专题01幂的运算专项训练(13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题01幂的运算专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法的乘法运算 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.新定义运算题 解答题9题 ☆ 重要知识 幂运算 “三巨头” 乘法家族核心 1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加 公式：am.a=amtn 拓展：多个相乘也适用，am,an,aP=amtntp 逆用：am+=am.a"(求值、化简超好用) △坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是1（如a=a)，别漏算！ 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘 公式：(amy=am.n(m、n为正整数) 拓展：多层乘方也能算，[(a)n]p=amnp 逆用：：amm-(amy=(aym △坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个“指数相乘”，一个 “指数相加” 3.积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 公式：(ab)n=abn (n为正整数) 试卷第1页，共3页 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn 逆用：ab-(aby严（遇指数相同，直接合并底数超省事） △坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)3≠2ab3) 幂运算“除法派” 一含特殊幂规则 1.同底数幂相除：底数不变，指数相减 公式：am÷an=am-n(a≠0，m>n) 逆用：am-n=am÷a △坑点：底数绝对不能为0，这是前提！ 2.指数幂：非0数的0次幂，都是1 公式：a0=1(a≠0) △铁律：a≠0！0的0次幂没有意义，考试必考陷阱 3.负整数指数幂：负指数变倒数，不是变负数 公式：ap=立(a≠0，p为正整数) 技巧：底数为负时，先看指数奇偶定符号（偶正奇负），再算倒数 △坑点：别把an算成-a,负指数只代表“位置在分母” 实战大招：科学记数法表示“小数” 专门解决绝对值小于1的数，告别一串0，书写超简洁！ 格式：a×10-n(1≤|a<10,n为正整数)》 定n绝招：数原数第一个非0数字前的0（包括小数点前的0），有几个0， n就是几 例子：0.00056=5.6×10-4（第一个非0数5前有4个0） 避坑宝典|幂运算满分秘决 1.符号先行：遇负底数，先定符号（偶次幂正，奇次幂负），再算指数，符号错 全错！ 2.底数统一：看到4、8、16等数，先转化成2的幂；看到9、27，转化成3的 幂，再运算 试卷第1页，共3页 3逆用为主：考试不考正用公式，遇求值、化简，优先想逆用（指数拆合、底数 合并) 4.步骤不跳：混合运算按“先乘方→再乘除→最后检查”，别图快跳步，漏项 错指数全因跳步！ 运算顺序与逆用技虹巧 1运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 2.逆用技巧 乘法逆用：amtn=am.a 乘方逆用：amm-(amy"(统一指数) 积的乘方逆用：ab-(aby(简便计算) ☆ 题型突破考点突破 国国■国短■回量国回国回■回■回 题型01.同底数幂相乘 1.若3m=5,3”=10,则3m+"的值是() A.50 B.500 C.250 D.2500 2.已知a+2b-4=0,则39.32b= 3.填空： (1)-5·(-5)2= (2)aa4-a2.a3= (3)(-x)3.(-x)2= ； (4)(m-n）)(m-n)2.(m-n)3= 4.已知z三，2=5,2=30，则a,b,c之间满足的等式是() A.c=a+b+1 B.c=ab+l C.c=a+b D.c=ab 题型02.同底数幂乘法的逆用 5.已知am=3,a”=2,则a+"=() A.5 B.1 C.6 D.8 试卷第1页，共3页 6.己知3m=5,3”=4,则3m+的值为 2024 2025 7.计算： -3 8.式子2×2×2=2=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为l0g28(即1og28=3),一般 地，若a”=b(a>0且a≠1，b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为log。b(即 log。b=n),如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381,则10g,81=4,同理 1og327=3,log,3=1,由此可以得到下列式子：log81=l0g,27×3=log:27+10g,3, 且若log。b=log。c,则b=c根据以上的信息及运关系，若log(x+12)+log3x=2log3(x+2), 则x=() A.月 B.4 C.7 D.、1 16 题型03.科学记数法的乘法运算 9.神舟15号飞船离地飞行速度约为每秒8×103m,则飞船离地飞行1分钟的路程约为() A.4.8×103m B.8×103m C.4.8×104m D.8×10m 10.计算：（3×1015）×5×103)= (用科学记数法表示)· 11.综合实践课上，老师利用球的体积公式y=4'计算出地球的体积约是1.08×102立方 千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个 星球的体积约是( ) A.1.08x106立方千米 B.1.08x108立方千米 C.1.08×1020立方千米 D.1.08×1024立方千米 题型04.幂的乘方运算 12.下列运算中，正确的是() A.a2.a=as B.(a2'=a C.(2a3=6a D.a2+a=as 13.若2×4"×8m=27,则n= 14.如图，吴老师把家里的Wi-i密码设置成了数学问题.曹同学来吴老师家做客，看到 i-Fi图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入 试卷第1页，共3页 的密码是 Mr.Wu'shouse 沁*【xyz】=qin345 园*【xyz5yz2】=yuan357 春*【(xz)3(xyz)2】=密码 15.如果(-a)”=a"成立，则() A.m是偶数，n是奇数 B.m、n都是奇数 C.m是奇数，n是偶数 D.n是偶数 题型05.幂的乘方的逆用. 16.老-子则 17.已知am=2,d'=3,则a3m+2m的值是（) A.6 B.24 C.36 D.72 18.已知a=25,b=5”,则a,b的大小关系是（请用字母表示，并用“<”连接）. 19.若(-abm)3=-a2m-b2,则2m-n的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 题型06.积的乘方运算 20.计算(-2x2y)°的结果是() A.-6x6y3 B.-8xy3 C.8x5y3 D.6xy3 21.下列运算中，正确的是() A.x2.x3=x6 B.(2ab)=8a'b C.(x23=x D.3x2+2x3=5x 22.计算(-m·m4的过程如下：①(-m)3.m4=-m3.m4②-m3.m=-m步骤①，②分别表 示的运算是() A.幂的乘方，同底数幂相乘 B.积的乘方，同底数幂相乘 C.幂的乘方，乘法结合律 D.积的乘方，合并同类项 23.阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 试卷第1页，共3页 即：（ab)”=a"b”. 材料二：等式12+22+32+…+m=nn+(2n+1 ,n(n+1)=n2+n成立 6 试求：(1)22+42+62+…+102= (2)1×2+2×3+3×4+.+99×100= 题型07积的乘方的逆用 2026 24.22026 25.计算：(-0.25)2024×42025的结果（) A.4 B.-4 C.2 D.-2 26.计算：42022×-0.25)2021= 27.如图，数轴上O,A两点的距离为24，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次 跳动到A0的中点A处，第2次从A点跳动到A,O的中点A处，第3次从A点跳动到A,O的 中点A处.按照这样的规律继续跳动到点A,A,A。…A(n≥3，n是整数)处，问经过这样 2026次跳动后的点A26与A4,的中点的距离是() As Az A A A.9-3× 1 22022 B.9-3× 22023 C.124-3×,1 2023 D.12-3 22022 题型08.同底数幂的除法运算 28.下列计算中正确的是() A.a2+a3=a3 B.a2.a=a C.a23÷a2=a D.(a2'=a 29.已知x-y-4=0,则2r÷2”= 30.已知9"÷27”=81，则4m-6n的值为 31.实数a,b,C满足z三， ,2=24,则代数式201a-561b+360c的值为() A.517 B.518 C.519 D.520 题型09.同底数幂除法的逆用 试卷第1页，共3页 32.已知am=5,a”=4,则代数式am-"的值为 33.若a°=3，a°=4，则a2m-n= 34.已知am=72,a”=2,则a-3”=. 35.已知z,84,则2-3b的值为（) A.12 B C.7 D.-1 题型10.幂的混合运算 36.下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是() A.a2.a B.(a2）月 C.a÷a2 D.a2.a 37.化简：(2a)(bc= 38.下列算式①(2×32)3；②(2×62)×(3×6)；③63+6；④22)×(3)2中，结果等于66的 有（填序号）. 39.下列运算中，计算结果正确的是() A.(a2°a=a B.(a+1)3.(1+a)(a+1)2=(a+1) C.(a-b)3.(b-a)2=(a-b) D.-2ba3b-3a2+2b=-2a3b2-6a2b+4b2 题型11.委指数幂 40.计算：（-2026)°=() A.-1 B.1 C.-2026 D.2026 .如果a=-202偏八c-( 那么它们的大小关系为() A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 42.下列计算中，结果正确的是() A.(a3)2=a B.x2.x=x C.3a°=0(a≠0) D.x6÷x2=a 题型12.负整数指数幂 43.33=（) 试卷第1页，共3页 A B.27 1 C.27 D.-27 4.将[)，（一2025,10这三个数按认小到大的顺序排列。正确的结果是(） A <(-2025)°<102 B.(-2025) 3 <102 C.(-2025)°<102 D.102<(-2025) 45.下列运算正确的是() A.x2+x2=x4B.x2+x2=2x2 C.-(x2)2=x4 D.(x2）2=x 46若a0,定义活运氧m0n=0:0aP+,则号》0的植是《) A.-3 B.11 3 C.- 4 D.3 题型13.新定义运算题. 47.规定两正数a,b之间的一种运算，记作{a,b:如果a=b,那么{a,b}=c.例如：因 为34=81，所以{3,81=4，小慧在研究这种运算时发现：{a,b}+{a,c={a,bc,例如： {5,6+{5,7=5,42.证明如下：设{5,6=x,{5,7}=y,{5,42=z,根据定义可得： 5*=6,5=7,5=42,因为5×5y=6×7=42=5,所以5×5=5+y=5,即x+y=2, 所以{5,6+{5,7={5,42}.请根据前面的经验计算：{4,2+{4,32的值为 48.对于a,b两数定义@的一种运算：a@b=(ab)b(其中等式右边中的和+是通常意 义下的乘法与加法)，若(-I)@x=1,则x的值为 49.我们规定关于任意正整数m、的一种新运算：h(m+n)=h(m)h(n),例如：h(2)=3时， 则（④=2+2）=3×3=9；如果h(2)=k(k≠0)，那么h(8)=,h(2m)h(2020)= 50.定义虚数单位i,2=-1,则i+2++…+2026的计算结果为() A.-i B.i C.i-1 D.i+1 51.我们知道，同底数幂的乘法法则为a"m·a”=am+n(其中a≠0，m,n为正整数)，类似 我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算：h(m+n)=h(m小h(n),比如h(2)=3,则 试卷第1页，共3页 h(4)=h(2+2)=3×3=9,若h3=k(k≠0)，那么h(3nh2025的结果是() A.3k+2025 B.3n+675 C.kn+675 D.2025k 52.麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据α”=b,知道a、m可以求b的值.如 果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a"=b,那么Ta,b)=m.例 如34=81，那么T(3,81)=4,下列正确的有几个() ①12.64=6：@r627+7-216-1: ③T(a,xxT(a,y)=T(a,xy)(a≠0)；④T(2,3+T(2,7<T(4,529). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 53.如果x”=y,那么我们规定x,y=n.例如：因为42=16，所以(4,16=2. (1)-2,16]=；若2，y川=6，则y=; (2)已知(4,12=a,(4,5]=b,(4,y小=c,若a+b=c,求y的值 ()若(5,15]=a,(3,15=b,令1=2ab a+b ①求25的值， 27币 ②求t的值. 54.规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果a=b,那么a,b)=c,我们叫(a,b) 为“雅对”.例如：2=8，（2,8)=3. 我们还可以利用“雅对”定义证明等式(3,3+(3,5)=(3,15)成立.证明如下： 设(3,3=m,(3,5)=n,则3m=3,3”=5. .3m.3”=3m+m=3×5=15. .(3,15=m+n, 即3,3+3,5)=(3,15. ()根据上述规定，填空： ①3,27)= ②-5,1)= (2)计算：(5,8)+(5,2= 试卷第1页，共3页 (3)记(3,5)=a,(3,10)=b,(3,20)=c.求证：a+c=2b. 55.规定新运算“*”；a*b=2°×2，如：1*3=2×23=16. (1)求(-2)*5的值： (2)若2*(2x+1)=64,求x的值. 解答题 56.计算下列各题： (1)-x3.x2.x; (2)-2)°(-2)(-23； (3)a6.a2+a3.a3-2aa7; (4(-a2.(-a)3a; (⑤)a-13a-13a-1: (6(a-b-c)(b+c-a)(c-a+b)3. 57.“整体思想”在数学中应用极为广泛 例如：已知a2-2=-3b,求2a2+6b-7的值. 解：：a2-2=-3b,.a2+3b=2,.2a2+6b-7=2a2+3b-7=2×2-7=-3. 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知x2-2y-3=0,求3x2-6y+1的值； (2)若5"+3”(m,n都是正整数)能被8整除，试说明5m+2+3"也能被8整除. 58.计算. -(a2(a2: (2)-2a3+a4.a2. 59.在幂的运算中规定：若a=a'(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y,利用上面 规定解答下列问题： (1)若3+2-31=162，求x的值： (2)若m=2+1,n=4+2,用含m的代数式表示n; (3)己知p=5,q=73,用含p,q的式子表示3535=- 试卷第1页，共3页 专题01幂的运算专项训练 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.科学记数法的乘法运算 题型04.幂的乘方运算 题型05.幂的乘方的逆用 题型06.积的乘方运算 题型07.积的乘方的逆用 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.零指数幂 题型12.负整数指数幂 题型13.新定义运算题 解答题9题 幂运算 “三巨头”—— 乘法家族核心 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用）⚠️ ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事）⚠️ ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 幂运算 “除法派”—— 含特殊幂规则 1. 同底数幂相除：底数不变，指数相减 ✅ 公式：am÷an=am−n（a0，m>n） ✅ 逆用：am−n=am÷an⚠️ ⚠坑点：底数绝对不能为 0，这是前提！ 2. 零指数幂：非 0 数的 0 次幂，都是 1 ✅ 公式：a0=1（a0） ⚠铁律：a0！0 的 0 次幂没有意义，考试必考陷阱 3. 负整数指数幂：负指数变倒数，不是变负数 ✅ 公式：a−p=（a0，p为正整数） ✅ 技巧：底数为负时，先看指数奇偶定符号（偶正奇负），再算倒数⚠️ ⚠坑点：别把a−n算成−an，负指数只代表 “位置在分母” 实战大招：科学记数法表示 “小数” 专门解决绝对值小于 1 的数，告别一串 0，书写超简洁！ ✅ 格式：a×10−n（1≤∣a∣<10，n为正整数） ✅ 定n绝招：数原数第一个非 0 数字前的 0（包括小数点前的 0），有几个 0，n就是几 ☞例子：0.00056=5.6×10−4（第一个非 0 数 5 前有 4 个 0） 避坑宝典｜幂运算满分秘诀 1.符号先行：遇负底数，先定符号（偶次幂正，奇次幂负），再算指数，符号错全错！ 2.底数统一：看到 4、8、16 等数，先转化成 2 的幂；看到 9、27，转化成 3 的幂，再运算 3.逆用为主：考试不考正用公式，遇求值、化简，优先想逆用（指数拆合、底数合并） 4.步骤不跳：混合运算按 “先乘方→再乘除→最后检查”，别图快跳步，漏项、错指数全因跳步！ 运算顺序与逆用技巧 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 2.逆用技巧 乘法逆用：am+n=aman 乘方逆用：amn=(am)n（统一指数） 积的乘方逆用：anbn=(ab)n（简便计算） 题型01.同底数幂相乘 1．若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，则________． 【答案】81 【分析】由得到，再利用同底数幂的乘方运算法则将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 3．填空： (1)________； (2)________； (3)________； (4)________． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的运算，需熟练掌握同底数幂的相关运算法则是解题的关键．每题均需根据幂的运算法则分别计算各项，再合并同类项得出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：原式， ． 故答案为：0． （3）解：原式， ． 故答案为：． （4）解：原式， ． 故答案为：． 4．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 题型02.同底数幂乘法的逆用 5．已知，，则（ ） A．5 B．1 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 6．已知，，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则，逆用法则对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可 【详解】解：∵ ∴，代入得：原式． 7．计算：___________． 【答案】// 【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 题型03.科学记数法的乘法运算 9．神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可． 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键． 10．计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 11．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 题型04.幂的乘方运算 12．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A： ，正确，符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C： ，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，无法合并，运算错误，不符合题意． 13．若，则________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则将等式左边化为以为底的幂，根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 14．如图，吴老师把家里的密码设置成了数学问题．曹同学来吴老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了吴老师家里的网络，那么她输入的密码是_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，以及探索规律，数字规律可由前面两个等式发现规律，也是解题的关键．根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母、、的指数组成，依此即可求解． 【详解】解：由图片可得：沁，园， ∴得出密码规律：由汉字的拼音与化简后、、的指数组成， ∵， ∴密码为：． 故答案为：． 15．如果成立，则（    ） A．m是偶数，n是奇数 B．m、n都是奇数 C．m是奇数，n是偶数 D．n是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方与符号的性质，解题关键是根据幂的运算规则分析的符号与的符号关系，从而确定n的奇偶性． 根据指数运算法则，将左边化简后，等式成立的条件仅与n的奇偶性有关，需n为偶数． 【详解】∵ = = ， 又∵ = ， ∴ = ． 假设 ，则两边除以 ，得 ， ∴ n 是偶数． 因此，n是偶数． 故选D． 题型05.幂的乘方的逆用. 16．若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 17．已知，，则的值是（    ） A．6 B．24 C．36 D．72 【答案】D 【分析】将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ，． ∴ 原式 ． 18．已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 19．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 题型06.积的乘方运算 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 21．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 22．计算的过程如下：①②步骤①，②分别表示的运算是（   ） A．幂的乘方，同底数幂相乘 B．积的乘方，同底数幂相乘 C．幂的乘方，乘法结合律 D．积的乘方，合并同类项 【答案】B 【分析】根据积的乘方和同底数幂相乘的法则，分别判断两个步骤对应的运算类型即可． 【详解】解：∵，步骤①将化简为，是将积的每个因式分别乘方再相乘，符合积的乘方的运算法则， ∴步骤①是积的乘方运算； ∵计算时，用到底数不变，指数相加的计算规则，符合同底数幂相乘的运算法则， ∴步骤②是同底数幂相乘运算． 23．阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 题型07.积的乘方的逆用 24．________． 【答案】1 【分析】根据积的乘方的逆运算法则，计算即可求解． 【详解】解：． 25．计算：的结果（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先运用同底数幂相乘的逆运算展开，再结合积的乘方的逆运算进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 26．计算：＝______． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法法则将变形，再逆用积的乘方法则将同指数的幂合并简化计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 27．如图，数轴上两点的距离为24，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与的中点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与的中点的距离． 【详解】解：数轴上，两点的距离为， 点A表示的数为， 则表示的数为， 则表示的数为， 则表示的数为， 则表示的数为， 经过这样次跳动后的点表示的数为， 又的中点表示的数为， 经过这样次跳动后的点与的中点的距离为． 题型08.同底数幂的除法运算 28．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基础运算，需运用合并同类项法则和幂的运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵ 与 不是同类项，无法合并， ∴ A错误； 选项B：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵ ， ∴ B错误； 选项C：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∵ ， ∴ C正确； 选项D：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∵ ， ∴ D错误． 29．已知，则______． 【答案】 【详解】解：， ， ． 30．已知，则的值为 _____ ． 【答案】8 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 31．实数，，满足，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据已知得出，，进而得到，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型09.同底数幂除法的逆用 32．已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，灵活运用同底数幂的除法法则是解题的关键．根据同底数幂的除法法则得到，进而求出代数式的值． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则：， 将，代入得：． 故答案为：． 33．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算与同底数幂的除法的逆运算，解题思路是先将所求式子根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴． 34．已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 35．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 题型10.幂的混合运算 36．下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则进行计算，得出结果再进行判断即可． 【详解】A、； B、； C、； D、； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解此题的关键是熟记幂的运算和负整数次幂运算法则． 37．化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的混合运算，负整数幂，熟练掌握整式的积的乘方、幂的乘方运算法则以及负指数的定义是解题的关键，先计算积的乘方、幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，注意最后结果要把负指数化为正指数． 【详解】解：， 故答案为：． 38．下列算式①；②；③；④中，结果等于6的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则逐个计算即可求得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④， 综上所述，结果等于6的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则是解决本题的关键． 39．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可判断A；根据同底数幂的乘法法则计算即可判断B和C；根据单项式乘多项式法则计算即可判断D． 【详解】，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算正确，符合题意； ，故D计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查幂的混合计算，同底数幂的乘法，单项式乘多项式．掌握各运算法则是解题关键． 题型11.零指数幂 40．计算：（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】根据任何非零数的次幂等于，计算即可． 【详解】解：． 41．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义、乘方的意义分别计算各数，然后比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 42．下列计算中，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；分别根据幂的乘方，零指数幂、同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则进行计算，再判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型12.负整数指数幂 43．（   ） A． B． C．27 D．-27 【答案】B 【分析】根据负整数指数幂的运算法则即可直接计算求解． 【详解】解：． 44．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，先计算出三个数的具体值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 45．下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；根据合并同类项，幂的乘方，负整数指数幂，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意；      C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 46．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 题型13.新定义运算题. 47．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 48．对于a，b两数定义@的一种运算：（其中等式右边中的·和+是通常意义下的乘法与加法），若，则x的值为__________． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当底数，解得，此时指数为，满足 当底数且指数为偶数， 解得，此时指数为0，， 当指数且底数， 解得，此时底数为， 故答案为：1或． 49．我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，例如：时，则； 如果，那么＝_______，＝_____． 【答案】 / 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据（8）解答；根据新的运算定义，将原式化成个（2）的积乘以1010个（2）的积，再代值进行计算便可． 【详解】解：（2）， （8）； ． 故答案为：，． 50．定义虚数单位，，则的计算结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究、整式的运算，可先推导虚数单位的幂次的周期性，再利用周期性分组求和，最后计算剩余项的和得到结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即每4个连续的的幂次和为0． ∵，即原式包含506组完整的4项，剩余最后两项和． ∵的幂次周期为4， ∴，， ∴原式， 故选：C 51．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义．根据分别求出和，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：C． 52．麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（   ） ；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，根据新定义及幂的运算法则逐一排除即可，熟记幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，原选项正确，符合题意； ∵，， ∴，原选项正确，符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 设，，， ∴，，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； ∴正确，共个， 故选：． 53．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 【答案】(1)4；64； (2)60； (3)①；②． 【分析】（1）根据规定即可求得答案； （2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案； （3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案； ②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，． 我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①_____________  ②_____________； (2)计算：_____________； (3)记，，．求证：． 【答案】(1)① ② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义计算即可； （2）设，，根据“雅对”的定义可得：，逆用同底数幂的乘法法则可得：，所以； （3）根据“雅对”的定义可得：，所以有． 【详解】（1）①解：， ； ， ； （2）解：设，， ， 即，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 55．规定新运算“*”；，如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由可得 ． （2）解：由可得． 因为， 所以, 解得． 解答题 56．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5) (6) 【分析】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算，并注意结果的正负即可； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先将代数式进行变换，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 57．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 58．计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 59．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题； (1)若，求x的值； (2)若，，用含m的代数式表示n； (3)已知，，用含p，q的式子表示 ． 【答案】(1)x的值为3 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算将变形为再计算即可； （2）由题意得，将变形为，再代入化简即可； （3）根据幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算将变形为，再代入即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为3． （2）解：∵，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵，， ∴． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 61．请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】（1）将原式变形为，再代入计算即可； （2）逆用幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ． （2）解∶ ． 62．已知，求的值． 【答案】16 【分析】可求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 63．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 64．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，有理数的乘方和加法运算，负整数指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可； （2）先计算有理数的乘方、负整数指数幂，再进行加法计算． （3）根据积的乘方法则计算即可． （4）根据零指数幂、负整数指数幂法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $