精品解析：北京市第十四中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

北京十四中2024—2025学年度第二学期 期中检测 高一数学测试卷 2025.04 注意事项 1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 出题人：高一备课组 审核人：高一备课组 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 2 5. 下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 6. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10 关于函数，给出下列三个命题： ①周期函数； ②曲线关于直线对称； ③最大值为2； ④在区间上给有3个零点． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为__________． 12. 已知角为第一象限角，且，则__________． 13. 如图，正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点，则__________． 14. 已知函数，则的对称轴方程为__________；将的图象向左平移个单位得到函数，若的最大值是一个小于1的正数，则符合条件的一个__________． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调区间； ③在上无最大值； ④若，则． 其中所有正确结论的序号为__________． 三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知平面向量，，，且． （1）求与； （2）若，，求向量与夹角的大小． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）已知，求中最大的角； （2）已知，求的面积． 18. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 19. 函数（，，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并求出函数的单调递增区间： （2）在中，若且，试判断三角形的形状，并说明理由． 20. 已知函数． （1）化简函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在上的最值，并写出相应的值； （3）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 21. 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． （1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． （2）若为阶梯函数，求的所有可能取值； （3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2024—2025学年度第二学期 期中检测 高一数学测试卷 2025.04 注意事项 1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．答题不得使用任何涂改工具． 出题人：高一备课组 审核人：高一备课组 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正切三角函数的定义可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先得到内满足不等式的的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案. 【详解】 当时， ， 且单调递增， 所以， 因为的周期为， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. 12 B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】借助向量的模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】. 故选：B. 5. 下列函数中，周期为π且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦函数、余弦函数的周期以及单调性逐一判断即可. 【详解】A，，， 由余弦函数的单调递增区间可得， 解得，当时，，故A正确； B，，， 由余弦函数的单调递增区间可得， 解得，显然在区间上不单调，故B错误； C，，，故C错误； D，，，故D错误； 故选：A 6. 在中，若，则B为（ ） A B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求角的大小. 【详解】由，又且， 所以或. 故选：B 7. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义及点A的坐标求出和，再结合求出，进而利用两角差的余弦公式求解结果． 【详解】∵角和的顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大风车旋转的周期求出角速度，再通过大风车的半径、最低点离地面的高度等条件确定函数中的参数、、，进而得到与的函数关系. 【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：.  设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为.  因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则.  将代入中，可得. 则.  该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，利用和差角公式求出，即可判断的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性. 【详解】因为， 若，即， 即， 所以，又，所以， 所以， 当为偶数时，则为奇函数； 当为奇数时，则为奇函数； 综上可得由可得为奇函数，故充分性成立； 由为奇函数，则，显然满足，故必要性成立； 所以“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 10. 关于函数，给出下列三个命题： ①是周期函数； ②曲线关于直线对称； ③最大值为2； ④在区间上给有3个零点． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由即可判断①，验证与是否相等即可判断②，由二倍角的余弦公式有即可判断③，令解得或求出即可判断④. 【详解】由，故①正确； ， ， 所以，故②正确； ，当时，，故③正确， 由，令得或， 当时，，当时，解得或， 所以在区间上给有3个零点，故④正确， 故选：D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用弧长公式求出半径，代入扇形面积公式，即可得到答案． 【详解】∵扇形的弧长，该扇形的中心角O记为弧度，设扇形的半径为， ∴，得， ∴扇形面积为． 故答案为：． 12. 已知角为第一象限角，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平方关系求出，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为角为第一象限角，且， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 如图，正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，直角中，然后利用平面向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为正方形的边长为4，与交于点E，P是的中点，Q为上任意一点， 所以，，， 在直角中，， 所以． 故答案：8． 14. 已知函数，则的对称轴方程为__________；将的图象向左平移个单位得到函数，若的最大值是一个小于1的正数，则符合条件的一个__________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】对于对称轴方程，利用正弦函数对称轴的性质求解；对于图象平移，根据平移规律得到的表达式，再求出，最后根据的最大值的条件确定的值. 【详解】对于正弦函数，其对称轴方程为. 令，解得. 所以的对称轴方程为.  将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，可得.  根据两角和差公式，可得：.  因为的最大值是一个小于的正数，而的取值范围是，所以的最大值为. 则，即. 取时，，满足. 故答案为：；（答案不唯一） 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在无数个零点； ②区间是的单调区间； ③在上无最大值； ④若，则． 其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】令，结合正弦型函数、分式性质确定零点个数，且易得，从而判断①④；由且在和处连续，区间上，即可判断是否为单调区间判断②，根据解析式分析得到且，恒有，再研究随的增大，、的值域情况判断是否存在最值及其对应区间判断③. 【详解】令，即且，则且，显然有无数个零点，①对， 由， 所以关于对称，则，④对， 由，显然在和处连续， 若在上单调，则为单调递减区间，又在区间上， 所以，区间只能是的单调减区间的一个子集， 而不能说区间是的单调减区间，②错； 令，则或，若，有， 所以区间上存在最大值点，则且， 当且，恒有， 随的增大，对应区间中函数值递增并趋向于，且恒有， 所以在且上的最大值随的增大而变小， 当，即时对应最大值，即为全局最大值，③错. 故答案为：①④ 三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知平面向量，，，且． （1）求与； （2）若，，求向量与的夹角的大小． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算来表示垂直关系，再用向量模的坐标运算即可求解； （2）利用向量的坐标运算来求两向量的夹解即可. 【小问1详解】 由，，且可得：， 则， 又因为，所以， 即； 【小问2详解】 由，， 则， 因为，所以， 即向量与的夹角的大小为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）已知，求中最大的角； （2）已知，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据大边对大角确定最大角，再利用余弦定理求出该角； （2）先由同角三角函数关系求出，运用余弦定理求出，再根据三角形面积公式求解. 小问1详解】 在三角形中，大边对大角.已知，，，因为边最大，所以角最大. 根据余弦定理，将，，代入可得： 因为，所以. 【小问2详解】 已知，且，根据同角三角函数的平方关系，可得： . 根据余弦定理，可得： ，解得（负值舍去） 根据三角形面积公式，可得：，则的面积为. 18. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切的和角公式求解，利用弦切互化结合平方关系求,进而计算； （2）应用余弦二倍角公式结合正弦余弦齐次式，将代入可求，再通过确定的值，最终求出分式结果. 【小问1详解】 由 ,可得， 则， 解得，， 【小问2详解】 ， 由 可得， 又因为，所以， 由，解得， 所以. 19. 函数（，，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式，并求出函数的单调递增区间： （2）在中，若且，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）由图象求出的解析式，进而得函数单调增区间； （2）利用正弦定理和两角和的正弦公式解得，又得，解得即可求解. 【小问1详解】 由图可知，， 所以，又， 得，所以， 又，所以，， 所以， 令， 解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为， 由正弦定理有， 又， ， 所以，， 又，所以，又，所以， 由得， 又，所以， 所以， 所以为等腰直角三角形. 20. 已知函数． （1）化简函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在上的最值，并写出相应的值； （3）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1），最小正周期为； （2）当时，取最小值1；当时，取最大值2； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式及辅助角公式对函数的解析式进行化简，利用三角函数的周期公式求出最小正周期； （2）利用三角函数的性质求解最值及相应的x值； （3）根据三角函数图象变换规律求出，把所求问题转化为函数，的图象与直线的交点问题，数形结合可得答案. 【小问1详解】 ， ∴，最小正周期为. 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 【小问3详解】 将函数的图象向左平移个单位，得到函数， 由方程得，即， 当时，， ∴当或，即或时，取最大值1； 当，即时，取最小值. 作出函数，的图象及直线， 由图可知，当或，即或时，函数，的图象与直线有两个交点， 此时方程在有两个不相等的实数根， 所以或. 21. 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数． （1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①；②． （2）若为阶梯函数，求的所有可能取值； （3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且． 【答案】（1）①否；②是 （2），． （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）验证否成立即可； （2）根据，正弦函数的周期即可推出所满足的表达式； （3）根据阶梯函数的定义，先找出的性质，然后确定在一个周期上的零点情况，从而推广得到上零点的情形 【小问1详解】 ，则；，则，故①否；②是. 【小问2详解】 因为为阶梯函数，所以对任意有： ． 所以，对任意，， 因为是最小正周期为的周期函数， 又因为，所以，． 【小问3详解】 ． 函数，则有： ， ． 取，则有： ，， 由于在上单调递减，因此在上单调递减， 结合，则有： 在上有唯一零点，在上有唯一零点． 又由于，则对任意，有： ，， 因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，． 综上所述，存在，使得在上有4046个零点： ，，，，…，，， 其中，． 【点睛】本题考察的是函数新定义的理解，正确反复的使用新定义去研究抽象函数表达式所满足的关系是解决第三问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $