精品解析：北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

北京四中2025~2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分 考试时间：120分钟 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式求出答案. 【详解】. 故选：C 2. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 以网格左下角为坐标原点建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1， ∴ 可得，. ∴ . 3. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 角的终边在第三象限， ∴ . ∵ ，， ∴ . ∴ . 4. 化简（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】 . 5. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 6. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 又，则，所以. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意， ， 由函数为偶函数，得 ， 解得 ，当时，，A是； 不存在整数，使得 ，BCD不是. 8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合数量积的定义推理判断. 【详解】由，得， 反之，当时，，而不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 9. 已知向量，，其中，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值． 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． 10. 对于函数 ，以下判断正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上恰有个零点 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角余弦公式将函数转化为关于的二次函数，再结合三角函数的性质逐一分析选项即可. 【详解】由二倍角余弦公式得，令，， 则. 对选项A： ∵ ， 显然 ，故不是的周期，A错误. 对选项B： 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴ ，即的最大值为，B错误. 对选项C： 若的图象关于直线对称，则对任意都满足. ∵ ， ， 显然 不恒成立，故的图象不关于直线对称，C错误. 对选项D： 令，即，整理得， 解得. ∵ ，舍去，故. ∵ ，在第三、第四象限各有一个解满足， 即在上恰有个零点，D正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 已知角终边经过点，则_______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用三角函数定义及二倍角公式求解. 【详解】由角终边经过点 ，得， 所以. 12. 已知，是两个单位向量，且，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及夹角公式求解. 【详解】由单位向量满足，得 ， 解得，因此， 而，所以. 13. 已知函数，，且在区间上的最小值是，则_______，的一个可能的取值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合特殊角的三角函数值求出，再利用正弦函数性质求出范围即可. 【详解】函数，由，得，而，因此； 函数，由 ，得， 显然， 由在上的最小值是，得 ， 即，解得，所以的一个可能的取值为4. 14. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围． 【详解】如图以、所在直线分别为、轴，建立平面直角坐标系， 设点，易知以为直径的左半圆的方程为：， 以为直径的右半圆的方程为：， 点的横坐标的取值范围是， 又，， ． 故答案为： 15. 已知函数．给出下列四个结论： ①任意，函数的最大值与最小值的差为2； ②存在，使得对任意，； ③当时，对任意非零实数x，； ④当时，存在和，使得对任意，都有． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】取判断①；取化简后判断②；先化简，取判断③；取判断④. 【详解】对于①，当时，，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，①错误； 对于②，当时，， ， 因此对任意， ，②正确； 对于③，，， 当 时，，③错误； 对于④，当时，，取，，使得对任意， 都有，④正确. 三、解答题：本大题共3小题，共35分 16. 已知向量． （1）若，求实数k的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出值，进而求出向量的模. （3）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 由向量，，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 因此 ，所以. 【小问3详解】 由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此且，解得且， 所以实数k的取值范围是. 17. 某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 （1）根据上表中数据，求出，的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合“五点法”的对应取值，列关于和的方程组求解即可. （2）将看作整体，代入正弦函数的单调递减区间求解不等式即可. （3）先求得内层函数在给定区间的取值范围，再结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【小问1详解】 ∵ 由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时， . ∴ 列方程组得 ，两式相减得 ，解得. 将代入 ，解得，满足. 故，. 【小问2详解】 由（1）得. ∵ 正弦函数的单调递减区间为 . ∴ 令 . 解左边不等式： ，即 . 解右边不等式： ，即 . 故函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 当时，∵ . 令，则. ∵ 当时，取得最小值；当时，取得最大值. ∴ ，即在区间上的值域为. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． （1）设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； （2）当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】（1）； （2）或； （3）米. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【小问1详解】 依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. 【小问3详解】 依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 卷（Ⅱ） 一、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分 19. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，得出，再结合两角和差的正弦公式分析求解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 20. 如图，在扇形OAB中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立以为原点的坐标系，设并表示出点的坐标，进而求出平行四边形周长，再借助三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【详解】依题意，以O为原点，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 设，则，， 则，，， ， 平行四边形的周长， 由，得，则， 所以平行四边形的周长的取值范围是. 21. 已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，，区间与的区间长度相同； 取，则，此时，，故A可能； 取，则，此时，，故B可能； 取，则，此时，，故C可能； 由三角函数性质可知，假设，成立，必然有， 所以区间与的区间长度大于，根据的函数图象可知， 当区间长度大于，在区间与上的取值必然有正有负， 此时，，故与假设矛盾，故D不可能. 故选：D 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 22. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由点坐标得到对应角的正余弦值，再结合旋转后角的余弦即为点横坐标，利用三角恒等变换公式计算即可. 【详解】设以轴正半轴为始边，射线为终边的角为. ∵ 点，∴ 由三角函数的定义得，. ∵ 点绕原点逆时针旋转得到点，∴ 点对应的终边角为， ∴ 点的横坐标为.又， ∵ ，， ∴ 代入得：. 【点睛】方法归纳：解决点绕原点旋转的坐标问题，可通过三角函数的定义将点坐标转化为对应角的正余弦值，结合旋转后角的正余弦值即可得到旋转后的点坐标. 23. 已知函数． ①若，则______； ②若，使成立，则的最小值是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数化简为正弦型函数，第一问代入指定值计算即可；第二问结合正弦函数的值域特征，明确成立的条件，结合三角函数周期性推导的最小值. 【详解】. ① 当时，， . ② 的最大值为，最小值为， 的最大值为. 要使，成立，则需满足且. 此时可得： ， ， 两式作差得 ，令 ，即. 又， 当时，取得最小值为. 24. 已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据新定义先得到①②正确，③错误，然后在和的情况下推导出矛盾，从而得到，即④正确. 【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等. 这表明对任意的，当且仅当，有. 将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点. 因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则， 若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素， 则至多个元素，； 当是第二小的距离时，则， 若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以； 所以①②正确，③错误； 对于④，假设，. 由于， 故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点. 特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 不妨设，并记为点， 则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 对两个不同点，记直线的倾斜角为. 假设存在使得，不妨设， 则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾. 所以两两不相等，不妨设. 由于，，故，， 所以. 故，同理. 而对，有或， 故. 所以，这意味着，矛盾. 这表明假设不成立，所以，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”. 三、解答题：本大题共2小题，共23分 25. 已知函数在上单调，再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，使得函数存在且唯一确定． （1）求的值和函数图象的对称轴； （2）若存在，使得，求实数m的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）条件①③：，；条件②：，； （2）条件①③：；条件②：. 【解析】 【分析】（1）利用差角余弦公式、二倍角余弦公式及辅助角公式化简函数，进而求得，分别考虑条件①②③，利用正弦函数性质求解. （2）由（1）中信息，结合正弦函数性质求解. 【小问1详解】 函数， 当时，，由函数在上单调， 得，而，解得， 条件①：，则，而，因此， 解得，，由，解得， 所以，函数图象的对称轴为. 条件②：，则，而，因此， 解得，，由，解得， 所以，函数图象的对称轴为. 条件③：，则，而， 因此，解得，，由，解得， 所以，函数图象的对称轴为. 【小问2详解】 条件①：，由，得， 由，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 条件②：，由，得， 由，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 条件③：，由，得， 由，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 26. 已知：集合，其中 ．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质： ①中元素个数不少于个． ②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集． （）若为的一个好子集，且，，写出，． （）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过． （）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是． 【答案】(1) ，． (2) 证明见解析. (3)证明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）根据好子集的定义直接写出Z，W； （2）若S为的一个好子集，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 详解：（），． （）对于，考虑元素； 显然，，，，对于任意的，，，不可能都为， 可得，不可能都是好子集中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，, 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （），，定义元素，的乘积为 ，显然． 我们证明“对任意的，都有．” 假设存在，使得，则由（）知， ． 此时，对于任意的，，，不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的坐标分量都为． 所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 点睛：解决集合新定义问题的方法 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京四中2025~2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分 考试时间：120分钟 卷（Ⅰ） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. （ ） A. B. C. D. 2. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知角的终边在第三象限，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 化简（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知向量，，其中，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 对于函数 ，以下判断正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上恰有个零点 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 已知角终边经过点，则_______ 12. 已知，是两个单位向量，且，则 _______ 13. 已知函数，，且在区间上的最小值是，则_______，的一个可能的取值为_______． 14. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为____． 15. 已知函数．给出下列四个结论： ①任意，函数的最大值与最小值的差为2； ②存在，使得对任意，； ③当时，对任意非零实数x，； ④当时，存在和，使得对任意，都有． 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题：本大题共3小题，共35分 16. 已知向量． （1）若，求实数k的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 17. 某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 （1）根据上表中数据，求出，的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求函数在区间上的值域． 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． （1）设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； （2）当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 卷（Ⅱ） 一、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分 19. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在扇形OAB中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 21. 已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 22. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 23. 已知函数． ①若，则 ______； ②若，使成立，则的最小值是______． 24. 已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本大题共2小题，共23分 25. 已知函数在上单调，再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，使得函数存在且唯一确定． （1）求的值和函数图象的对称轴； （2）若存在，使得，求实数m的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 26. 已知：集合，其中 ．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质： ①中元素个数不少于个． ②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集． （）若为的一个好子集，且，，写出，． （）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过． （）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $