甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

绝密★启用前 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高二下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．某体育用品仓库中有12个同款篮球,其中一等品有8个,二等品有3个,三等品有1个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测,记抽到的一等品的个数为X,则当取得最大值时,(      ) A.2 B.3 C.4 D.5 2．已知直线l与曲线相切,则l的方程不可能是( ) A. B. C. D. 3．已知函数,则的值为(      ) A. B. C. D. 4．已知，则(      ) A.-15 B.-16 C.-80 D.-81 5．已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则(      ) A.0 B.1 C.0或-1 D.0或1 6．林老师希望从中选2个不同的字母,从中选3个不同的数字编拟车牌号鄂J×××××的后五位,要求数字互不相邻,那么满足要求的车牌号有( ) A.576个 B.288个 C.144个 D.72个 7．已知定义在上的函数的导函数为,且的图象如图所示,则在上的极值点个数为(      ) A.1 B.2 C.3 D.4 8．已知函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知,且第5项与第8项的二项式系数相等,则(      ) A. B.展开式的二项式系数和为 C.展开式的各项系数和为 D. 10．若点是函数的图象上任意两点,且函数在点A和点B处的切线互相垂直,则下列结论正确的是( ) A. B. C.最小值为e D.最大值为e 11．已知函数，则下列说法正确的是(      ) A.函数有三个零点 B. C.曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D.若方程有三个不同的实数根，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为__________. 13．考古时在埃及金字塔内发现“142857”这组神秘的数字，其神秘性表现在具有这样的特征：，，…，.且.这类数因其“循环”的特征，常称为走马灯数.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则满足是剩下的3个数字构成的一个三位数的x的个数为______________________. 14．已知函数,若,则函数的零点个数是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线的方程; (2)直线l为曲线的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标. 16．（14分）已知函数，. (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，，. 17．（16分）解决下列问题 （1）包含甲、乙、丙、丁四人在内的七个人站成一排,求甲、乙相邻,丙、丁不相邻的情况总数;（结果用数字作答且书写出步骤） （2）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成,现将他们平均分配到三家不同的医院工作,每家医院分到1名医生和2名护士,其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,求不同的分配方法种数;（结果用数字作答且书写出步骤） （3）请你构造一个实际背景,对等式作出解释.（请注意不要使用生活中的真人名,以及用语规范） 18．（16分）根据下列条件求值: （1）已知,求的值; （2）已知,求的值; （3）已知,求的值. 19．（18分）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，函数，对任意，存在，使，求实数a的取值范围； (3)已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1．答案：B 解析：依题意,X服从超几何分布,则, 当取得最大值时,,即, 解得,,所以. 故选：B. 2．答案：D 解析：由已知可得,, 由导数的几何意义可得,曲线在点处的切线的斜率. 对于A、B项,由可得,,解得. 当时,切点为,此时切线方程为, 整理可得,切线方程为,故B项正确. 当时,切点为,此时切线方程为, 整理可得,切线方程为,故A项正确; 对于C、D项,由可得,,解得,切点为, 此时切线方程为,整理可得,切线方程为,故C项正确,D项错误. 故选:D. 3．答案：B 解析：由已知, 所以, 故选:B. 4．答案：A 解析：设， 令，得； 令，得； 故. 5．答案：D 解析：设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以m的值为0或1. 6．答案：C 解析：依题意,从中选2个不同的字母有种,然后从中选3个不同的数字有种,再从选出的2个不同的字母有种排法,最后从选出3个不同的数字插空有种,根据分步乘法计数原理知,满足要求的车牌号有种. 故选:C. 7．答案：B 解析：由图可得在上有2个变号零点,所以在上的极值点个数为2. 8．答案：D 解析：构造函数,, 当时,,所以,所以在上单调递减, 因为,函数是定义在区间上, 所以,即, 不等式化为,即, 所以,即, 所以不等式解集为. 9．答案：AD 解析：对于A：由题意可得,则,故A正确； 对于B：因为,所以展开式的二项式系数和为,故B不正确； 对于C：令,则展开式的各项系数和为,所以C不正确； 对于D：令,得,令,得, 所以,故D正确. 10．答案：CD 解析：因为,点 所以 因为在点A和点B处的切线互相垂直 由导数几何意义可知, 在点A和点B处的切线的斜率之积为 所以时,满足,即.因为,所以 所以,所以A、B错误; 对于C,可知,令, 所以 令,得 所以当时, ,则在时单调递减 所以在时取得极小值,即最小值为,所以C正确; 对于D,可知 令, 则 令,解得 所以当时,,则在时单调递减 当时, ,则在时单调递增 所以在时取得极小值,即最小值为. 当时取得最大值, ,所以D正确. 当时,满足,即 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D为正确选项. 故选:CD. 11．答案：BCD 解析：由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 12．答案： 解析：因为的展开式通项为, 其中含项的系数为0,含项的系数为, 所以的展开式中的系数为. 13．答案：48 解析：根据题意，注意到1，4，2，8，5，7这6个数字中，，将它们分成三组，，. 由题意知满足“是剩下的3个数字构成的一个三位数”的x为每组中取1个数字的不同排列，其个数为. 14．答案：4 解析：函数的定义域为R,由,得, 所以函数是偶函数, 当时,, 当时,, 当时,, 故在上单调递增,上单调递减, 又为偶函数, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以,又时,,所以的值域为. 令,则,由,得, 因为,所以,画出与的图象如图所示, 所以在区间有唯一零点, 令,,函数的图象与函数的图象有4个交点,故函数的零点个数是4 15．答案：(1) (2),切点 解析：(1) 在点处的切线的斜率为, 故切线方程为 (方法一)设切点为则直线l的斜率为 直线l的方程为 又直线l过点 解得 因此 故直线l的方程为,切点坐标为 (方法二)设直线l的方程为,切点为 则 解得 故直线l的方程为,切点坐标为. 16．答案：(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 解析：(1)，，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以，即，所以，当且仅当，等号成立. 令，则，所以，则. 所以. 综上，，，. 17．答案：（1）960 （2）108 （3）见解析 解析：（1）分三步完成: 第一步:将甲、乙捆绑成一个整体有种不同结果, 第二步:再把剩下的三人和甲、乙整体进行排列有种不同结果, 第三步:最后将丙、丁两人插空进入刚才的队伍,有种不同结果, 根据分步乘法计数原理,因此一共有种; （2）先将三名医生分配到三家医院有种,再分配护士:先分甲乙两人组有种,再分其余4人有种, 护士共有种不同分配方法,因此一共有种; （3）用0,1,2,3,4,5六个数字排成一个六位数. 先6个数全排列,有种排法,再去掉0占最高位的方法数,即. 也可以分步先排0的位置,除了最高位,剩下的5个位置选一个0去占,有种, 剩下的5个数,5个位置随便安排有种,根据分步计数原理,一共有种 同一个问题,结果一样,因此. 18．答案：（1） （2） （3） 解析：（1）令,即, 得. （2）因为的展开式的通项为,,,,,, 所以,,1,2,,7, 则r为偶数时,,r为奇数时,, . 令, 得. （3）令,得;① 令,得.② （①+②）,得; （①-②）,得. 所以. 19．答案：(1)当时，在R上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)； (3)不可能为等腰三角形，理由见解析 解析：(1)函数的定义域为R，，， 当时，，在R上单调递减； 当时，令，则， 令，则；令，则； 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)，，， 当时，即，. 由(1)知，当时，，在上单调递增，在上单调递减. 对任意， 对任意，存在，使，则. ，，， 即实数a的取值范围为. (3)不可能为等腰三角形，理由如下： 由(1)知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 有唯一的极大值点，不妨设， ，，， 过点C作轴于点D，则. ①比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，即比较与的大小. ， 设，，， 在上单调递减， 所以，即， 在上单调递减，， 即，，由勾股定理可得， ②比较与的大小，，， 先证明，设，， 在上单调递增，，即， ， ， ， 下面比较与的大小， ， 设，，， 设，， 则， ，，，即，在上单调递增， ，在上单调递增， ，， 在上单调递减，， 即， ， 综上，不可能为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $