精品解析：甘肃白银市实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学期中考试试卷 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分 所有答案写在答题卡上 一、单选题 1. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 2. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（ ） A. 84 B. 126 C. 42 D. 63 5. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A. B. C. D. 8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 的展开式的常数项为______． 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 14. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 四、解答题 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 17. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 18. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使得，求的取值范围. 19. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试试卷 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分 所有答案写在答题卡上 一、单选题 1. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，且， 所以. 2. 已知实数列为等比数列，其中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由韦达定理判断出，，再根据等比数列的性质求出并判断它的正负即可得解. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可得，所以，. 因为为等比数列，所以，解得. 若，则，不符合要求，故. 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 4. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，且男生甲与女生乙参加同一项目，则不同的安排种数为（ ） A. 84 B. 126 C. 42 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分两种情况计算，第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目，第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目，然后结合排列组合代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得4人去参加2项创新大赛，每项至少有1人参加，分两种情况， 第一种情况是3人参加一个项目，另外1人参加一个项目， 且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种； 第二种情况是2人参加一个项目，另外2人参加一个项目， 且男生甲与女生乙参加同一项目，则共有种； 则不同的安排种数为种. 故选：B 5. 已知函数是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数为增函数，得到其导函数在定义域内恒非负，分离参数转化为在上恒成立，再通过求导判断的单调性，求出其值域，进而确定的取值范围． 【详解】，的定义域为， 根据题意得，整理得， 令，, 因为，所以，，因此， 所以在上单调递增， 所以在上的值域为， 所以． 6. 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线的左顶点关于其渐近线的对称点恰好落在以 为圆心、以半虚轴长 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设左顶点关于渐近线的对称点为， 则，解得，即， 已知在圆上，即， 化简得，代入化简得：， ， ，解得（舍去）或， 双曲线的离心率为2． 7. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出,再由求出，最后利用即可求解. 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解. 【详解】令，则， ， 因为，所以， 令，则， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 ， 要使存在，使得不等式 成立，则， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是 二、多选题 9. 设，则下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解. 【详解】令，所以， 所以原式可变形为， 所以，故正确； 令，则，故正确； 令，则， 令，则，所以，故不正确； 令，则， 所以，故不正确. 故选：. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（ ） A. 事件与相互独立 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D． 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 11. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件构造合适的辅助函数，再利用单调性比较函数值，结合偶函数性质逐一验证各选项. 【详解】由 ，可得 ， 令， 则 由题设，且， 故，即在上单调递增. 选项A：设， 满足偶函数、，则，故A错误. 选项B：取，令，则，即， 因，则，即 对，，所以，即. 所以，，即，所以B正确. 选项C：由得，即， 则，所以C正确； 选项D：，即， 化简得，即，D正确. 三、填空题 12. 的展开式的常数项为______． 【答案】16 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式即可求解． 【详解】， 因为的展开式的通项为， 所以令，即，则的常数项为1， 令，即，则的常数项为15， 所以的展开式的常数项为． 13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可设，，由其导数可知在上为减函数，又由可得则，分析可得的符号，进而分析在上的符号规律，结合函数的奇偶性即可解出. 【详解】设，，则其导数， 而当时，所以，即在上为减函数， 又由，为定义在上的奇函数，则， 则， 所以在区间上，，在区间上，， 则在区间上，，在区间上，， 又由是定义在上的奇函数，则， 且在区间上，，在区间上，， 综合可得：不等式的解集为． 14. 在数轴上，一个质点从原点0出发，每次移动遵循以下规则：如果当前位于点，则向右移动到点的概率为，向左移动到点的概率为；规定质点到达点时被吸收（不再移动），到达点-1时也被吸收（不再移动）．设表示质点从点出发，最终被点吸收的概率，规定，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一步转移建立递推方程，再研究相邻两项差，将问题转化为等比数列求和，最后代入所求式子化简即可. 【详解】当时，由一步转移得，整理得. 设，则，所以. 又，所以，即，得. 于是，且. 又，所以. 四、解答题 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值； （2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）先求导，再代入求值； （2）设，求的切线，即为的切线； （3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性. 【小问1详解】 ， ， 所以. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以在处的切线方程为，即. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，即，单调递减 ，，即，单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 17. 如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解. 【小问1详解】 在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 ①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 18. 已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）已知函数，若对，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，结合二次函数单调性，即可求得参数范围； （2）根据题意，在区间上，，先利用导数分析的单调性，从而求得其最大值；再对参数进行分类讨论，在不同情况下求得的最大值，进而求得参数的范围. 【小问1详解】 由题意知， 又函数在区间上单调递增，所以， 也即恒成立， 在上单调递增，所以， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 若对，使得，所以， 又，则， 当单调递增，当，单调递减， 所以； 因为，又在上单调递增， 又，，故， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以，又，所以； 当时，， 当，所以单调递减，当，，所以单调递增， 又，所以在上的最大值是中较大的， 则只需且，解得：； 当时，，所以在单调递增，故， 所以6，又，故此时无解. 综上，的取值范围是. 19. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【小问1详解】 小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： 【小问2详解】 法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. 【小问3详解】 当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $