平行关系的证明期末专题复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间平行的八种常见解法 一．基本原理 1．直线、平面平行的判定及其性质 在空间平行的证明中，线面平行的证明是最常见的，而线面平行的证明主要是证明空间线线平行，其主要的手法有： （1）构造中位线证明平行 （2）利用相似比证明平行 （3）构造平行四边形证平行 （4）利用线面平行性质证平行 二．典例分析 题型1.构造中位线证明平行 题型2.利用相似比证明平行 题型3.构造平行四边形证平行 题型4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行） 题型5.利用线面平行性质证（找）平行 题型6.利用面面平行证线面平行 题型7.面面平行的证明 题型8.空间向量证明平行 例1．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．证明： 平面. 解析:证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以,所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面 2.利用相似比证明平行 例2．如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.证明：平面. 解析：取中点，连接，如图，由题意，，又.又，故， 所以四边形为平行四边形，则，又面平面， 故平面. 3.构造平行四边形证平行 例3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．证明：BE平面PAD 解析：（1）取中点，连接． ，四边形为平行四边形，，又不在平面平面，平面． 4.利用线面垂直证线线平行（垂直于同一个平面的两直线平行） 例4．如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．证明：平面. 解析：如图，取的中点，连接，则，又因为平面平面，且平面平面，平面，则平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面． 5.利用线面平行性质证（找）平行 线面平行的性质除了可以找到线线平行之外，还给出了一个找面与面交线的方法，这在很多面面相交，但交线未知的问题中会用到该结论. 例5．如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为.设平面与平面的交线为，求证：. 解析：取的中点，连接，因为，所以， 又平面，所以平面，又因平面，所以，因为平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，平面，所以，因为，所以. 例6．如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，，，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面. 解析：因为分别为的中点，所以，.又平面，平面， 所以，平面.又平面，平面与底面的交线为，所以，. 从而，.而平面，平面，所以，平面. 6.利用面面平行证线面平行 例7.如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，，劣弧上是否存在点D，使得平面？ 解析：如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，， 因为∥，平面，平面，则 ∥平面，同理可证∥平面，，且平面，平面，所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面，故存在点满足题意. 7.面面平行的证明 例8．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.证明：平面平面. 解析：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面. 8.空间向量证明平行 例9.在正方体中，分别为的中点，则 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 解析：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以， 又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；接下来的选项通过向量法来分析. 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ，则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A. 三．习题演练 一、单选题 1．已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题： ①，相交且都在平面，外，，，，，则； ②若，，则； ③若，，，则． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 3．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 4．在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（ ） A．平面，且四边形是矩形 B．平面，且四边形是梯形 C．平面，且四边形是菱形 D．平面，且四边形是平行四边形 二、多选题 5．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6．设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 8．如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 9．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 10．如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：． 11．如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证: 直线平面; (2)求异面直线、所成角的大小. 参考答案 1．B 【详解】①因为相交，所以共面，设这个平面为， 因为，，，，相交，所以， 同理可得， 所以，故①正确； ②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，， 故②错； ③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错. 故选：B. 2．B 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    3．A 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 4．B 【详解】如图所示，在平面内，​ ，又平面，平面 平面． 分别是的中点， ． 又​， ．在四边形中，且​ 四边形为梯形． 故选：B． 5．ACD 【详解】对于A，由面面平行的传递性可知A正确； 对于B，若，则或与相交，所以B错误； 对于C，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确； 对于D，因为，所以，同理， 由平行线的传递性可得，所以D正确． 故选：ACD. 6．AD 【详解】对于A，因为，由线面平行的判定定理知A正确； 对于B，若，则可能异面，故B错误； 对于C，若，则可能相交，故C错误； 对于D，若，则，由面面平行的性质定理知D正确. 故选：AD. 7．ABD 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 8． 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 9．【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线， 则， 又平面，平面， 所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 由（1）知平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 10．【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面. （2）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 11．【详解】（1）由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2）由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$