广东韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

广东省韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．（3分）抛物线y＝x2+4x﹣3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝2 4．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 5．（3分）如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个5G基站，若其覆盖范围是一个半径为200m的圆，则这三栋楼在该5G基站覆盖范围内的是（　　） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 6．（3分）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（　　） A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940 8．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C对应点分别为D、E．若∠B＝55°，当点B、C、D、P在同一条直线上时，则∠PDE的度数为（　　） A．55° B．70° C．80° D．110° 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　 　 ． 13．（3分）如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是　 　 度． 14．（3分）如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长为 　 　 cm． 15．（3分）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解方程：x2﹣7x+12＝0． 17．（7分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　 　 ； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 18．（7分）已知矩形的周长为18cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留π） 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'； （2）作△ABC关于原点O的中心对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； （3）在（1）的条件下，连接点OC和OC'，求线段OC扫过的图形的面积（结果保留π）． 20．（9分）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 21．（9分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC． （1）∠ABO2＝ 　 　 度； （2）求证：DC为⊙O2的切线； （3）若DC＝3，求⊙O2上的长． 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22．（13分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23．（14分）【模型提出】如图1，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB＝45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰Rt△AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，得到△ABC的外接圆，则点C在⊙O的优弧ACB上．即：已知线段AB的长度，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦AB＝6，∠C＝60°时，求△ABC外接圆的半径． （2）如图3，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE＝CF，连接AE、BF，AE与BF交于点G． ①在点G的运动过程中∠AGB＝ 　 　 ； ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和CG的最小值； ③在图3中，若点Ⅰ是△ABG的内心，连接CI，直接写出线段CI的最小值． 广东省韶关市仁化县2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【解答】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（3分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（3分）抛物线y＝x2+4x﹣3的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝2 【分析】根据抛物线的对称轴公式进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝x2+4x﹣3， 所以该抛物线的对称轴为直线x＝． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知抛物线的对称轴公式是解题的关键． 4．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键． 5．（3分）如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个5G基站，若其覆盖范围是一个半径为200m的圆，则这三栋楼在该5G基站覆盖范围内的是（　　） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【分析】根据勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据线段中点的定义和勾股定理求出OA，再根据OA、OB、OC的长度与半径200m比较得出点A、B、C与⊙O的位置关系即可． 【解答】解：如图，点O是BC的中点， ∴OB＝OC＝BC＝×360＝180（m）， ∵AB＝150m，BC＝180m，AC＝390m，而1502+1802＝152100＝3902， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△AOB中，AB＝150m，OB＝180m， ∴OA＝＝＝＞， 即OA＞200， 又∵OB＝OC＝180＜200， ∴点B、点C在⊙O的内部，点A在⊙O的外部， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握点与圆的位置关系是正确解答的关键． 6．（3分）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先求出两根之和、两根之积，从而判断m，n的符号可以得解． 【解答】解：由方程x（x+2）﹣3＝0， 得到x2+2x﹣3＝0． 两根之和：， 两根之积：＝﹣3． ∴m，n都为负数， ∴点（m，n）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、点的坐标，解题时要熟练掌握根与系数的关系是解题关键． 7．（3分）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850 发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950 则种子发芽的概率估计值是（　　） A．0.960 B．0.950 C．0.945 D．0.940 【分析】利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.950左右，所以估计该作物种子发芽的概率为0.950． 【解答】解：根据频率估计概率可知该作物种子发芽的概率为0.950， 故选：B． 【点评】本题主要考查了模拟实验，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 【分析】连接OA，依题意得OA＝OD＝5分米，AB＝8分米，OD⊥AB，由垂径定理得AC＝AB＝4分米，在Rt△OAC中，由勾股定理求出OC＝3分米，进而可得积水的最大深度CD的值． 【解答】解：连接OA，如图所示： 依题意得：OA＝OD＝5分米，AB＝8分米，OD⊥AB， ∴△OAC是直角三角形， 由垂径定理得：AC＝AB＝4分米， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（分米）， ∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米）， ∴积水的最大深度CD为2分米． 故选：A． 【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C对应点分别为D、E．若∠B＝55°，当点B、C、D、P在同一条直线上时，则∠PDE的度数为（　　） A．55° B．70° C．80° D．110° 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝55°， ∴∠ABC＝∠ADB＝55°， ∴∠PDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝70°， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【分析】由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间，根据对称性可知对称轴，故b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误；当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误；观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误；由对称轴的范围可各知b＜﹣a，即b+a＜0，故4b+4a＜0①，把点（2，0）代入抛物线中，可得4a＝﹣2b﹣c，再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由上述对称轴的范围可知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，三项系数与图象的关系，由已知与x轴的交点情况求对称轴的范围，不等式的性质，熟练掌握以上知识点的运用是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　　 ． 【分析】求出顶点（1，3m﹣2），再由题意可得3m﹣2＝0，即可求m的值． 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3m＝2（x﹣1）2﹣2+3m， ∴顶点（1，3m﹣2）， ∵顶点在x轴上， ∴3m﹣2＝0， ∴m＝， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 13．（3分）如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是　60　 度． 【分析】根据旋转得到旋转角为∠BAC，根据等边三角形的性质，得到∠BAC＝60°，即可． 【解答】解：由题意可得：△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°； 故答案为：60． 【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 14．（3分）如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长为 　7　 cm． 【分析】设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G， 由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN， ∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm， ∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm）， ∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm）， 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15．（3分）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）解方程：x2﹣7x+12＝0． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：（x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝3，x2＝4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 17．（7分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图． （1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 　0　 ； （2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 【分析】（1）任意闭合其中一个开关，小灯泡发光为不可能事件； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于0； 故答案为：0； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6， 所以小灯泡发光的概率＝＝． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 18．（7分）已知矩形的周长为18cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留π） 【分析】根据圆柱的侧面积公式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为矩形的周长为18cm， 所以令矩形的长为acm，宽为（9﹣a）cm， 则当绕着宽旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：2•π•a•（9﹣a）＝﹣2πa2+18πa； 当绕着长旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：2•π•（9﹣a）•a＝﹣2πa2+18πa， 所以旋转形成的圆柱的侧面积S＝﹣2πa2+18πa． 因为﹣2π＜0且抛物线的对称轴为直线a＝＝， 所以当a＝时，S取得最大值为：＝（cm2）， 此时长和宽都是cm， 所以矩形的长、宽都是cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为cm2． 【点评】本题主要考查了圆柱的计算、几何体的表面积及圆柱的表面积，熟知圆柱的侧面积公式是解题的关键． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，5），B（﹣5，3），C（﹣3，1）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'； （2）作△ABC关于原点O的中心对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； （3）在（1）的条件下，连接点OC和OC'，求线段OC扫过的图形的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，再顺次连接即可得到△A′B′C′； （2）根据对称点特征即可得解； （3）先求出OC＝＝，点C旋转到C′的过程中所经过的路径是一个半径OC的圆上90°扇形长度． 【解答】解：（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，如图即为所求； （2）如图，△DEF即为所求； （3）由图可得OC2＝12+32＝10， 点C旋转到C′的过程中所经过的路径长为．＝π． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、中心对称图形、扇形面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．（9分）2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【分析】（1）设月平均增长率为x，利用该电商平台2025年11月份吉祥物一月的销售量＝该电商平台2025年9月份吉祥物一月的销售量×（1+月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价为每件y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，每天可售出（220﹣2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为20%； （2）设售价为每件y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，每天可售出20+2（100﹣y）＝（220﹣2y）件， 根据题意得：（y﹣60）（220﹣2y）＝1200， 整理得：y2﹣170y+7200＝0， 解得：y1＝80，y2＝90， 又∵要尽量减少库存， ∴y＝80． 答：售价应为每件80元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（9分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC． （1）∠ABO2＝ 　30°　 度； （2）求证：DC为⊙O2的切线； （3）若DC＝3，求⊙O2上的长． 【分析】（1）连接O1A，O1B，O1O2，BC，根据⊙O1和⊙O2是等圆得△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，则∠O1BO2＝60°，再根据相交圆的性质得O1O2⊥AB，由此可得∠ABO2的度数； （2）先证明△O2BC是等边三角形得∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，进而得DB＝BC，根据三角形外角限制得∠D＝∠BCD＝30°，则∠O2CD＝90°，然后根据切线的判定即可得出结论； （3）设O2C＝O2B＝R，则O2D＝2R，进而由勾股定理得R＝3，则O1A＝O2B＝R＝3，然后根据∠AO1B＝120°及弧长公式即可得出⊙O2上弧AB的长． 【解答】（1）解：连接O1A，O1B，O1O2，BC，如图所示： ∵⊙O1和⊙O2是等圆， ∴O1B＝O2B＝O1O2＝O1A＝O2A＝O1O2， ∴△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形， ∴∠O1BO2＝60°， 根据相交圆的性质得：O1O2⊥AB， ∴∠ABO2＝∠O1BO2＝30°， 故答案为30； （2）证明：∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形， ∴∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°， ∴∠BO2C＝60°， ∵O2B＝O2C， ∴△O2BC是等边三角形， ∴∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B， ∵DB＝O2B， ∴DB＝BC， ∴∠D＝∠BCD， ∵∠O2BC是△BCD的外角， ∴∠D+∠BCD＝∠O2BC＝60°， ∴∠D＝∠BCD＝30°， ∴∠O2CD＝∠O2CB+∠BCD＝90°， 即O2C⊥CD， ∵O2C是⊙O2的半径， ∴DC为⊙O2的切线； （3）解：设O2C＝O2B＝R， ∴DB＝O2B＝R， ∴O2D＝DB+O2B＝2R， ∵∠O2CD＝90°， ∴△O2CD是直角三角形， 在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC＝＝＝， ∵DC＝， ∴， 解得：R＝3， ∴O1A＝O2B＝R＝3， ∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形， ∴∠AO1O2＝∠BO1Q2＝60°， ∴∠AO1B＝120°， ∴⊙O2上弧AB的长为：＝2π． 【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相交两圆的性质，弧长的计算，理解圆周角定理，相交两圆的性质，熟练掌握切线的判定与性质，弧长的计算是解决问题的关键． 五、解答题（三）（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22．（13分）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　18x ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为w＝﹣x2+42x+100　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【分析】（1）根据题意得安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 23．（14分）【模型提出】如图1，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB＝45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰Rt△AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，得到△ABC的外接圆，则点C在⊙O的优弧ACB上．即：已知线段AB的长度，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）如图2，当弦AB＝6，∠C＝60°时，求△ABC外接圆的半径． （2）如图3，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE＝CF，连接AE、BF，AE与BF交于点G． ①在点G的运动过程中∠AGB＝ 　90°　 ； ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和CG的最小值； ③在图3中，若点Ⅰ是△ABG的内心，连接CI，直接写出线段CI的最小值． 【分析】（1）作△ABC外接圆，圆心为点O，连接OA，OB，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （2）①利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可； ②利用模型得到点G经过的路径为以AB为直径的圆中的的圆周长，再利用弧长公式可求点G经过的路径长，由勾股定理得出CM的长，可求出CG的最小值； ③利用模型得到点I在以AB为弦，所含圆周角为135°的劣弧上运动，画出该圆，设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作OM⊥BC，交CB的延长线于点M，利用等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）作△ABC外接圆，圆心为点O，连接OA，OB， ∵∠C＝60°， ∴∠AOB＝120°， 过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BE＝3， ∵OA＝OB， ∴∠OAE＝∠OBE＝30°， 设OA＝2x，则OE＝x， ∴OE2+AE2＝OA2， ∴x2+32＝（2x）2， ∴x＝（负值舍）， ∴OA＝2， 即△ABC外接圆的半径为2； （2）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴∠BAE＝∠CBF． ∵∠CBF+∠ABF＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠AGB＝90°； 故答案为：90°； ②连接AC，BD，它们交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°． 由①知：∠AGB＝90°， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径为以AB为直径的圆中的的圆周长，如图2， ∴点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为×2π×2＝π． 若点M为AB的中点，BM＝2， ∴CM＝＝2， ∴CG的最小值为CM﹣BM＝2﹣2； ③∵∠ABG＝90°，点I是△ABG的内心， ∴∠AIG＝135°， ∴点I在以AB为弦，所含圆周角为135°的劣弧上运动，如图， 设这个劣弧的圆心为O，连接OA，OB，过点O作OM⊥BC，交CB的延长线于点M， ∵∠AIB＝135°， ∴∠AOB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2． ∵∠ABM＝90°，∠ABO＝45°， ∴∠OBM＝45°， ∴△OMB为等腰直角三角形， ∴MB＝OM＝OB＝2， ∴CM＝BC+MB＝6． 当点O，I，C三点在一条直线上时，CI取得最小值＝OC﹣OI． ∵OC＝＝2，OI＝OA＝2， ∴CI的最小值＝2﹣2． 故答案为：2﹣2． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的轨迹，圆的有关计算，本题是阅读型题目，利用已知的模型解答是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $