第二章　不等式与不等式组　解答题专项突破（六大板块）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

解答题专项突破之不等式与不等式组2025-2026学年 北师大版八年级下册（六大板块） 板块一：解一元一次不等式 1.解不等式：． 2.解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来． 3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）2（x+1）＞3x﹣4（2） 4.解不等式：，并写出该不等式的正整数解． 5.解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解． 板块二：解不等式组 1.解不等式组． 2.解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得 　 　； （2）解不等式②，得 　 　； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 　 　． 3.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 4.解不等式组，并求出它的非负整数解． 5.解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 板块三：含参的不等式解集问题 1．已知不等式的解集是x＞2，求不等式（a﹣x）＞2﹣a的解集． 2．不等式组无解，求a的取值范围． 3.已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的解集； （2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集． 4.如果关于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围． 板块四：方程（组）与不等式结合的解集问题 1.已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值． 2．已知方程组的解满足x、y均为非负数． （1）求m的取值范围； （2）当m为绝对值最小值数时，求原方程组的解． 3．已知方程组的解x、y的值均大于零． （1）求a的取值范围； （2）化简：|2a+2|﹣2|a﹣3|． 4.已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围． 板块五：一元一次不等式应用题 1.国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 2．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 3.新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 4.某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 板块六：不等式组应用题 1.某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． (1)求两种型号羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 2.某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 3.某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 4.为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】 解答题专项突破之不等式与不等式组2025-2026学年 北师大版八年级下册（六大板块） 板块一：解一元一次不等式 1.解不等式：． 【答案】解：， 去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3， 去括号得：9+3x﹣6＜4x+3， 移项合并得：﹣x＜0， 系数化为1得：x＞0． 2.解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解：3（x+1）≤5x+7， 去括号，得3x+3≤5x+7， 移项、合并同类项，得﹣2x≤4， 系数化成1，得x≥﹣2， 在数轴上表示不等式的解集为： ． 3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． （1）2（x+1）＞3x﹣4（2） 【答案】解：（1）2（x+1）＞3x﹣4， 2x+2＞3x﹣4， 2x﹣3x＞﹣4﹣2， ﹣x＞﹣6， x＜6． （2）， 去分母得：3（x﹣1）﹣（4x﹣3）＞2， 去括号得：3x﹣3﹣4x+3＞2， 合并同类项得：﹣x＞2， 系数化为1得：x＜﹣2． 4.解不等式：，并写出该不等式的正整数解． 【答案】解：去分母得：3x﹣6＞10x﹣20， 移项得：3x﹣10x＞6﹣20， 合并得：﹣7x＞﹣14， 解得：x＜2， ∴正整数解为1． 5.解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解． 【答案】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6， 去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6， 移项，得：4x﹣9x≤6+2+2， 合并同类项，得：﹣5x≤10， 系数化为1，得：x≥﹣2， 将不等式解集表示在数轴上如下： 由数轴可知该不等式的负整数解为﹣2、﹣1． 板块二：解不等式组 1.解不等式组． 【答案】解：， 由①得x≤1， 由②得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1． 2.解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得 　 　； （2）解不等式②，得 　 　； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 　 　． 【答案】解：（1）解不等式①，得x＜4； （2）解不等式②，得x≥3； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为3≤x＜4， 故答案为：x＜4，x≥3，3≤x＜4． 3.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】解：解不等式3x＜9可得：x＜3； 解不等式2x＞﹣3x+5可得：x＞1； 故原不等式组的解集是1＜x＜3． 其解集在数轴上表示如下所示： ． 4.解不等式组，并求出它的非负整数解． 【答案】解：解①得：x＜2， 解②得：x≥﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3≤x＜2， ∴不等式组的非负整数解为0，1． 5.解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 【答案】解：， 解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x， 所以不等式组的解集为﹣2≤x， 所以原不等式组的整数解是﹣2、﹣1、0、1， 所以所有整数解的和为﹣2． 板块三：含参的不等式解集问题 1．已知不等式的解集是x＞2，求不等式（a﹣x）＞2﹣a的解集． 【答案】解：不等式， 去分母得：6x﹣2＞a+2x， 移项合并得：4x＞a+2， 解得：x， 由已知解集为x＞2，得到2， 解得：a＝6， 代入所求不等式得：（6﹣x）＞﹣4， 去分母得：6﹣x＞﹣12， 解得：x＜18． 2．不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】解：不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到2a， 解得：a． 3.已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的解集； （2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集． 【答案】解：（1）当m＝1时，不等式为1， 去分母得：2﹣x＞x﹣2， 解得：x＜2； （2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2， 移项合并得：（m+1）x＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解， 当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2； 当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2． 4.如果关于x的方程x+2+m＝0的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围． 【答案】解：不等式组整理得：， 解得：x≤﹣2， 由x+2+m＝0，得到x＝﹣2﹣m， 可得﹣2﹣m≤﹣2， 解得：m≥0． 板块四：方程（组）与不等式结合的解集问题 1.已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足x≤0，y＜0，且m是正整数，求m的值． 【答案】解：（1）， 由①，得2x+2y＝2m﹣18．③， 由 ②+③，得5x＝10m﹣20，x＝2m﹣4； 将x＝2m﹣4代入①，得y＝﹣m﹣5， ∴原方程组的解为； （2）∵， ∴， 解得﹣5＜m≤2， 且m是正整数， ∴m＝1或m＝2． 2．已知方程组的解满足x、y均为非负数． （1）求m的取值范围； （2）当m为绝对值最小值数时，求原方程组的解． 【答案】解：（1）解方程组，得：， 根据题意，得：， 解得﹣4≤m≤1； （2）∵﹣4≤m≤1，m为绝对值最小值数， ∴m＝0， ∴方程组为， 解得． 3．已知方程组的解x、y的值均大于零． （1）求a的取值范围； （2）化简：|2a+2|﹣2|a﹣3|． 【答案】解：（1）， ①+②得：5x＝15﹣5a，即x＝3﹣a， 代入①得：y＝2+2a， 根据题意得： 解得﹣1＜a＜3； （2）∵﹣1＜a＜3， ∴|2a+2|﹣2|a﹣3|＝2a+2+2a﹣6＝4a﹣4． 4.已知关于x、y的方程组． （1）求方程组的解（用含m的代数式表示）； （2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围． 【答案】解：（1）， ①×3+②，得：10x＝30m+10， 解得：x＝3m+1， 将x＝3m+1代入①，得：9m+3+y＝10m+5， 解得：y＝m+2， 则方程组的解为； （2）根据题意，得， 解得：﹣2＜m． 板块五：一元一次不等式应用题 1.国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 【答案】33件 【解析】解：设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：． 解得：， m为整数， m的最大值为33． 答：最多购进“哪吒”纪念品33件． 2．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． (1)购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 【答案】(1)购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； (2)最多可购进乙型头盔个． 【解析】（1）解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意得， 解得， 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得： 解得， ∴的最大值为， 答：最多可购进乙型头盔个． 3.新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 4.某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，它们的载客量和日租金如表： 车型 每辆载客量／人 每辆租金／元 型客车 60 1000 型客车 45 800 学校根据实际情况，计划租用，型两种客车共14辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子完成表： 车型 车辆数／辆 载客量／人 租金／元 型客车 ______ 型客车 ______ ______ (2)请问至少需租用型客车多少辆？ (3)若要保证租车费用不超过12500元，请问有哪几种租车方案？ 【答案】(1)见解析 (2)至少租型客车5辆 (3)有两个方案，分别为：方案一：A车5辆B车9辆；方案二：A车6辆B车8辆 【详解】（1）解：由题意，填表如下： 车型 车辆数辆 载客量人 租金元 型客车 型客车 故答案为：；；； （2）解：由题意，总载客量需满足师生总数698人， ． ． ． 为车辆数（整数）， 最小取5． 至少需租用型客车5辆． （3）解：由题意，总租金元， ． ． 又结合（2）中，，且为整数， 或6． 共有2种租车方案：租用型客车5辆，型客车辆；租用型客车6辆，型客车辆． 板块六：不等式组应用题 1.某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元． (1)求两种型号羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由． 【答案】(1)A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． (2)最省钱的购买方案是购买14副A型和6副B型，最少费用为1752元． 【详解】（1）解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元， 由题意得：，解得：． 答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元． （2）解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由如下： 设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副， 由（1）的结论得：， ∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍， ∴，解得：， 在内，w随m的增大而增大， 又∵m是整数， ∴当时，w取得最小值，最小值为，此时， ∴最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元． 2.某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 3.某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 4.为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 学科网（北京）股份有限公司 $