专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练(27大题型共计81道题)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.由二元一次方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.构造方程组求解 题型11.由方程组解的情况求参数 题型12.方程组相同解问题 题型13.三元一次方程组的定义及解 题型14.三元一次方程组的应用 题型15.二元一次方程组的实际应用 题型16.二元一次方程组的几何应用 题型17.方案选择问题 题型18.行程问题 题型19.工程问题 题型20.数字问题 题型21.年龄问题 题型22.分配问题 题型23.销售利润问题 题型24.和差倍分问题 题型25.几何问题 题型26.图表信息问题 题型27.古代问题 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 典题特征：给出含未知数的整式方程，判断是否为二元一次方程；根据定义求方程中参数的值。 易错点：忽略“未知数次数为1”“系数不为0”“整式方程”这三个条件，容易把分式方程、未知数次数高于1的方程误判 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数均为1． 【详解】解：对于选项A：，项的次数为，不符合定义； 对于选项B：整理得，，符合二元一次方程的定义； 对于选项C：，是分式方程，不符合定义； 对于选项D：，的次数为，不符合定义． 2．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程 ∴， ∴， ∴． 3．下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 易错必刷题型02.二元一次方程的解 典题特征：判断某组数值是否为方程的解；根据解求方程中的参数；求方程的正整数解/非负整数解。 易错点：代入计算时符号出错；漏写方程的多组解，尤其是整数解的情况。 4．已知x、y满足方程（其中a为常数），下表给出了部分x与对应y值，则b的值为______． x 0 2 y b 5 9 【答案】 【分析】在所给表格中选两组数值分别代入关于x，y的二元一次方程，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b可得答案． 【详解】解：把，代入，得 解得：， ∴方程为， 将代入得， 解得． 5．某班为了开展劳动实践活动，购买小树苗和花苗，小树苗20元/棵，花苗30元/盆，共花费240元，两种植物都买的话，共有（   ）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求方程满足条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买小树苗棵，购买花苗盆，均为正整数， 根据题意列方程：， 化简得：， 变形得：， ∵是正整数， ∴是正偶数， ∵是偶数， ∴为偶数，即为偶数， 由得，解得， ∵是正偶数， ∴的取值为，对应为，均符合要求， 因此共有种购买方案． 6．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为；，即． (1)计算：______． (2)符号表示百位上的数字为a，十位为b，个位为c的数，则______．（用a，b，c表示） (3)若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数） ①________，________． ②规定，当时，求k的最大值．（提醒：可直接利用第2小题结论） 【答案】(1)9 (2) (3)①；；② 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义可得，据此求解即可； （3）①根据题意可确定s、t这两个数的百位数字，十位数字和个位数字，再由（2）的结论可得答案；②根据，得到，求出方程符合题意的解，再计算k的值，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ； （3）解：①∵，， ∴s的百位数字为x，十位数字为3，个位数字为2， ∴由（2）可得； ∵，， ∴t的百位数字为1，十位数字为5，个位数字为y， ∴由（2）得； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为． 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 典题特征：给出多个方程组成的组，判断是否为二元一次方程组。 易错点：忽略“方程组共含两个未知数”“每个方程都是一次整式方程”，误把含三个未知数、高次、分式的方程组判定为二元一次方程组。 7．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 易错必刷题型04.二元一次方程组解的判定 典题特征：给出一组数值，判断是否是方程组的解；根据解求方程组中的参数。 易错点：只代入其中一个方程验证就下结论，忘记要同时满足方程组的所有方程。 10．写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 11．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答案． 【详解】解：① 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； ② 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ③ 将代入第一个方程，，不成立， 的解不是； ④ 将代入第一个方程，，成立， 将代入第二个方程，，成立， 的解是； 综上可知，解是的有①和④， 故选：C． 12．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 易错必刷题型05.由二元一次方程组的解求参数 典题特征：给出方程组的解，代入原方程组求未知参数；两个方程组同解，求参数。 易错点：代入时计算错误；同解问题中找不到公共解的求解方向，盲目联立方程 13．小明解方程组得出的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则___________． 【答案】 【详解】解：方程组的解为， 把代入②， 解得， ∴． 14．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 15．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 易错必刷题型06.代入消元法 典题特征：用代入消元法解二元一次方程组。 易错点：用一个未知数表示另一个未知数时变形错误；代入后去括号、移项符号出错；漏写方程组的解。 16．在解方程组的过程中，将代入可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程中的表达式整体代入方程，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：方程组为， 把代入，将中的替换为，可得， 去括号得． 17．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，由新定义可得方程组，求解可得， 的值．再由新定义运算即可求得答案． 【详解】根据题意，可得 解得 所以． 故答案为：2 18．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 易错必刷题型07.加减消元法 典题特征：用加减消元法解二元一次方程组。 易错点：给方程同乘系数时，常数项漏乘；两式相减时符号错误；消元后只求出一个未知数就结束，忘记求另一个。 19．用加减消元法解方程组，下列选项中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【分析】根据消元目标，将方程乘以适当系数，使要消去的未知数的系数绝对值相等，再判断操作是否正确． 【详解】解：已知方程组， 若消去： 由于①中的系数为，②中的系数为，要使系数绝对值相等，最小公倍数为， 则利用消去， 因此选项A，B错误； 若消去： ①中的系数为，②中的系数为，将后，的系数变为，与①中的系数互为相反数， 则利用消去， 因此选项C错误，选项D正确． 20．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可消去未知数y，那么二元一次方程满足题意的解为_________． 【答案】 【分析】根据加减消元法的原理，若运算后可消去未知数y，则运算后y的系数为0，由此得到m与n的关系式，再联立已知方程求解． 【详解】解：， 得， 可消去未知数y， 的系数为，即， 联立得方程组， 整理得， 得， 将代入①得， 解得， 满足题意的解为． 21．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）首先整理二元一次方程组，再用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， ②得：， ①③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 方程组的解为． 易错必刷题型08.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：系数有规律（如互为相反数、成倍数、轮换式）的方程组，用整体代入、整体加减等简便方法求解。 易错点：强行用常规消元法导致计算复杂出错；不会观察系数特点，找不到简便思路。 22．已知二元一次方程组，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】观察方程组中方程的系数关系，利用整体思想，直接将两个方程作差即可求出的值，不需要分别求解． 【详解】解：， ，得， 化简得． 23．已知方程组，则的值为______． 【答案】3 【分析】两式相加，整体求出的值即可． 【详解】解：， ①+②得：， 整理得：，解得：． 24．解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解： ①②，得， ③， 将，得：④， ①④，得，解得：， ， ， （2）解：解为，理由如下： ， ①②，得， 即③， 将，得④， ①④，得：，， ， 方程组的解为． 易错必刷题型09.错解复原问题 典题特征：给出看错系数的错解，求原方程组的正确解；根据错解还原原方程组。 易错点：分不清哪个方程是看错系数、哪个方程是正确的，错把错解代入错误方程计算。 25．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 26．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 【答案】24 【分析】看错系数得到的解满足第一个方程，正确解满足方程组的两个方程，将对应解分别代入得到关于，，的方程，求解得到三个未知数的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，满足方程， 代入得，； 将正确解代入，得； 联立得方程组， 解得 将正确解代入，得， 解得， ∴． 27．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0, 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 易错必刷题型10.构造方程组求解 典题特征：根据绝对值、平方的非负性，同类项定义，新定义运算等条件，构造方程组求未知数。 易错点：对非负性、同类项等概念理解不牢，无法正确列出方程组。 28．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 29．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数）．例如，若，，则下列结论： ①，； ②若，则； ③若，则有2组正整数解； ④若对任意有理数x，y都成立，则．其中说法正确的为________．（直接填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③正确． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④正确． 综上，正确的结论为①②③④． 30．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【详解】（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 易错必刷题型11.由方程组解的情况求参数 典题特征：给出方程组，根据解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数的值或范围。 易错点：混淆“无解”和“无数解”的系数条件，不会通过系数比例关系判断解的情况 31．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得， ， ， 解得． 32．若由方程组解得，的值互为相反数，则的值为_____． 【答案】 【分析】由x，y的值互为相反数得到，解方程组后，将该解代入方程，求解即可． 【详解】解：∵方程组解得，的值互为相反数， ∴， 解方程组得， 把代入方程，得， 解得． 33．已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)有，公共解为 【分析】（1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 易错必刷题型12.方程组相同解问题 典题特征：给出两个含参数的二元一次方程组，说明它们有相同的解，求参数的值；或已知一个方程组的解，求另一个同解方程组的参数。 易错点：不会先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，反而盲目联立含参数的方程导致计算复杂；代入公共解求参数时符号出错、计算失误。 34．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】两个方程组有相同的解 说明公共解满足所有方程，先确定公共解为，再代入含的方程，整理即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴两个方程组的公共解为， 将代入和 ，得 ， 将两个方程左右两边分别相加，得 ， 两边同除以4，得． 35．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 36．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 易错必刷题型13.三元一次方程组的定义及解 典题特征：判断是否为三元一次方程组；验证某组数值是否为解；解简单的三元一次方程组。 易错点：消元时步骤混乱，多次消元后符号出错；漏写方程组的解。 37．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 38．已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 39．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）得，求出y的值，将y的值代入求出x的值，进而求出z的值． 【详解】（1）解： 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 所以该方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 将，代入得， 解得， 所以该方程组的解为． 易错必刷题型14.三元一次方程组的应用 典题特征：含三个未知量的实际问题（如三种物品的数量、三个量的和差倍分），列方程组求解。 易错点：找不准三个未知量间的等量关系，列方程时漏条件；消元过程计算失误。 40．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 41．已知实数，满足…①，…②，求和的值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由①-②可得，由①+②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需________元． 【答案】 【分析】根据已知条件列出方程组，然后利用整体思想进行求解即可； 【详解】设铅笔每支元，橡皮每块元，日记本每本元， 根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得：， 根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得：， 得：， 整理得：， 得：， 整理得：， 购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元， 把代入可得：（元）； 购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需元． 42．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【分析】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 易错必刷题型15.二元一次方程组的实际应用 典题特征：给出生活场景（购物、分配、生产等），只列方程组不求解。 易错点：等量关系找反（如把“甲比乙多”列成乙-甲）；单位不统一就列方程。 43．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．两人一共投中20个，且两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设小明投中个，爸爸投中个． ∵两人一共投中个， ∴. ∵小明投中个得分，爸爸投中个得分，两人得分恰好相等， ∴小明总得分为，爸爸总得分为，可得. 因此可得方程组． 44．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题意，找出两个对应总铅笔数的等量关系，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：由“若每人各得支，则还剩支”可得： ，即； 由“若有人支得支，则其余每人恰好各得支”可得： ，即， 联立得方程组． 45．某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【答案】(1)；； (2)新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 ∵该公司新增40名实习生分配到甲、乙两个团队， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 易错必刷题型16.二元一次方程组的几何应用 典题特征：结合长方形、三角形等图形的边长、周长、面积，列方程组求解。 易错点：记错几何公式（如周长、面积公式混淆）；图形边长关系分析错误，列错方程。 46．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据图示可得：长方形的长可以表示为厘米，长又是75厘米，故，长方形的宽可以表示为厘米，或厘米，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：， 故选：C． 47．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 48．小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为，根据图形列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据灰色部分的面积等于图2中大正方形的面积减去周围四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为， 根据题意，可得， 解得， 所以大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为． 故答案为：，； （2）图2中灰色部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、完全平方公式的应用、正方形面积公式等知识，理解题意，正确解得大正方形纸片（灰色）的边长和小正方形纸片（白色）的边长是解题关键． 易错必刷题型17.方案选择问题 典题特征：给出多种可行方案，求不同方案的数量；选择最优方案。 易错点：忽略未知数的实际意义（如数量为正整数），漏筛不符合的方案；计算方案总费用时出错。 49．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 【答案】 租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 【分析】设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； 【详解】解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． 50．我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 【答案】(1)需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； (2)租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 【分析】（1）设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台，根据一共租用9台挖掘机且恰好完成每小时的挖掘量建立方程组求解即可； （2）设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量建立方程，求出方程的非负整数解，并计算对应的租金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台， 由题意得，， 解得， 答：需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； （2）解：设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴为非负整数， ∴是不大于10的非负整数，且n为3的倍数， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， ∵， ∴租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 51．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)一包定制笔记本为150元，一盒定制水笔为60元 (2)购买5包定制笔记本、5盒定制水笔，或3包定制笔记本、10盒定制水笔，或1包定制笔记本、15盒定制水笔 (3)80 【分析】（1）设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元，根据购买1包定制笔记本与4盒水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒水笔需要480元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔，根据用完1050元购买两种奖品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论； （3）设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人，分三种情况，根据题意分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：一包定制笔记本的价格为150元，一盒定制水笔的价格为60元； （2）解：设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔， 根据题意得：， 整理得：， ∵a、b为正整数， ∴或或， ∴购买方案有3种： 方案一：购买5包定制笔记本，5盒定制水笔； 方案二：购买3包定制笔记本，10盒定制水笔； 方案三：购买1包定制笔记本，15盒定制水笔； （3）解：设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人， 根据奖品发放规则可知，所需笔记本总数为（本），所需水笔总数为（支）， 根据题意可知，购买笔记本包，购买水笔盒， 分三种情况： ①按方案一购买（5包定制笔记本，5盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； ②按方案二购买（3包定制笔记本，10盒定制水笔）， 根据题意得：，， 解得：，，符合题意； ③按方案三购买（1包定制笔记本，15盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为80． 易错必刷题型18.行程问题 典题特征：相遇、追及、顺流逆流、环形跑道等行程场景。 易错点：混淆相遇（路程和）、追及（路程差）的等量关系；顺流逆流的速度公式记反，忽略水流影响。 52．甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知行程问题的等量关系． 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据路程等于速度乘以时间可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：， 设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，        依题意得： ，                          解得 ，                                   答：甲的速度为12 千米/时，乙的速度为6 千米/时． 53．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 54．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 易错必刷题型19.工程问题 典题特征：两队合作、单独完成工程的时间、工作量问题。 易错点：把总工作量误设为具体数值而非1；工作效率、时间、工作量的关系混淆，列错方程。 55．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 56．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 【答案】(1)若选择方案①，该公司所得的利润为57500元 (2)选择第③种方案能使公司利润最大化，理由见解析 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：若选择方案①，该公司所得的利润为57500元． （2）解：当选择方案②时，由题意得，进行7天精加工，余下的直接销售． 则精加工的数量为，直接销售的数量为． ∴此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工x天，进行粗加工y天，由题意得 ， 解得， ∴此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为57500元， ∵， ∴选择第③种方案能使公司利润最大化． 57．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 易错必刷题型20.数字问题 典题特征：两位数、三位数的数字位置交换，数字和差关系问题。 易错点：数字的表示方法错误（如把两位数10a+b写成a+b）；忽略数字的取值范围（0-9的整数）。 58．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 59．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 60．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 【答案】(1)， (2)k的最大值为 【分析】本题考查了新定义运算和二元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列式计算和列出关于未知数的方程． （1）根据“相异数”的定义列式计算即可； （2）由，，结合，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合 的定义式，即可求出、的值，将其代入，即可得出k值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵s，t都是“相异数”，其中， ， ， ， ， ， ，都是正整数， ∴或或或或或或， 是“相异数”，，， 是“相异数”，，， 所以满足条件的有或或或， 所以或或或． 因为，所以的最大值为． 故答案为：． 易错必刷题型21.年龄问题 典题特征：两人或多人的年龄和、年龄差、年龄倍数问题。 易错点：忘记“年龄差不变”，错误认为年龄倍数不变；列方程时时间对应错误（如几年前/几年后的年龄计算失误）。 61．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁 【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可 【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意， 得 解得 答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 62．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 63．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 易错必刷题型22.分配问题 典题特征：物资分配、人员调配、车辆分配等有余或不足的场景。 易错点：“盈”“亏”的等量关系列反；分配对象的数量关系分析错误。 64．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 65．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 66．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)，，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， ． 、为正整数， 为的倍数， 又， 满足条件的为：，，，． 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 易错必刷题型23.销售利润问题 典题特征：商品打折、利润、利润率、销量的实际问题。 易错点：利润、利润率、折扣的公式混淆（如把利润率=利润/进价写成利润/售价）；折扣计算错误（如8折误算成乘8）。 67．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． (1)求篮球和排球的单价各是多少； (2)买10个篮球和5个排球要多少元？ 【答案】(1)每个篮球是90元，每个排球是65元 (2)买10个篮球和5个排球要1225元 【分析】（1）设每个篮球是x元，每个排球是y元．根据“共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元”列出方程组，求解即可； （2）根据（1）所求的篮球和排球的单价，乘以对应的数量即可解答． 【详解】（1）解：设每个篮球是x元，每个排球是y元．根据题意，得 ，解得， 答：每个篮球是90元，每个排球是65元． （2）解：（元）， 答：买10个篮球和5个排球要1225元． 68．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了新款国际品牌节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费500元．B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费880元． (1)1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ (2)这家工厂有5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯，并且这5个车间对乙型节能灯总需求不少于6盏．根据各车间对节能灯需求，这家工厂共花费1400元购买甲、乙两种型号的节能灯若干盏．小明认为这家工厂购买节能灯数量够用，请判断小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)1盏甲型节能灯售价为50元，1盏乙型节能灯售价为70元 (2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买甲型号节能灯a盏，乙型号节能灯b盏，根据题意列方程得，则，根据a、b取值范围求解判定即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：1盏甲型节能灯售价为50元，1盏乙型节能灯的售价为70元； （2）解：小明的说法不正确．理由： 设购买甲型号节能灯a盏，乙型号节能灯b盏， 根据题意，得， 则， ∵a、b是非负整数，且， ∴或或， ∵5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯， ∴5个车间共需甲乙两种型号的节能灯至少（盏）， 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 综上，这家工厂购买节能灯数量不够用，即小明的说法不正确． 69．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题2：八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】(1)大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 (2)八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】（1）设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； （2）根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； （2）解：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：，方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 易错必刷题型24.和差倍分问题 典题特征：两个量的和、差、倍数、几分之几的关系问题。 易错点：“甲是乙的几倍”“甲比乙多几分之几”的等量关系列反；分数计算时通分出错。 70．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 【答案】参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵 【详解】解：设参加植树的人数为人，这批树苗总数为棵， 根据题意，得， 解得， 答：参加植树的人数为45人，这批树苗总数为95棵． 71．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 【答案】原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子 【分析】设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子，根据鸽子的对话列出方程组，求解即可． 【详解】解：设原来树上有只鸽子，树下有只鸽子， 由题意得：， 解得：， 答：原来树上有7只鸽子，树下有5只鸽子． 72．某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 【答案】参加调查问卷的学生有48名 【分析】通过设未知数，根据数量关系列出方程组，求解出各项目的人数，进而得出参加调查问卷的学生总数． 【详解】解：设选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，则选手工制作的有人，选趣味数学的有人． 根据题意，得 整理①，得．③ 整理②，得．④ ③④，得， 整理，得． ③④，得，即． ∵都是正整数， ∴或或或或或当或或或或时，都不是整数，不符合题意； 当时，． ∴选信息技术的有人，选演讲与口才的有人，选手工制作的有人，选趣味数学的有人．由于每名学生都填了调查表，且只选了一个项目，则（人）． 故答案为：参加调查问卷的学生有名． 【点睛】本题考查通过设定未知数建立方程组，解题关键是根据题目中的数量关系准确设出未知数，列出方程组，再结合正整数的条件进行求解． 易错必刷题型25.几何问题 典题特征：图形拼接、折叠、边长变化、面积变化的实际问题。 易错点：折叠后边长、角度的关系分析错误；图形拼接时漏算重叠部分，列错方程。 73．如图，在长方形中，放入6个大小、形状完全相同的小长方形（空白部分），其中，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长等于两个小长方形的长与一个小长方形的宽的和，大长方形的宽等于一个小长方形的长与宽的和建立二元一次方程组求解长方形的长、宽，再由大长方形面积减去6个小长方形面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可得 解得 答：阴影部分的面积为． 74．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【分析】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 75．数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 【答案】(1)80；12；22 (2)142 【分析】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）分别求出100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒需要的小长方形和小正方形的个数，再判断需要的卡纸数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 根据题意得：， ∴． ∴n的值为80，x的值为12，y的值为22； （2）解：100个竖式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 50个横式叠盖纸盒需要（个）小长方形，（个）小正方形， 所以，100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒一共需要（个）小长方形，（个）小正方形， 又每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形 所以，1张标准卡纸可以剪裁成12个小正方形， 所以，（张）标准卡纸，还剩下2个小长方形； （张）标准卡纸，还剩下4个小正方形； 4个小正方形可拼成2个小长方形， 所以，，不足1张标准卡纸， 所以，做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要张卡纸． 易错必刷题型26.图表信息问题 典题特征：结合表格、统计图、价格表等，提取信息列方程组求解。 易错点：看错图表中的数据；漏看图表中的单位、备注条件，列错方程。 76．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． (1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值； (2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可； （2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可． 【详解】（1）解：由已知条件可得， 解得：． （2）解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键． 77．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 78．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 易错必刷题型27.古代问题 典题特征：《九章算术》等古代数学典籍中的应用题，用白话文描述场景。 易错点：看不懂古文描述的等量关系；把古代单位和现代单位混淆，计算错误。 79．马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 【答案】每匹马价值两白银，每头牛价值两白银 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程组是解题的关键． 设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银，依题意得，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：设每匹马价值两白银，每头牛价值两白银， 依题意得： ， 解得：， 答：每匹马价值两白银，每头牛价值两白银． 80．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 81．古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组易错必刷题型专项训练 本专题汇总二元一次方程组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.由二元一次方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.构造方程组求解 题型11.由方程组解的情况求参数 题型12.方程组相同解问题 题型13.三元一次方程组的定义及解 题型14.三元一次方程组的应用 题型15.二元一次方程组的实际应用 题型16.二元一次方程组的几何应用 题型17.方案选择问题 题型18.行程问题 题型19.工程问题 题型20.数字问题 题型21.年龄问题 题型22.分配问题 题型23.销售利润问题 题型24.和差倍分问题 题型25.几何问题 题型26.图表信息问题 题型27.古代问题 易错必刷题型01.二元一次方程组的定义 典题特征：给出含未知数的整式方程，判断是否为二元一次方程；根据定义求方程中参数的值。 易错点：忽略“未知数次数为1”“系数不为0”“整式方程”这三个条件，容易把分式方程、未知数次数高于1的方程误判 1．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是______． 3．下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 易错必刷题型02.二元一次方程的解 典题特征：判断某组数值是否为方程的解；根据解求方程中的参数；求方程的正整数解/非负整数解。 易错点：代入计算时符号出错；漏写方程的多组解，尤其是整数解的情况。 4．已知x、y满足方程（其中a为常数），下表给出了部分x与对应y值，则b的值为______． x 0 2 y b 5 9 5．某班为了开展劳动实践活动，购买小树苗和花苗，小树苗20元/棵，花苗30元/盆，共花费240元，两种植物都买的话，共有（   ）种购买方案． A．6 B．5 C．4 D．3 6．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和为；，即． (1)计算：______． (2)符号表示百位上的数字为a，十位为b，个位为c的数，则______．（用a，b，c表示） (3)若s，t都是“相异数”，其中，（，，x，y都是正整数） ①________，________． ②规定，当时，求k的最大值．（提醒：可直接利用第2小题结论） 易错必刷题型03.二元一次方程组的判定 典题特征：给出多个方程组成的组，判断是否为二元一次方程组。 易错点：忽略“方程组共含两个未知数”“每个方程都是一次整式方程”，误把含三个未知数、高次、分式的方程组判定为二元一次方程组。 7．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 9．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型04.二元一次方程组解的判定 典题特征：给出一组数值，判断是否是方程组的解；根据解求方程组中的参数。 易错点：只代入其中一个方程验证就下结论，忘记要同时满足方程组的所有方程。 10．写一个解是的二元一次方程组_______． 11．在①，②，③，④中，解是的有（    ） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 12．下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型05.由二元一次方程组的解求参数 典题特征：给出方程组的解，代入原方程组求未知参数；两个方程组同解，求参数。 易错点：代入时计算错误；同解问题中找不到公共解的求解方向，盲目联立方程 13．小明解方程组得出的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则___________． 14．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 15．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 易错必刷题型06.代入消元法 典题特征：用代入消元法解二元一次方程组。 易错点：用一个未知数表示另一个未知数时变形错误；代入后去括号、移项符号出错；漏写方程组的解。 16．在解方程组的过程中，将代入可得（   ） A． B． C． D． 17．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：，例如．若，，则_________． 18．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 易错必刷题型07.加减消元法 典题特征：用加减消元法解二元一次方程组。 易错点：给方程同乘系数时，常数项漏乘；两式相减时符号错误；消元后只求出一个未知数就结束，忘记求另一个。 19．用加减消元法解方程组，下列选项中正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 20．在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可消去未知数y，那么二元一次方程满足题意的解为_________． 21．解下列方程组： (1)； (2)． 易错必刷题型08.二元一次方程组的特殊解法 典题特征：系数有规律（如互为相反数、成倍数、轮换式）的方程组，用整体代入、整体加减等简便方法求解。 易错点：强行用常规消元法导致计算复杂出错；不会观察系数特点，找不到简便思路。 22．已知二元一次方程组，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．已知方程组，则的值为______． 24．解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 易错必刷题型09.错解复原问题 典题特征：给出看错系数的错解，求原方程组的正确解；根据错解还原原方程组。 易错点：分不清哪个方程是看错系数、哪个方程是正确的，错把错解代入错误方程计算。 25．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 26．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 27．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 易错必刷题型10.构造方程组求解 典题特征：根据绝对值、平方的非负性，同类项定义，新定义运算等条件，构造方程组求未知数。 易错点：对非负性、同类项等概念理解不牢，无法正确列出方程组。 28．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 29．对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数）．例如，若，，则下列结论： ①，； ②若，则； ③若，则有2组正整数解； ④若对任意有理数x，y都成立，则．其中说法正确的为________．（直接填序号）． 30．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 易错必刷题型11.由方程组解的情况求参数 典题特征：给出方程组，根据解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数的值或范围。 易错点：混淆“无解”和“无数解”的系数条件，不会通过系数比例关系判断解的情况 31．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 32．若由方程组解得，的值互为相反数，则的值为_____． 33．已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 易错必刷题型12.方程组相同解问题 典题特征：给出两个含参数的二元一次方程组，说明它们有相同的解，求参数的值；或已知一个方程组的解，求另一个同解方程组的参数。 易错点：不会先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，反而盲目联立含参数的方程导致计算复杂；代入公共解求参数时符号出错、计算失误。 34．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 35．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 36．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 易错必刷题型13.三元一次方程组的定义及解 典题特征：判断是否为三元一次方程组；验证某组数值是否为解；解简单的三元一次方程组。 易错点：消元时步骤混乱，多次消元后符号出错；漏写方程组的解。 37．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 38．已知方程组，则 ___________． 39．解方程组 (1) (2) 易错必刷题型14.三元一次方程组的应用 典题特征：含三个未知量的实际问题（如三种物品的数量、三个量的和差倍分），列方程组求解。 易错点：找不准三个未知量间的等量关系，列方程时漏条件；消元过程计算失误。 40．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 41．已知实数，满足…①，…②，求和的值，仔细观察未知数系数之间的关系，如由①-②可得，由①+②可得．这就是通常说的“整体思想”．尝试利用“整体思想”，解决下列问题，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买10支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需________元． 42．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 易错必刷题型15.二元一次方程组的实际应用 典题特征：给出生活场景（购物、分配、生产等），只列方程组不求解。 易错点：等量关系找反（如把“甲比乙多”列成乙-甲）；单位不统一就列方程。 43．小明与爸爸一起做“投篮球”游戏．规则为：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分．两人一共投中20个，且两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 44．第一小组的同学分铅笔若干支，若每人各得6支，则还剩4支；若有1人只得1支，则其余每人恰好各得7支．设第一小组有人，铅笔有支，依题意可列方程组为__________． 45．某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 易错必刷题型16.二元一次方程组的几何应用 典题特征：结合长方形、三角形等图形的边长、周长、面积，列方程组求解。 易错点：记错几何公式（如周长、面积公式混淆）；图形边长关系分析错误，列错方程。 46．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 47．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 48．小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 易错必刷题型17.方案选择问题 典题特征：给出多种可行方案，求不同方案的数量；选择最优方案。 易错点：忽略未知数的实际意义（如数量为正整数），漏筛不符合的方案；计算方案总费用时出错。 49．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元．求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆． 50．我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 51．根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 易错必刷题型18.行程问题 典题特征：相遇、追及、顺流逆流、环形跑道等行程场景。 易错点：混淆相遇（路程和）、追及（路程差）的等量关系；顺流逆流的速度公式记反，忽略水流影响。 52．甲、乙两人相距．若两人同时出发相向而行，则出发后相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发，则乙出发后两人相遇．求甲、乙两人的速度． 53．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 54．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 易错必刷题型19.工程问题 典题特征：两队合作、单独完成工程的时间、工作量问题。 易错点：把总工作量误设为具体数值而非1；工作效率、时间、工作量的关系混淆，列错方程。 55．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 56．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 57．苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 易错必刷题型20.数字问题 典题特征：两位数、三位数的数字位置交换，数字和差关系问题。 易错点：数字的表示方法错误（如把两位数10a+b写成a+b）；忽略数字的取值范围（0-9的整数）。 58．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 59．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 60．（新定义）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． (1)计算：，． (2)若s，t都是“相异数”，其中，（，都是正整数），规定：，当时，求k的最大值． 易错必刷题型21.年龄问题 典题特征：两人或多人的年龄和、年龄差、年龄倍数问题。 易错点：忘记“年龄差不变”，错误认为年龄倍数不变；列方程时时间对应错误（如几年前/几年后的年龄计算失误）。 61．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？ 62．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 63．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 易错必刷题型22.分配问题 典题特征：物资分配、人员调配、车辆分配等有余或不足的场景。 易错点：“盈”“亏”的等量关系列反；分配对象的数量关系分析错误。 64．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 65．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 66．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 易错必刷题型23.销售利润问题 典题特征：商品打折、利润、利润率、销量的实际问题。 易错点：利润、利润率、折扣的公式混淆（如把利润率=利润/进价写成利润/售价）；折扣计算错误（如8折误算成乘8）。 67．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． (1)求篮球和排球的单价各是多少； (2)买10个篮球和5个排球要多少元？ 68．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了新款国际品牌节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费500元．B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费880元． (1)1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ (2)这家工厂有5个车间，每个车间至少需要5盏甲乙两种型号的节能灯，并且这5个车间对乙型节能灯总需求不少于6盏．根据各车间对节能灯需求，这家工厂共花费1400元购买甲、乙两种型号的节能灯若干盏．小明认为这家工厂购买节能灯数量够用，请判断小明的说法是否正确？请说明理由． 69．某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题2：八、九年级各有多少人参加春游？ 易错必刷题型24.和差倍分问题 典题特征：两个量的和、差、倍数、几分之几的关系问题。 易错点：“甲是乙的几倍”“甲比乙多几分之几”的等量关系列反；分数计算时通分出错。 70．3月12日植树节当天，某校组织学生参加植树活动，践行绿色环保理念．如果每人种2棵树苗，则最后还剩5棵树苗；如果每人种3棵树苗，则还缺40棵树苗．求参加植树的人数和这批树苗的总数． 71．列二元一次方程组解决下列问题： 毗邻筼筜湖的白鹭洲公园鸽子广场深受市民们的喜爱．有一个关于鸽子的童话故事如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”请你算算原来树上、树下各有多少只鸽子？ 72．某校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调查表，且只选了一个项目）．据统计，主要有趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作四个项目．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8；选趣味数学的人不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24．参加调查问卷的学生有多少名？ 易错必刷题型25.几何问题 典题特征：图形拼接、折叠、边长变化、面积变化的实际问题。 易错点：折叠后边长、角度的关系分析错误；图形拼接时漏算重叠部分，列错方程。 73．如图，在长方形中，放入6个大小、形状完全相同的小长方形（空白部分），其中，求图中阴影部分的面积． 74．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 75．数学实践：用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖盒和横式叠盖纸盒的平面展开图． (1)数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到158张小长方形和张小正方形做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒（其中x，y均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．求n，x，y的值． (2)计划做成100个竖式叠盖纸盒和50个横式叠盖纸盒，求至少需要多少张卡纸？ 易错必刷题型26.图表信息问题 典题特征：结合表格、统计图、价格表等，提取信息列方程组求解。 易错点：看错图表中的数据；漏看图表中的单位、备注条件，列错方程。 76．如图，在的方格内，填写了一些代数式和数． (1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值； (2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内． 77．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 78．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 易错必刷题型27.古代问题 典题特征：《九章算术》等古代数学典籍中的应用题，用白话文描述场景。 易错点：看不懂古文描述的等量关系；把古代单位和现代单位混淆，计算错误。 79．马四匹牛六头共价白银48两，马三匹牛五头共价白银38两．每匹马，每头牛各价值多少两白银？ 80．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 81．古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $