精品解析：四川省绵阳市东辰学校 2025 -2026学年下学期七年级第 2 学月知识清扫数学资料

绵阳东辰学校2025年春初2024级第2学月知识清扫数学资料 （总分120分，考试时间90分钟） A卷（共24题，满分100分） 一、选择题（每题3分共36分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，下列推理中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，将含有角的直角三角形板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、满足方程组，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 若为整数，且满足，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D. 如果两个角不相等，那么这两个角也可能是对顶角 10. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 的平方根是_______． 14. 如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 15. 若是方程的一个解，则___________ 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 17. 如图，有一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，B点落在长方形外的F点．若，，则___________°． 18. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是___________ 三、解答题 19. 解下列方程组和不等式组 （1）； （2）． 20. 一个正数的两个平方根分别是和，且． （1）求和的值； （2）求的值． 21. 如图，已知， （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 22. 关于的二元一次方程组． （1）若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值： （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 23. “端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． （1）A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 24. 已知直线 ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． （1）如图，连接GM，HM．求证：； （2）如图2，在的角平分线上取两点M、Q，使得．请直接写出与之间的数量关系； （3）如图3，若射线GH平分，点N在MH的延长线上，连接GN，若，，求的度数． B卷(共10题，每题2分，满分20分) 25. 代数式有意义，则的取值范围是___________． 26. 如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为___________． 27. 已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 28. 清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 29. 关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 30. 已知，则的取值范围是___________． 31. 若满足，则的取值范围是_______． 32. 已知直线和相交于点，射线将分成两部分，射线使得．若，则锐角__． 33. 如图，，与的平分线相交于点，于点，为上的一点，且于．下列说法①；②；③；④若，则．其中正确的有___________（填序号） 34. 对，定义一种新的运算，规定：，若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳东辰学校2025年春初2024级第2学月知识清扫数学资料 （总分120分，考试时间90分钟） A卷（共24题，满分100分） 一、选择题（每题3分共36分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵±3的平方是9， ∴9的平方根是±3， 故选：C． 2. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，只含有1个未知数，属于一元一次方程，不合题意； B．，分母含有未知数，不是整式方程，不合题意； C．，含未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，不合题意； D．，是整式方程，含有 两个未知数，含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程的定义，符合题意． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 不等式性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变． 不等式性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A、，不等式两边同时加，可得， ∴A说法正确，不符合题意； B、，不等式两边同时减，可得， ∴B说法正确，不符合题意； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， ∴C说法错误，符合题意； D、，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得， ∴D说法正确，不符合题意． 4. 如图，下列推理中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵和是直线、被直线所截形成的内错角， ∴如果，那么，故此选项不符合题意； B．∵和是直线、被直线所截形成的内错角， ∴如果，那么，故此选项符合题意； C．和是直线、被直线所截形成的同旁内角，如果，推出的是，但和相交于点A，根本不可能平行，所以选项 推理既不符合几何定理，更不能得到，故此选项不符合题意； D．和不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，无法判定平行，故此选项不符合题意． 5. 不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数轴，确定出所求解集即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，≥向右画；，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解：根据数轴得：该不等式组的解集为， 故选：B． 6. 如图，直线，将含有角的直角三角形板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过B作，则，进而，，利用求解即可． 【详解】解：过B作，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 7. 已知、满足方程组，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可把方程组里的两个方程相加求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ①+②得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 8. 若为整数，且满足，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的估算进行计算即可； 【详解】∵，， ∴整数m=3； 故选B． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，准确分析是解题的关键． 9. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D. 如果两个角不相等，那么这两个角也可能是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，垂直的性质，平行公理的推论和对顶角的性质，逐一判断各命题即可. 【详解】解：对于A，∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等， ∴A是假命题； 对于B，∵过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原命题没有限定条件，一条已知直线有无数条垂线， ∴B是假命题； 对于C，∵平行于同一条直线的两条直线互相平行是平行公理的推论，是真命题， ∴C是真命题； 对于D，∵对顶角一定相等，不相等的两个角一定不是对顶角， ∴D是假命题. 10. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 【详解】根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 11. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 12. 将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数， 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， 表示第9排第9个数，而 ， 即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数． ， 表示的数为循环中的第1个数：， 与表示的两数之积为 ∴两数之积为． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出  的度数，再根据对顶角相等即可求出  的度数． 【详解】解：因为  平分 ，  所以   因为直线 、 相交于点   所以 ． 15. 若是方程的一个解，则___________ 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵若是方程的一个解， ∴， ∴． 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为30，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得与面积相等，减去公共部分的面积后，剩余部分面积相等，即阴影部分的面积等于梯形的面积，利用梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，． ，． ． ． ． ． 解得． 17. 如图，有一长方形纸片，E为上一点，将纸片沿折叠，B点落在长方形外的F点．若，，则___________°． 【答案】63 【解析】 【分析】根据平行线的性质，即可得到，进而得到的度数，再根据轴对称的性质，即可得到． 【详解】解∵，，（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴， ∵纸片沿折叠， ∴， ∴． 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 18. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 又不等式组解集中只有个整数解， ． 三、解答题 19. 解下列方程组和不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组无解． 20. 一个正数的两个平方根分别是和，且． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）和的值分别为1和 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可； （2）先求出x的值，然后求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得： 和的值分别为1和； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴． 21. 如图，已知， （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等及已知条件证得，即可得到结论； （2）根据对顶角相等推出，得到，再根据求出即可． 【小问1详解】 证明：∵与是对顶角， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22. 关于的二元一次方程组． （1）若方程组的解也是二元一次方程的解，求的值： （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得二元一次方程组的解，再将方程组的解代入方程中并解方程即可求解； （2）将（1）中方程组的解代入中解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：解方程组，得 ， 代入中，得， 解得：； 【小问2详解】 解：将代入，得 ， 解得：. 23. “端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． （1）A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 【答案】（1）A品牌粽子每件30元． B品牌粽子每件20元． （2）共有3种购买方案． 【解析】 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得 （2）根据两种品牌粽子的数量限制，列出一元一次不等式组，求出未知数的正整数解的个数，即可得到购买方案的数量． 【小问1详解】 解：设品牌粽子每件x元，品牌粽子每件y元．根据题意可得 解得 答：品牌粽子每件30元，品牌粽子每件20元． 【小问2详解】 设购买品牌粽子m件，则购买品牌粽子件，m为正整数．根据题意可得 解不等式组得， ∴符合条件的正整数m为18，19，20，共3个． 答：该公司有3种购买方案． 24. 已知直线 ，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． （1）如图，连接GM，HM．求证：； （2）如图2，在的角平分线上取两点M、Q，使得．请直接写出与之间的数量关系； （3）如图3，若射线GH平分，点N在MH的延长线上，连接GN，若，，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2）∠M＋∠HQG＝180° （3）60° 【解析】 【分析】（1）如图1，过点M作，可得．进而可以证明； （2）根据角平分线的定义得到∠CHM=∠MHG，由（1）知∠M=∠AGM+∠MHC，等量代换得到∠M=∠MQG，根据平角的定义即可得到结论； （3）如图3，令∠AGM=2α，∠CHM=β，则∠N=2α，∠M=2α+β，过点H作，可得∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2β，进而可得结论． 【小问1详解】 如图1，过点M作， 又∵， ∴． ∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM． ∴∠GMH＝∠GMR＋∠RMH＝∠AGM＋∠CHM． 【小问2详解】 ∠M＋∠HQG＝180°， 理由：∵MH是∠CHG的平分线， ∴∠CHM＝∠MHG， 由（1）知∠M＝∠AGM＋∠MHC， ∵∠MQG＝∠HGQ＋∠MHG，∠AGM＝∠HGQ， ∴∠M＝∠MQG， ∵∠MQG＋∠HQG＝180°， ∴∠M＋∠HQG＝180°． 【小问3详解】 如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α＋β， ∵射线GH是∠BGM的平分线， ∴∠FGM＝∠BGM＝（180°－∠AGM）＝90°－α， ∴∠AGH＝∠AGM＋∠FGM＝2α＋90°－α＝90°＋α， ∵∠M＝∠N＋∠FGN， ∴2α＋β＝2α＋∠FGN， ∴∠FGN＝2β， 过点H作， 则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β， ∴∠GHM＝∠MHT＋∠GHT＝2α＋2β， ∠CHG＝∠CHM＋∠MHT＋∠GHT＝β＋2α＋2β＝2α＋3β， ∵AB∥CD， ∴∠AGH＋∠CHG＝180°， ∴90°＋α＋2α＋3β＝180°， ∴α＋β＝30°， ∴∠GHM＝2（α＋β）＝60°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． B卷(共10题，每题2分，满分20分) 25. 代数式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式求解即可得出答案． 【详解】解：根据使二次根式有意义，分式有意义得 解不等式得． 解不等式得． 解不等式得． ∴． 26. 如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先过E作，根据平行线的性质可得，，即可得出，设，则，列出方程，求出，最后根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 27. 已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的非负性、解一元一次方程以及代数式的化简与求值，由二次根式的非负性得出的值，进而求出的值，再将，的值代入即可求出． 【详解】解：由二次根式的非负性可知，解得， ， ， 解得， ． 28. 清北文具店有铅笔和圆珠笔，小明如果购买2支铅笔和3支圆珠笔他带的钱差3元，如果购买3支铅笔和2支圆珠笔他带的钱会剩下3元，若他只购买5支铅笔，则他会剩下___________元． 【答案】15 【解析】 【分析】设出铅笔单价、圆珠笔单价和小明携带的总钱数，根据题意列出方程组，通过消元变形即可得到所求剩余钱数． 【详解】解：设支铅笔的单价为元，支圆珠笔的单价为元，小明携带的总钱数为元，根据题意列方程组得 得 ， 整理得， 将代入得 ， 展开整理得 ， 移项得 ， 所以，还剩下15元． 29. 关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值． 【详解】解： 由②得，， 将代入，得， 解得 ∵方程组的解是正整数， ∴和是正整数 ∴是6和9的正公约数 ∴的值为1或3 当时，； 当时， 故整数的值为或． 30. 已知，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入已知不等式，利用不等式的性质求解的取值范围即可． 【详解】∵ ∴ 将代入得 ． 31. 若满足，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】可以由已知条件：用表示或用表示．再根据和都是非负数，即可求得的最大值和最小值． 【详解】解：，满足， ； 又和都是非负数， ， 同理 ； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最值问题．注意能用一个字母表示另一个字母，从而用一个字母表示，再结合二次根式的性质进行分析，即可得出的最大值和最小值． 32. 已知直线和相交于点，射线将分成两部分，射线使得．若，则锐角__． 【答案】或 【解析】 【分析】画出相应的图形，结合图形中各个角之间的关系，分两种情况进行解答，即当∠BOF−∠AOE＝36°时和当∠AOE−∠BOF＝36°时，根据平角的定义列方程求解即可． 【详解】解：如图1， 当时， 设，则，， 由平角的定义可知， ， 解得， 如图2，当时， 设，则，， 由平角的定义可知， ， 解得， 故答案为：或． 【点睛】本题考查邻补角，对顶角以及一元一次方程的应用，根据图形中各个角之间的关系分两种情况进行计算是解决问题的关键． 33. 如图，，与的平分线相交于点，于点，为上的一点，且于．下列说法①；②；③；④若，则．其中正确的有___________（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、三角形内角和定理、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析． 【详解】解：①∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 34. 对，定义一种新的运算，规定：，若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围． 【详解】解：①若0＜x＜1， 由得， 解1-x＞4，得：x＜-3，与0＜x＜1不符，舍去； ②若x≥1， 由得， 解得， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴8≤m-1＜9， 解得9≤m＜10， 故答案为：9≤m＜10． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于m的不等式组． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $