精品解析：福建省漳州市长泰区2024-2025学年八年级下学期中考试数学试题

长泰区2024-2025学年第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点P(4，－5)所在的象限是(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 长泰芦柑又名椪柑，以果大汁多，色、香、味三绝闻名遐迩，荣获全国优质水果．一般果重125至200g，每百克果汁维生素C的含量为，其中数据0.0000385用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是“左侧通行”的交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下面四个变化过程中，能用该图象反映两个变量关系的是（ ） A. 压力一定时，压强与受力面积的关系 B. 篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系 C. 销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系 D. 一辆匀速行驶的汽车，其行驶的速度与时间的关系 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，、相交于点，交于点，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数过点，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 的值为 C. 当时， D. 图象不经过第三象限 9. 如图，在平面直角坐标系中，顶点A在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知（，，是正数），若，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 计算：________． 12. 若点在轴上，则的值为______． 13. 若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（写出一个k的值） 14. 如图，已知，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点．若，则的长为______． 15. 若关于x的方程有增根，则a的值是____________． 16. 已知直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，下列说法正确的是______． ①两直线交点坐标； ②两直线与坐标轴围成的三角形的面积为9； ③若点是内（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为2； ④已知是直线上三个点，且，若，则． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈”现象：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈．经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数（），当时，．若某人两腿迈出的步长之差为厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 20. 元宵节长泰区益宏广场举办文化嘉年华活动，小明一家从家出发去活动现场，导航显示有两个方案可供选择，求方案二的平均车速． 方案一 方案二 路程 全程千米 全程千米 优缺点分析 距离短，但交通比较拥堵，用时长 距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟 21. 已知，如图． （1）利用尺规作图，作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图中，连接交于点，过点的一条直线分别交，于点，，求证：． 22. 某校计划购进乒乓球拍和羽毛球拍作为运动会奖品，其中乒乓球拍每副元，购进羽毛球拍所需费用（元）与购买数量（副）的图象关系如图所示． （1）当时，求与的函数解析式； （2）该校计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共副，若购买羽毛球拍不超过副，且不少于乒乓球拍的数量，如何购买能使总费用最少，并求最少费用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点和． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）若一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，当时，求点的坐标． 24. 某地区近几年的人口出生率统计如下表所示，小亮利用表格的数据，对人口出生率的变化规律进行了探究．下面是小亮的探究过程： 年份 年 年 年 年 2025年 出生率（） ■ 【探究1——建系描点】 如图，在平面直角坐标系中，描出表格中各组对应值为坐标的点．为研究方便，将年的人口出生率表示为点，其他年份依次表示为点．观察所描的点，发现这些点大致在同一直线上，根据点、的坐标，可得直线的表达式为． （1）求直线的表达式； 探究2——模型选择】 如果运用函数与统计知识预测该地区下一年的人口出生率，可以尝试选择直线、等函数模型来进行分析．在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，预测越准确．我们可通过计算实际人口出生率偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析：如果偏离方差越小，那么选用的模型越适宜．例如：分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差：． （2）根据以上方式，求关于直线的偏离方差； 【探究3——模型应用】 （3）请预估该地区年的人口出生率． 25. 对于实数，，， （1）若，且，求的值； （2）若， ①当时，求的值； ②当，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长泰区2024-2025学年第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点P(4，－5)所在的象限是(　 　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵2>0，-9<0 ∴点P（2，－9）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 长泰芦柑又名椪柑，以果大汁多，色、香、味三绝闻名遐迩，荣获全国优质水果．一般果重125至200g，每百克果汁维生素C的含量为，其中数据0.0000385用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：A． 4. 如图，是“左侧通行”的交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出，并且求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而，则，求得，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下面四个变化过程中，能用该图象反映两个变量关系的是（ ） A. 压力一定时，压强与受力面积的关系 B. 篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系 C. 销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系 D. 一辆匀速行驶的汽车，其行驶的速度与时间的关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象，根据图象可知，是的正比例函数，据此解答即可．解题的关键首先正确理解题意，然后利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：图象可知，是的正比例函数， A．压力一定时，压强与受力面积的积一定，不成正比例，故此选项不符合题意； B．篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系，其图象是一条曲线，故此选项不符合题意； C．销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系正比例，故此选项符合题意； D．一辆匀速行驶汽车，其行驶的速度与时间的关系的图象是一条水平的线段，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．先根据题意得出k的值，再把各点坐标代入解析式进行检验即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， A、∵， ∴此点在反比例函数图象上，符合题意； B、∵ ，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、∵， ∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、∵， ∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意， 故选：A． 7. 如图，在中，、相交于点，交于点，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，，再根据垂直平分线的性质得，继而推出，再利用整体代入的思想并结合平行四边形的周长即可得出结论．解题的关键是掌握：平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形平行四边形，且、相交于点， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 8. 已知一次函数过点，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 的值为 C. 当时， D. 图象不经过第三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征及函数性质逐项分析判断即可．掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， A．∵一次函数解析式为， ∴随增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意； B．∵一次函数解析式为， ∴，原结论错误，故此选项不符合题意； C．∵一次函数解析式为， ∴当时，，原结论错误，故此选项不符合题意； D．∵一次函数解析式为， ∴图象不经过第三象限，原结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，顶点A在x轴负半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据平行四边形的性质可得，，再利用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：∵点B在直线上，点B的横坐标是8， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 故选：B． 10. 已知（，，是正数），若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若点在轴上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记轴上的点的横坐标为是解题的关键．根据轴上的点的横坐标是，列式计算即可得到的值． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（写出一个k的值） 【答案】﹣1（答案不唯一）． 【解析】 【详解】试题分析：根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，随的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，随的增大而增大．因此， ∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x增大而增大， ∴k＜0． ∴符合条件的k的值可以是等（答案不唯一）． 考点：1．开放型；2．反比例函数的性质． 14. 如图，已知，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，等边对等角以及平行四边形的性质，根据作图可得，根据平行四边形的性质得出，可得，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由作法得平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若关于x的方程有增根，则a的值是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得出，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， 即， 由分式方程有增根得：， 解得：， 将代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：2． 16. 已知直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，下列说法正确的是______． ①两直线交点坐标为； ②两直线与坐标轴围成的三角形的面积为9； ③若点是内（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为2； ④已知是直线上的三个点，且，若，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合应用，求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键；①联立直线解析式，即可求解；②根据题意分别求得的坐标，即可求解；③分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可，④分类讨论，根据两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：联立 解得： ∴两直线交点坐标为，故①正确； 如图， 对于，当时，，∴， 对于，当时，，∴ ∴两直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故②正确， 根据题意，得 ， 解得， ∴m的最大值为1，最小值为 ∴m的最大值与最小值之差为，故③正确 当时，则， 当时，则，故④不正确 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，再解整式方程求解，检验解是否为原方程的解即可． 【详解】解： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 19. 1896年，挪威生理学家古德贝发现了有趣的“瞎转圈”现象：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，导致在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈．经研究，某人蒙上眼睛行走的大圆圈半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数（），当时，．若某人两腿迈出的步长之差为厘米，求他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径． 【答案】厘米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．设y与x之间的函数表达式为，把点代入，求得解析式，进而把代入反比例函数的解析式即可求解． 【详解】设反比例函数解析式为，依题意，反比例函数过点， ∴ ∴， ∴； 当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为厘米. 20. 元宵节长泰区益宏广场举办文化嘉年华活动，小明一家从家出发去活动现场，导航显示有两个方案可供选择，求方案二的平均车速． 方案一 方案二 路程 全程千米 全程千米 优缺点分析 距离短，但交通比较拥堵，用时长 距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟 【答案】方案二的平均车速为千米小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设方案一的平均车速为千米小时，则方案二的平均车速为千米小时，根据方案二距离长，但平均车速能比路线一的平均车速提高，用时比路线一少分钟，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设方案一的平均车速为千米小时，则方案二的平均车速为千米小时， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：方案二的平均车速为千米小时． 21. 已知，如图． （1）利用尺规作图，作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图中，连接交于点，过点的一条直线分别交，于点，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作平行四边形、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，即可． （2）由平行四边形的性质可得，，则，，证明，可得． 小问1详解】 解：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，， 则即为所求． 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ，， ， ． 22. 某校计划购进乒乓球拍和羽毛球拍作为运动会奖品，其中乒乓球拍每副元，购进羽毛球拍所需费用（元）与购买数量（副）的图象关系如图所示． （1）当时，求与的函数解析式； （2）该校计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共副，若购买羽毛球拍不超过副，且不少于乒乓球拍的数量，如何购买能使总费用最少，并求最少费用． 【答案】（1）； （2）购买羽毛球拍和乒乓球拍花各束时，费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，根据题意求出的取值范围，再得出关于的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答； 【小问1详解】 解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：，在函数图象上， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，购买的总费用为， 由题意得：，且， 解得：． ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小，且最小值为：（元）， 答：购买羽毛球拍和乒乓球拍花各束时，费用最少，最少费用为元 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点和． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出不等式的解集； （3）若一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数解析式，根据图象写出不等式的解集，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）将，分别代入求得，进而求得反比例函数解析式，即可求解． （2）根据点和点的坐标，结合函数图象，找出反比例函数图象高于一次函数图形部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求得，设，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将，分别代入 ∴， ∴ ∴， 将代入 ∴， ∴ ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵ 根据函数图象，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点 当时， ∴ ∵点在轴上，设 又 ∴ 即 解得： ∴或 24. 某地区近几年的人口出生率统计如下表所示，小亮利用表格的数据，对人口出生率的变化规律进行了探究．下面是小亮的探究过程： 年份 年 年 年 年 2025年 出生率（） ■ 【探究1——建系描点】 如图，在平面直角坐标系中，描出表格中各组对应值为坐标的点．为研究方便，将年的人口出生率表示为点，其他年份依次表示为点．观察所描的点，发现这些点大致在同一直线上，根据点、的坐标，可得直线的表达式为． （1）求直线的表达式； 【探究2——模型选择】 如果运用函数与统计知识预测该地区下一年的人口出生率，可以尝试选择直线、等函数模型来进行分析．在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，预测越准确．我们可通过计算实际人口出生率偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析：如果偏离方差越小，那么选用的模型越适宜．例如：分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差：． （2）根据以上方式，求关于直线的偏离方差； 【探究3——模型应用】 （3）请预估该地区年的人口出生率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据材料中的偏离方差公式进行计算即可求解； （3）比较直线的偏离方差，根据偏离方差越小，那么选用的模型越适宜，选用直线，将代入，即可求解． 【详解】解：（1）设直线的表达式为，代入 解得： ∴直线的表达式为； （2）分析直线，当时，；当时，；当时，；当时，，求得偏离方差： （3）∵，所以直线  的模型适宜 ∴使用直线的表达式为进行预测， 当时， 即地区年的人口出生率为 25. 对于实数，，， （1）若，且，求的值； （2）若， ①当时，求的值； ②当，求证：． 【答案】（1） （2）① 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据得出，将代入，进而解方程，即可求解； （2）①根据已知可得，代入，进而因式分解，得出，即可求解； ②根据，得出，结合，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$