程为：， 若，则，所以，故A正确； 对于B，因为的面积，故B错误； 对于C，若，则，，，双曲线的方程为， 直线的方程为，联立，消得， 则， 解得且，故C错误； 对于D，若，则，，，双曲线方程为， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点， 轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有 ，， 设，所以， 显然，当，即，即取得最小值8， 记的内切圆面积为，的内切圆面积为， 故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B. 若平面，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得到各点坐标，对于A，求出平面的法向量，根据线面平行可得，再借助基本不等式即可得解；对于B，借助空间向量计算即可；对于C，利用点到平面距离公式计算即可；对于D，利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则有 ， 则，， 对于A： 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，故 因为，平面， 所以，得， 又因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，故B错误； 对于C：若，则， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D：，当，时，， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可. 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：. ∴通项公式， 令，解得. ∴展开式中含项的系数为. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质结合题意可得，再由等比数列的性质化简计算式可得答案. 【详解】由可得， 若，则与矛盾， 所以， 则. 故答案为：. 14. 定义的区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由图象平移的性质得到区间长度与原题一致，再构造函数，利用导数分析单调性，利用对称性仅考虑即可，然后等于，大于和小于三种情况讨论，结合三次韦达定理求解. 【详解】由题意，为向右平移得到，即区间长度与原题一致， 不妨设，易得或， 即在和上单调递增，在上单调递减， 由关于对称，仅考虑即可，当分类讨论： 当时， 易得，即； 当时， ； 当时， 如下图， 不妨设的三个跟分别为， 不妨设的三个跟分别为， 由三次韦达定理可得 ， 综上，当且仅当时，. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 16. 已知数列是公差为2的等差数列，满足． （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，若，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为5． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式写出表达式，再结合这个条件，代入与表达式，通过等式计算求出首项，进而得到通项公式.也可令，利用和公差求出. （2）先由第一问得到的通项公式，根据等差数列前项和公式求出.再结合列出不等式，将其转化为一元二次不等式，求解不等式得到的取值范围，最后根据取值范围确定的最大值. 【小问1详解】 因为数列是公差为2的等差数列，所以， 由可得，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得， 由得，即，解得， 由于，所以，所以的最大值为5． 17. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求，再分类讨论大于和小于时的正负即可得到函数的单调性； （2）分和讨论的单调性以及值域，再由得到的单调性，当时，构造函数利用导数结合零点存在定理分析； （3）先根据（2）中得到的的单调性画出其大致图象，再由（1）中的结论分类讨论，求出值域，最后由恒成立，确定的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 证明：由，则， 当时，，，且等号不同时成立， 则； 当时，，，故， 设，则， 故函数在区间上单调递减， 又，， 故存在使得， 当时，，当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 存在，使得， 故函数存在两个零点． 【小问3详解】 解：设，， 由（2）可得函数的图象如图所示： 当时，因为，， 则，即恒成立； 当时，函数在区间上单调递减， 又，当时，， 存在，使得， 当时，， 故存在，使，即，与题设矛盾； 当时，函数的极大值为，即， 当时，即当时，， 故，即恒成立， 当时，即时，存在， 使，即，与题设矛盾． 综上，实数的取值范围为． 18. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则四边形为平行四边形，根据平行四边形性质及基本事实4可知，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）令，则，，，然后由两角和的正切公式得，然后利用基本不等式求解最值. （3）利用等体积法得，问题化为求、到平面距离之和都最大，应用直线与椭圆位置关系求最大，即可得解. 【小问1详解】 由题设，长轴长，短轴长，则， 所以分别是的中点，而柱体中为矩形，连接， 由， 故四边形为平行四边形，则， 当为的中点时，则，故， 面面，故平面. 【小问2详解】 由题设，令，则，又， 所以，，则， 因为， 当且仅当，即上式取等号，所以. 【小问3详解】 由， 正方形中为中点，易得与重合时与垂直， 此时， 则最大值为， 构建如上图空间直角坐标系且，底面椭圆方程为， 设， 设，联立椭圆得，且， 所以， 而， 所以，令，则， 由对勾函数性质知在上递增，故， 由， 综上，. 19. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 【答案】（1）大约有71人 （2）(ⅰ)分布列见解析，；(ⅱ)证明见解析， 【解析】 【分析】(1)根据线性回归方程系数公式求解出回归直线方程，再将代入计算即可； (2)先求出数列通项公式，再根据聚点数列的定义证明即可. 【小问1详解】 解：，． ， ． ， ． 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人． 【小问2详解】 解：(ⅰ)的可能取值为． ； ； ； 所以的分布列为： X 0 1 2 P ． (ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东师范大学附属中学2025届高三年级高考模拟考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2025.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位)，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（ ） A. 9亿元 B. 9.5亿元 C. 10亿元 D. 10.5亿元 4. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 5. 已知为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过 作的垂线，垂足为.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 若的图象上最高点和最低点间距离的最小值为，则 B. 若的图象在上单调递增，则ω的取值范围是 C. 若的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为2 D. 存在ω，对，恒成立 10. 已知双曲线左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 记，则的面积； C. 若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则最小值为 B 若平面，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____. 14. 定义区间长度为．若且关于的不等式的解集的区间长度之和为，则当取最大值时，实数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线长． 16. 已知数列是公差为2的等差数列，满足． （1）求的通项公式； （2）设前项和为，若，求的最大值． 17. 已知，函数，． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：函数存在两个零点； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 19. 近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力． （1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ （2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $