2025-2026学年北师大版八年级数学下册 解答题专项突破之分式与分式方程（六大板块）

解答题专项突破之分式与分式方程2025-2026学年 北师大版八年级下册（六大板块） 板块一：分式运算 1．计算：． 2.计算： （1）． （2）． 3．计算． (1)(2)． 4.计算： （1）； （2）． 5．化简：． 板块二：分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值． 3.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 板块三：分式方程 1.解方程：． 2．解方程 (1)(2) 3.解方程： (1)； (2)． 4.解方程： （1）；（2）＝1． 板块四：分式方程应用题之销售问题 1.扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 2.某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号学习用品共1000件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同． (1) 求甲、乙两种学习用品的单价各是多少元？ (2) 若购买这批学习用品的费用不超过44000元，则最多购买乙型学习用品多少件？ 3.为响应圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．綦江区某中学准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用21000元购买A种垃圾桶的组数是用15750元购买B种垃圾桶的组数的2倍． (1) 求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； (2) 该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？并计算出在这种情况下购买垃圾桶的实际费用． 板块五：分式方程应用题之工程问题 1.某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 2.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 3.某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． (1) 甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ (2) 若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ 板块六：分式方程应用题之行程问题 1.小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min. 2.2026年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 3.小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 【答案】 解答题专项突破之分式与分式方程2025-2026学年 北师大版八年级下册（六大板块） 板块一：分式运算 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2.计算： （1）． （2）． 【解答】解：（1）原式＝； （2）原式＝＝． 3．计算． (1)(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 4.计算： （1）； （2）． 【答案】 （1）原式= =∙(x+1)- = =； （2）原式= =． 5．化简：． 【答案】． 【解析】解：． 板块二：分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】解： ， 当时，． 2．先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】解：原式=． 取a=2，原式． 3.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】解： ＝ ＝ ＝ ＝2+； 解不等式①得：x>2， 解不等式②得：x<， 所以不等式的解集为：，则其整数解为3， 把x＝3代入原式＝． 板块三：分式方程 1.解方程：． 【答案】解：去分母得：x﹣2（x﹣1）＝2， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，x﹣1≠0， ∴原分式方程的解为x＝0． 2．解方程 (1)(2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： 方程两边同时乘以得， 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 3.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)(2)无解 (1) 解： . 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为． (2) 解： 2x-2+3x+3=6 . 检验：当时，. ∴不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解． 4.解方程： （1）；（2）＝1． 【答案】解：（1）， 原分式方程整理得，， 2×2（x﹣2）+2＝5（x﹣2）， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，2x（x﹣2）≠0， ∴x＝4是原方程的根； （2）＝1， 原分式方程整理得， 1.5+x﹣2＝1﹣2x， 解得：x＝0.5 检验：当x＝0.5时，1﹣2x＝0， ∴x＝0.5是原方程的增根， 原方程无解． 板块四：分式方程应用题之销售问题 1.扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【答案】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元， 依题意得： ， 解得：x＝1600， 经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意， ∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800． 答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元． 2.某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号学习用品共1000件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同． (1) 求甲、乙两种学习用品的单价各是多少元？ (2) 若购买这批学习用品的费用不超过44000元，则最多购买乙型学习用品多少件？ 【答案】（1）解：设甲种型号学习用品的单价为元，则乙种型号学习用品的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：甲、乙两种型号的学习用品单价分别为元、元； （2）解：最多购买乙种型号学习用品件，则购买甲种型号学习用品件， 由题意得，， 解得， 因此，最多购买乙种型号学习用品件． 3.为响应圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．綦江区某中学准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用21000元购买A种垃圾桶的组数是用15750元购买B种垃圾桶的组数的2倍． (1) 求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； (2) 该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？并计算出在这种情况下购买垃圾桶的实际费用． 【答案】(1)解：设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：＝2×， 解得：x＝300，     经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝300+150＝450． 答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元． (2)解：设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组， 依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000， 解得：y≤， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13． 此时所需费用为：300×（20﹣13）+450×13=7950（元） 答：最多可以购买B种垃圾桶13组,此时所需费用为7850元． 板块五：分式方程应用题之工程问题 1.某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个． 【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个 【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个． 2.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 【答案】60件 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 3.某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． (1) 甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ (2) 若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ 【答案】（1）解：设乙工程队单独完成该工程项目需x天， 将整个工程设为“1”，则甲、乙工程队的工作效率分别是，， 根据题意，得：， 解得：x＝60， 经检验可知x＝60是所列分式方程的解，且满足题意， ∴， ∴甲工程队单独完成该工程项目需40天， 答：甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天． （2）解：设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天， 根据题意得：， ， 解得：， 故乙工程队至少需要施工40天． 板块六：分式方程应用题之行程问题 1.小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院． （1）求两人的速度． （2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min. 【答案】（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/min和75 m/min；（2）6.25. 【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min,根据题意，得: 解得：x=25 经检验x=25是原分式方程的解， 则2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）                          答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min    （2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，得： 解得： 经检验是原分式方程的解 答：小丽速度需要提高6.25 m/min. 故答案为6.25 2.2026年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚．某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同．请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度． 【答案】300米 【详解】解：设小明乐跑活动后每分钟跑米，则小明乐跑活动前每分钟跑米， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义， 答：小明乐跑活动后每分钟跑300米． 3.小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度； （2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由． 【答案】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为150米/分． （2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分， 则小刚跑步所用时间为（分）， 骑自行车所用时间为（分）， 在家取作业本和取自行车共用了3分， 所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）． 因为， 所以小刚不能在上课前赶回学校． 学科网（北京）股份有限公司 $