专题01幂的运算易错必刷题型专项训练(20大题型共计81道题)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题01幂的运算易错必刷题型专项训练 本专题汇总幂的运算全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.用科学记数法表示数的乘法 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.底数为负数的幂的运算 题型14.底数为分数的幂的运算 题型15.含幂的化简求值 题型16.利用幂的运算比较大小 题型17.幂的运算与参数求解 题型18.幂的运算中的整体代换 题型19.幂的运算的实际应用 题型20.新定义运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：式子为同底数幂相乘形式，底数完全一样，多个幂连乘，填空、选择、基础计算题居多。 易错点：计算时乱把底数也一起相加；指数忘记相加，反而做乘法；底数互为相反数，看不出是同底数直接乱算。 1．计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 2．若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】将已知转化为，，再根据同底数幂的乘法求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 3．已知，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及已知条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 4．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) 【分析】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算，并注意结果的正负即可； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先将代数式进行变换，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 易错必刷题型02.同底数幂乘法的逆用 典题特征：已知幂的指数和、幂的结果，反过来拆成两个同底数幂相乘，求式子的值。 易错点：不会逆向拆分指数，只会正着算；拆分指数时拆错数字；分不清正向计算和逆向变形的用法。 5．已知，，则_____． 【答案】48 【分析】根据同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：． 6．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形后，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂乘法法则可得：， ∵ ，， ∴ ，即选项B符合题意． 7．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是根据已知条件，得到，再根据幂的运算，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 易错必刷题型03.用科学记数法表示数的乘法 典题特征：题干带a×10n形式的大数相乘，最后结果要求用科学记数法规范书写。 易错点：前面数字相乘后，不重新化成1≤a＜10的标准形式；10的指数相加算错；单位换算、末尾0的个数数错。 9．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 10．用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积，最后整理得到符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解： ． 11．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 12．光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 易错必刷题型04.幂的乘方运算 典题特征：式子是幂的再乘方，形如(am)n，双层指数结构，纯基础运算题。 易错点：指数不去相乘，反而直接相加；把幂的乘方和同底数幂乘法法则弄混淆；多层括号连续乘方，指数算错 13．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据积的乘方运算法则，可得 ， 再根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，可得， 故． 14．已知，则______． 【答案】100 【分析】根据题意可得，根据幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 15．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得，由幂的乘方和同底数幂的乘法把原式转化为，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 易错必刷题型05.幂的乘方的逆用 典题特征：把一个高次幂，拆成幂的乘方形式，用来整体代入求值。 易错点：不会反向拆分指数；拆分后底数和指数对应不上；和积的乘方逆用规则弄混。 17．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 18．已知实数、、存在数量关系、，则________． 【答案】 12 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算. 【详解】解：， 19．已知，，，且，则的值为（    ） A．5 B．15 C．3 D．10 【答案】C 【分析】利用积的乘方、幂的乘方法则对已知条件变形，对比同底数幂的指数即可得到的值． 【详解】解：，，， ， 又， 将代入得 ， ， ， ． 20．求代数式或x的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) 45 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则及幂的乘方逆运算计算即可； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法计算即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， 化简得， ∴， ∴ 易错必刷题型06.积的乘方运算 典题特征：形如(ab)n，括号里是多个因式相乘，整体再乘方。 易错点：只给字母乘方，数字、系数忘记一起乘方；括号里有加减，也直接套用积的乘方公式；符号乘方正负判断错误。 21．若，则的值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算性质，利用积的乘方的逆运算将所求式子变形，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 22．计算：_______． 【答案】 【分析】本题利用积的乘方运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 23．计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】A 【分析】通过简化指数表达式，利用负数的奇偶次幂性质，并将积的乘方的逆运算合并计算． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算，积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握各种运算的特点． 【详解】解： 原式   故选：A． 24．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方公式计算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方公式计算即可； （3）先算积的乘方，再进行乘法运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 易错必刷题型07.积的乘方的逆用 典题特征：两个幂指数相同、底数能凑成整数，反向合并成一个积的乘方简便计算。 易错点：指数不一样，也强行套用逆用公式；凑底数的时候配对错误；正负号合并时出错。 25．______． 【答案】 【详解】解：． 26．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】原式变形为，再逆用积的乘方法则计算． 【详解】解：． 27．计算：_____ 【答案】/ 【详解】解： ． 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型08.同底数幂的除法运算 典题特征：同底数幂做除法，底数相同，大指数减小指数，基础化简计算题。 易错点：指数直接大数减小数算反；除法做成指数相加；底数不同，硬按同底数幂除法计算。 29．已知，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则；将原式化为：即可得出答案． 【详解】解：． 30．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 31．若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． 【详解】， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 32．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算乘方，再算乘除即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 易错必刷题型09.同底数幂除法的逆用 典题特征：已知两个幂相除的结果，反过来拆分指数、变形求解代数式。 易错点：逆向拆分指数完全不会；拆分后符号、指数对应出错；和乘法逆用规则记混。 33．已知：，，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 34．已知，，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 35．若，，则的值是____． 【答案】 【分析】直接利用同底数幂的乘法逆运算法则得出关于，的等式，再利用同底数幂除法法则计算即可，正确掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 36．计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）求出的值，再根据求解即可； （2）求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案； （3）把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型10.幂的混合运算 典题特征：一道题里同时包含乘方、乘、除多种幂运算，混合在一起综合计算。 易错点：运算顺序混乱，不先算乘方再算乘除；几步法则来回用混；中间步骤跳步，一步错后面全跟着错。 37．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 38．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 39．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 40．计算：． 【答案】 【详解】解： 易错必刷题型11.零指数幂 典题特征：形如a0，考查零指数结果等于1，常结合底数取值范围出题。 易错点：任何数的0次方都直接写1，忽略底数不能为0；底数是负数、分数时，不敢判定结果为1。 41．已知，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：根据可知：， ∴． 42．若，则________． 【答案】0或2024或2026 【分析】先利用零指数幂的性质化简等式右侧，再分三种情况讨论幂值为的情形，验证后得到符合条件的的值． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时，此时，符合题意； 当，即时，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上所述，x的值为0或2024或2026． 43．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂的定义，任何非零实数的0次方都等于1，因此底数不能为0． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：C． 44．计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值、乘方、零指数幂及负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 易错必刷题型12.负整数指数幂 典题特征：形如a-n，负指数要变倒数，指数变正数再计算。 易错点：负指数直接当成负数计算；只把指数变正，忘记整体取倒数；分数负指数颠倒分子分母出错。 45．若，则__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则：对任意非零实数，正整数，有（，为正整数）， ∵， ∴代入计算：． 47．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 易错必刷题型13.底数为负数的幂的运算 典题特征：底数是负数，再做乘方、乘除运算，重点区分奇偶指数正负。 易错点：分不清奇次幂为负、偶次幂为正；带括号和不带括号的负号区别看不懂；正负号最后化简看错。 48．计算：________． 【答案】 【详解】解： . 49．计算：___________． 【答案】 【分析】先化简第一项，再依次利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 50．（为大于1的整数）的结果是________． 【答案】0 【分析】此题考查了同底数幂的乘法逆运算法则，利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 51．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘及积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）根据积的乘方逆运算进行化简求值． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 易错必刷题型14.底数为分数的幂的运算 典题特征：底数是分数，整体做乘方、乘除、混合运算。 易错点：只给分子乘方，分母忘记一起乘方；分数负指数颠倒分子分母搞反；分数幂化简不彻底。 52．计算的结果是_________. 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算，将原式拆分变形，再根据有理数乘方的运算法则计算结果． 【详解】解：． 53．______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算. 先将指数拆分为，再将同指数的幂结合，利用积的乘方运算法则简化计算，最后求出结果． 【详解】 ． 54．计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 55．已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 56．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 【答案】(1)①1，② (2)3 【分析】（1）①利用积的乘方法则的逆运算解答即可；②将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将等式左边化为以2为底的幂的形式，然后根据同底数幂相等的性质列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：∵ ∴， ∴， 解得． 易错必刷题型15.含幂的化简求值 典题特征：先对幂的式子整体化简，再代入字母具体数值，算出最终结果。 易错点：不先化简，直接带数硬算，计算量大还容易算错；化简过程法则用混；代入负数、分数时不加括号，符号出错。 57．先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 58．运算能力：已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．将，看作一个整体，利用积的乘方和同底数幂乘法运算法则，对等式左边进行化简，然后得出，，最后求出，的值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，， 解得：，． 59．先化简，再求值 (1)已知 ，求代数式的值． (2)若，则求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据，得，化简后，求值计算即可． （2）根据单项式乘以单项式的法则计算求值即可． 本题考查了整式的化简求值，单项式乘以单项式，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，得， ． （2）解： ． ∴， 解得：， 故． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式=． 易错必刷题型16.利用幂的运算比较大小 典题特征：给出多个底数、指数都不一样的幂，统一底数或指数后比较大小。 易错点：不会统一底数、统一指数，直接盲目比较；指数、底数换算过程算错；正数负数幂大小比较规则搞混。 61．已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 【答案】< 【分析】先利用负整数指数幂计算，然后进行有理数大小比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 62．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则将原式化为同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 63．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 64．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可． 【详解】∵ ． ． ． ． 又 ∴ 最小的是． 故选： C． 65．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 易错必刷题型17.幂的运算与参数求解 典题特征：两个幂相等，对应底数、指数相等，列方程求里面未知字母参数。 易错点：不会先统一两边底数，就直接令指数相等；解方程移项、计算出错；漏掉底数正负、取值限制条件。 66．若，则的值为_______． 【答案】1或2或4 【分析】根据题意可得，且；再分三种情况：，，，分别求出对应情况下的值，看是否符合题意即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 当，即时，，则，符合题意； 综上所述，t的值为1或2或4． 67．若，则可以取的值有______． 【答案】6，4，1 【分析】根据整数指数幂的运算性质，分三种情况讨论幂等于的情形，分别计算验证得到的取值． 【详解】解：①当时，， ，符合题意； ②当时，， ，符合题意； ③当，，解得， 故可以取的值有6，4，1． 68．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 【答案】或2或1 【分析】需分三种情况讨论：①指数为且底数不为；②底数为；③底数为且指数为偶数，分别计算验证即可． 【详解】解：分三种情况讨论： （1）当且时， 由得， 此时，则，符合题意． （2）当时， 解得， 此时，则，符合题意． （3）当时， 解得， 此时，则，符合题意． 综上所述，等式成立的的值为或或． 69．若，则____________，____________． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 70．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的逆运算及同底数幂的乘法得出，然后再化简求值即可． 【详解】解： ∴     ∴ ∴ ∴ ∴      易错必刷题型18.幂的运算中的整体代换 典题特征：不单独求字母，把一个幂的式子看成整体，直接代入数值计算。 易错点：非要拆开单独求字母，绕弯路还容易算错；整体代换时代入数值带错；式子变形匹配不上已知条件。 71．如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由已知得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法法则把原式转化为，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 72．已知，那么的值是___________． 【答案】16 【分析】将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 把，代入得： 原式． 73．已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 74．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，又，可得，可知； （3）根据同底数幂的除法法则得到，，进而逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）证明： （3）解：， ， 易错必刷题型19.幂的运算的实际应用 典题特征：结合生活情境、细胞分裂、倍数增长、几何面积体积、科学计数法实际场景出题。 易错点：不会把生活文字，转化成幂的数学式子；找不对增长次数、对应指数；最后结果不按要求规范书写。 75．如图，吴老师把家里的密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，以及探索规律，数字规律可由前面两个等式发现规律，也是解题的关键．根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母、、的指数组成，依此即可求解． 【详解】解：由图片可得：沁，园， ∴得出密码规律：由汉字的拼音与化简后、、的指数组成， ∵， ∴密码为：． 故答案为：． 76．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 【答案】14 【分析】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． 77．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：（个）， 乙袋：（个）， 丙袋：（个）， ∵此时三只袋中球的个数都相同， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 易错必刷题型20.新定义运算 典题特征：题目先给出全新自定义幂运算规则、新符号，读懂规则再结合幂的运算做题，多为大题压轴。 易错点：看不懂题干新定义规则，直接用自己学的旧法则乱算；忽略定义里的限制条件；第一小问理解错，后面所有问题跟着全错；嵌套新运算，分步拆解不开，运算顺序乱套。 78．对于a，b两数定义@的一种运算：（其中等式右边中的·和+是通常意义下的乘法与加法），若，则x的值为__________． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当底数，解得，此时指数为，满足 当底数且指数为偶数， 解得，此时指数为0，， 当指数且底数， 解得，此时底数为， 故答案为：1或． 79．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据新运算定义，分别验证三个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①： ， ∴ 结论①错误． 对于结论②： ， ， ． ∴ 结论②正确． 对于结论③： ， 同理， ． ∴ 结论③正确． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：B． 80．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可； （3）根据定义，列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故； （2）解：根据题意，得， 故； （3）解：根据题意，得， ， 故， 故， 解得， 故当x为2时，的值与的值相等． 81．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 【答案】(1)4， (2)①3；② (3)2 【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解； （2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解； ②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到； （3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由题意设，，则，， 则， ∴，即； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即a，b，c之间的数量关系为； （3）解：， 设，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的运算易错必刷题型专项训练 本专题汇总幂的运算全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.用科学记数法表示数的乘法 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.底数为负数的幂的运算 题型14.底数为分数的幂的运算 题型15.含幂的化简求值 题型16.利用幂的运算比较大小 题型17.幂的运算与参数求解 题型18.幂的运算中的整体代换 题型19.幂的运算的实际应用 题型20.新定义运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：式子为同底数幂相乘形式，底数完全一样，多个幂连乘，填空、选择、基础计算题居多。 易错点：计算时乱把底数也一起相加；指数忘记相加，反而做乘法；底数互为相反数，看不出是同底数直接乱算。 1．计算：____________． 2．若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，，且，则的值为______． 4．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 易错必刷题型02.同底数幂乘法的逆用 典题特征：已知幂的指数和、幂的结果，反过来拆成两个同底数幂相乘，求式子的值。 易错点：不会逆向拆分指数，只会正着算；拆分指数时拆错数字；分不清正向计算和逆向变形的用法。 5．已知，，则_____． 6．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 7．已知，，则____________________． 8．（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 易错必刷题型03.用科学记数法表示数的乘法 典题特征：题干带a×10n形式的大数相乘，最后结果要求用科学记数法规范书写。 易错点：前面数字相乘后，不重新化成1≤a＜10的标准形式；10的指数相加算错；单位换算、末尾0的个数数错。 9．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 10．用科学记数法表示：_________． 11．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 12．光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 易错必刷题型04.幂的乘方运算 典题特征：式子是幂的再乘方，形如(am)n，双层指数结构，纯基础运算题。 易错点：指数不去相乘，反而直接相加；把幂的乘方和同底数幂乘法法则弄混淆；多层括号连续乘方，指数算错 13．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则______． 15．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 16．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型05.幂的乘方的逆用 典题特征：把一个高次幂，拆成幂的乘方形式，用来整体代入求值。 易错点：不会反向拆分指数；拆分后底数和指数对应不上；和积的乘方逆用规则弄混。 17．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．已知实数、、存在数量关系、，则________． 19．已知，，，且，则的值为（    ） A．5 B．15 C．3 D．10 20．求代数式或x的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求x的值． 易错必刷题型06.积的乘方运算 典题特征：形如(ab)n，括号里是多个因式相乘，整体再乘方。 易错点：只给字母乘方，数字、系数忘记一起乘方；括号里有加减，也直接套用积的乘方公式；符号乘方正负判断错误。 21．若，则的值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．25 22．计算：_______． 23．计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 24．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型07.积的乘方的逆用 典题特征：两个幂指数相同、底数能凑成整数，反向合并成一个积的乘方简便计算。 易错点：指数不一样，也强行套用逆用公式；凑底数的时候配对错误；正负号合并时出错。 25．______． 26．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 27．计算：_____ 28．用简便方法计算： (1)； (2)． 易错必刷题型08.同底数幂的除法运算 典题特征：同底数幂做除法，底数相同，大指数减小指数，基础化简计算题。 易错点：指数直接大数减小数算反；除法做成指数相加；底数不同，硬按同底数幂除法计算。 29．已知，则_____． 30．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．若整数a，b，c满足，则______． 32．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型09.同底数幂除法的逆用 典题特征：已知两个幂相除的结果，反过来拆分指数、变形求解代数式。 易错点：逆向拆分指数完全不会；拆分后符号、指数对应出错；和乘法逆用规则记混。 33．已知：，，则_________． 34．已知，，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D． 35．若，，则的值是____． 36．计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 易错必刷题型10.幂的混合运算 典题特征：一道题里同时包含乘方、乘、除多种幂运算，混合在一起综合计算。 易错点：运算顺序混乱，不先算乘方再算乘除；几步法则来回用混；中间步骤跳步，一步错后面全跟着错。 37．计算： ______． 38．计算： ______． 39．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 40．计算：． 易错必刷题型11.零指数幂 典题特征：形如a0，考查零指数结果等于1，常结合底数取值范围出题。 易错点：任何数的0次方都直接写1，忽略底数不能为0；底数是负数、分数时，不敢判定结果为1。 41．已知，则的取值范围是_____． 42．若，则________． 43．若，则（    ） A． B． C． D． 44．计算：． 易错必刷题型12.负整数指数幂 典题特征：形如a-n，负指数要变倒数，指数变正数再计算。 易错点：负指数直接当成负数计算；只把指数变正，忘记整体取倒数；分数负指数颠倒分子分母出错。 45．若，则__________． 46．的值为（   ） A． B． C． D． 47．计算：． 易错必刷题型13.底数为负数的幂的运算 典题特征：底数是负数，再做乘方、乘除运算，重点区分奇偶指数正负。 易错点：分不清奇次幂为负、偶次幂为正；带括号和不带括号的负号区别看不懂；正负号最后化简看错。 48．计算：________． 49．计算：___________． 50．（为大于1的整数）的结果是________． 51．计算 (1) (2) 易错必刷题型14.底数为分数的幂的运算 典题特征：底数是分数，整体做乘方、乘除、混合运算。 易错点：只给分子乘方，分母忘记一起乘方；分数负指数颠倒分子分母搞反；分数幂化简不彻底。 52．计算的结果是_________. 53．______． 54．计算_________ 55．已知正整数满足，则___________． 56．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 易错必刷题型15.含幂的化简求值 典题特征：先对幂的式子整体化简，再代入字母具体数值，算出最终结果。 易错点：不先化简，直接带数硬算，计算量大还容易算错；化简过程法则用混；代入负数、分数时不加括号，符号出错。 57．先化简，再求值：，其中， 58．运算能力：已知，求，的值． 59．先化简，再求值 (1)已知 ，求代数式的值． (2)若，则求的值． 60．先化简，再求值：，其中． 易错必刷题型16.利用幂的运算比较大小 典题特征：给出多个底数、指数都不一样的幂，统一底数或指数后比较大小。 易错点：不会统一底数、统一指数，直接盲目比较；指数、底数换算过程算错；正数负数幂大小比较规则搞混。 61．已知，，则a____b（用“>”，“=”，“<”连接） 62．已知，，则a，b的大小关系是______（请用字母表示，并用“”连接）． 63．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 64．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 65．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型17.幂的运算与参数求解 典题特征：两个幂相等，对应底数、指数相等，列方程求里面未知字母参数。 易错点：不会先统一两边底数，就直接令指数相等；解方程移项、计算出错；漏掉底数正负、取值限制条件。 66．若，则的值为_______． 67．若，则可以取的值有______． 68．如果等式，则等式成立的x的值为_____ ． 69．若，则____________，____________． 70．已知，求的值． 易错必刷题型18.幂的运算中的整体代换 典题特征：不单独求字母，把一个幂的式子看成整体，直接代入数值计算。 易错点：非要拆开单独求字母，绕弯路还容易算错；整体代换时代入数值带错；式子变形匹配不上已知条件。 71．如果，那么的值为______． 72．已知，那么的值是___________． 73．已知，，则__________． 74．小明在学习同底数幂的乘法时，根据算式：，做了如下推导：，因此得到． 类比探究： (1)求的值； (2)求证：； 拓展探究： (3)若，求的值． 易错必刷题型19.幂的运算的实际应用 典题特征：结合生活情境、细胞分裂、倍数增长、几何面积体积、科学计数法实际场景出题。 易错点：不会把生活文字，转化成幂的数学式子；找不对增长次数、对应指数；最后结果不按要求规范书写。 75．如图，吴老师把家里的密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是_____________ ． 76．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 77．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放到乙袋中，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值为______． 易错必刷题型20.新定义运算 典题特征：题目先给出全新自定义幂运算规则、新符号，读懂规则再结合幂的运算做题，多为大题压轴。 易错点：看不懂题干新定义规则，直接用自己学的旧法则乱算；忽略定义里的限制条件；第一小问理解错，后面所有问题跟着全错；嵌套新运算，分步拆解不开，运算顺序乱套。 78．对于a，b两数定义@的一种运算：（其中等式右边中的·和+是通常意义下的乘法与加法），若，则x的值为__________． 79．对于任意的两个有理数，我们规定：，下面给出了关于这种运算的三个结论，其中正确的个数有（   ） ①；   ②；   ③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 80．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 81．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $