考点通关50 最大角定理和最小角定理4种常见考法归类讲义-2025-2026学年高一数学下学期期末复习考点通关(人教A版2019必修第二册)

2025-2026学年高一数学下学期期末复习考点通关(人教A版2019必修第二册) 考点通关50 最大角定理和最小角定理4种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用三余弦定理比较空间角的大小 题型2 利用三余弦定理处理线线角 题型3 利用三余弦定理处理线面角 题型4 三正弦定理的应用 1三余弦定理 如图1所示，若斜线与平面所成角为,平面内的一条直线与这条斜线及的射影所成的锐角分别为,,则有. 图1 证明：过点作于,连接,则.在Rt中,,在Rt中,,在中,,所以有,结论成立. 说明(1)公式特征:两个互相垂直的平面内(A-的两条直线所成角的余弦等于这两条直线与另一个平面所成角与,即这两条直线与交线所成的锐角)的余弦的乘积. (2)因为均为锐角，且,所以,由此可知,一条斜线与已知平面中的任一条直线所成的角中,线面角最小,此即为最小角定理. 2三正弦定理 如图 2,设二面角 的度数为锐角 ,在平面 上有一条射线 ,它与棱 所成角为锐角 ,与平面 所成角为锐角 ,则有 . 图2 说明 由 ,可知 . 这表明二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值, 即二面角是线面角的最大值, 故此定理又称最大角定理. 记忆方法 线面角 的正弦等于线棱角 的正弦与二面角 的正弦之积. 证明：在图2中,由 平面 ,可得 . 题型1 利用三余弦定理比较空间角的大小 【例1】设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点),记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为,则( ). A. B. C. D.不能确定 【分析】由于点是动点,所以直线也是动直线,如果直接求与的值,再去比较它们的大小,会比较麻烦.但我们注意到为与平面所成的角,而在平面内,因此,利用最小角定理即可得到结论. 【解析】由于直线在平面内,且与平面所成角为，由最小角定理知，选B. 【变式1】已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】显然选A 【变式2】已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角， 故与内直线所成角的最小值为，当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为.故选：D. 【变式3】（多选）如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且平面，下面结论正确的是（   ） A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【解析】如图，设，，的中点分别为，，， 则，所以平面与正方体的截面为等腰梯形， 又易知，，截面等腰梯形的面积为，所以D选项正确； 易知，，且，所以平面平面， 又点在侧面（包括边界）上运动，且平面， 所以点的运动轨迹为一条线段，所以A选项正确； 因为的面积为定值，又易知平面，在线段上， 所以到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积是定值，所以C选项正确； 因为， 所以根据最小角定理可知直线与所成角的最大角小于45°， 所以B选项错误．故选：ACD． 题型2 利用三余弦定理处理线线角 【例2】如图,已知点在正方体的对角线上,.求与所成角的大小. 【分析】因为平面与平面垂直,且它们的交线为,所以由,利用三余弦定理可求得,而与所成角与互余,问题得以解决. 【解析】设与所成的角为,因为,则.因为平面与平面垂直，由三余弦定理得 所以, 所以,即. 【变式1】为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角的直角边所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线与成角时,与成角; ②当直线与成角时，与成角; ③直线与所成角的最小值为; ④直线与所成角的最小值为. 其中正确的是_____(填写所有正确结论的编号). 【分析】这是一个动态的问题,我们先根据题意,画出图形.如图所示,设为直线为直线,过分别作的平行线,则直线与直线所成的角分别为,.注意到,当斜边以直线为旋转轴旋转时,平面始终与所确定的平面是垂直的,设,由题意可知.由三余弦定理可以得到与的关系,然后进行判断. 【解析】根据三余弦定理,有,同理,有,由此可以判断命题②③正确. 题型3 利用三余弦定理处理线面角 【例3】如图所示,四边形为正方形,分别为,的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置，且. (1)证明:平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【分析】在解决问题(2)时，因为平面平面,所以过点作于,则平面,因此有平面平面,连接,则有,而为与平面所成的角. 【解析】(1)由已知可得,,且平面于,所以平面.又平面,所以平面平面. (2)作，垂足为，由(1)知，平面,不妨设,则,从而,又,所以,于是,所以斜线角为,因为，设与平面所成角为,则由三余弦定理知,从而,即. 【变式1】如图所示，在三棱台-DEF中，平面平面. (1)证明:； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】(1)因为,所以要证明,只需证明.由于平面平面,且分别在平面与平面内,因此由三余弦定理有. (2)过点作于，因为，所以与平面所成角为与平面所成角.由,得点在平面上的射影在的角平分线上.在直二面角中,由三余弦定理可得.,从而可以求出与平面所成角即与平面所成角的余弦(正弦)值. 【解析】(1)如图所示,因为平面平面,所以过作于,连,则平面.由三余弦定理,由,得,即,因为,所以.因为,所以. (2)如图所示，过点作于,因为,所以点在平面上的射影一定在的平分线上.设直线与平面所成角为,因为,所以与平面所成角也为.由(1)知,由三余弦定理知,即,所以,从而,即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】正四面体中，O为的重心，则_______. 【分析】四面体中AB，BO，BD分别为斜线，射影和同点线，故可以联想三余弦定理. 【解析】如图，由三余弦定理，， 显然，，所以. 【变式3】如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【答案】45° 【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦定理，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°．    【变式4】在中，，，，P是平面外一点，，则直线与平面所成的角为 . 【答案】45° 【详解】解法一：如图l，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，作于E，∵平面，∴，故平面，从而，不妨设，则， ，∴，从而，故直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作平面于D，由可得D应落在的平分线上，∴，由三余弦定理，， 从而， 故，即直线与平面所成的角为45°．    题型4 三正弦定理的应用 【例4】如图,已知是正三棱柱,是的中点.若,求二面角的平面角的大小. 【解析】取的中点,连结,则为在平面上的投影.因为,所以.设垂足为点,则在中,易知有.,即,解得. 所以,由此可得.又,由三余弦定理,易得,即得. 又由三正弦定理,可得,所以,得. 【变式1】（多选）已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于面，根据最大角定理，平面内的任意一条直线与面所成的角的最大角为的平面角是，所以，由于面，根据最小角定理，斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角，所以；故选：AD． 【变式2】（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点．则下列判断正确的是（   ） A．面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．面与面的平面角的正弦值为 【答案】ABCD 【解析 】 如图，连接交于，连接， 易知为中点，，所以面，选项A正确； 易知面，故C正确； 对于B，法一：延长交于点，连接． 则为平面与平面的交线，由于为中点．所以． 四边形为平行四边形．所以， 即为异面直线与所成角， 所以，，， ， 法二（对角线向量定理）： ，故B正确； 对于D，法一（三正弦）：平面．则平面平面． 从而三面角为“直三面角”． 分离后设，，， 二面角的平面角为，且，． 则在中，．在中，． 在中，． 所以． 法二（面积射影）：如图，过作于， 易知在平面的射影为，设二面角大小为， 所以，所以，故D正确，故选：ABCD． 【变式3】（多选）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，．则下列判断正确的是（   ） A．面面 B． C．二面角的正弦值为 D．求二面角的正弦值为 【答案】ABD 【解析 】 易知面面面，A正确； 面，设交于点，连接，易知于， 设，在平面内，此时，， 所以，所以，B正确； 针对CD，法一（三正弦）：设二面角为， 则由鳖臑（直三面角）基本关系得：，， 所以二面角的正弦值为． 如图，设二面角为．则由鳖臑（直三面角）基本关系得： ，． 所以二面角的正弦值为， 法二：设二面角为，过作于， 易知在平面的射影为，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 设二面角为，， 易求得，， 所以二面角的正弦值为 C错误；D正确．故选：ABD． $2025-2026学年高一数学下学期期末复习考点通关(人教A版2019必修第二册) 考点通关50 最大角定理和最小角定理4种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用三余弦定理比较空间角的大小 题型2 利用三余弦定理处理线线角 题型3 利用三余弦定理处理线面角 题型4 三正弦定理的应用 1三余弦定理 如图1所示，若斜线与平面所成角为,平面内的一条直线与这条斜线及的射影所成的锐角分别为,,则有. 图1 证明：过点作于,连接,则.在Rt中,,在Rt中,,在中,,所以有,结论成立. 说明(1)公式特征:两个互相垂直的平面内(A-的两条直线所成角的余弦等于这两条直线与另一个平面所成角与,即这两条直线与交线所成的锐角)的余弦的乘积. (2)因为均为锐角，且,所以,由此可知,一条斜线与已知平面中的任一条直线所成的角中,线面角最小,此即为最小角定理. 2三正弦定理 如图 2,设二面角 的度数为锐角 ,在平面 上有一条射线 ,它与棱 所成角为锐角 ,与平面 所成角为锐角 ,则有 . 图2 说明 由 ,可知 . 这表明二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值, 即二面角是线面角的最大值, 故此定理又称最大角定理. 记忆方法 线面角 的正弦等于线棱角 的正弦与二面角 的正弦之积. 证明：在图2中,由 平面 ,可得 . 题型1 利用三余弦定理比较空间角的大小 【例1】设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点),记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为,则( ). A. B. C. D.不能确定 【变式1】已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且平面，下面结论正确的是（   ） A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 题型2 利用三余弦定理处理线线角 【例2】如图,已知点在正方体的对角线上,.求与所成角的大小. 【变式1】为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角的直角边所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线与成角时,与成角; ②当直线与成角时，与成角; ③直线与所成角的最小值为; ④直线与所成角的最小值为. 其中正确的是_____(填写所有正确结论的编号). 题型3 利用三余弦定理处理线面角 【例3】如图所示,四边形为正方形,分别为,的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置，且. (1)证明:平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式1】如图所示，在三棱台-DEF中，平面平面. (1)证明:； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式2】正四面体中，O为的重心，则_______. 【变式3】如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．    【变式4】在中，，，，P是平面外一点，，则直线与平面所成的角为 . 题型4 三正弦定理的应用 【例4】如图,已知是正三棱柱,是的中点.若,求二面角的平面角的大小. 【变式1】（多选）已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点．则下列判断正确的是（   ） A．面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．面与面的平面角的正弦值为 【变式3】（多选）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，．则下列判断正确的是（   ） A．面面 B． C．二面角的正弦值为 D．求二面角的正弦值为 $