命题大赛 2026届高三数学模拟试卷

**基本信息** 2026届高三数学模拟卷（150分）以原创与深度改编题为主，融合新高考选科、物体冷却模型等现实情境，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、函数性质等|第5题结合河南“3+1+2”选科考概率，体现数学眼光| |多选|3/18|函数模型、奇偶性|第9题用牛顿冷却模型考数据分析，强化数学思维| |填空|3/15|三角函数零点、抛物线切线|第12题原创三角函数零点问题，突出创新意识| |解答|5/77|数列、立体几何、概率统计等|第17题以新高考多选题为背景构建概率模型，彰显数学语言表达|

2026届高三数学模拟试卷 参考答案 1、C 【详解】由题可知，A={1，2，3，4}，真子集有24-2=16个， 故选B. 2、C 【详解】 由已知可得，解得， 故选C. 3、B 【详解】由，，，可得 由推不出来； 而由能推出； 即是的必要不充分条件， 故选B. 4、C 【详解】由题可知m=-4，n=2，=(-3，4)，则 5，故选C. 5、A 【详解】一共有种选科方案，包含政治，历史的有种，所以包含政治，历史的选科方案概率为. 故选A. 6、 D 【详解】展开式通项为：， 令，则展开式中的系数为； 令，则展开式中的系数为； 令，则展开式中的系数为； 展开式中的系数为420+252+210=882. 故选：D. 7、C 【详解】 设在渐近线上，直线的方程为， 由，得即， 由为的中点，又因为，所以， 因为在双曲线上，所以化简得： 故选C. 8、A 【详解】由题可知，f(x)为奇函数，且在R上单调递增，则 可转化为 即≤1+2sin x+2cos x，即a≤min， 令g(x)=，x∈(0，π]，则g'(x)=， 令h(x)=(x-1)cos x-(x+1)sin x-1， 则h'(x)=cos x-(x-1)sin x-sin x-(x+1)cos x=-x(sin x+cos x)=-xsin（x+）， 当0<x<时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当<x<π时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 而h(0)=-2<0，h(π)=-π<0，故h(x)<0在x∈(0，π]恒成立， 故g'(x)<0在x∈(0，π]恒成立，所以g(x)在x∈(0，π]上单调递减， 所以g(x)min=g(π)=0，故a≤0，所以实数a的取值范围是(-∞，0]， 故选A. 9、 BCD 【详解】 对A，由，得， 所以，整理得．A项错误； 对B，由题意可知 ． ，B项正确； 对C，由，得，即，则．C项正确； 对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则， 设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟，则， 因为，所以，D项正确． 故选BCD 10、ABC 【详解】∵为偶函数，关于对称， 根据图像变换关于对称，故A正确； ∵为奇函数，关于中心对称， 根据图像变换关于中心对称，故B正确； 由以上分析得的周期为，即，故C正确； ∵关于中心对称，，， ∵关于对称，，,， ∵是周期为的函数，， ∵，，故D错误. 故选ABC 11、ABD 【详解】令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，又，所以，即， 所以，故A正确； 设，则在上恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以，即，所以，故B正确； 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即，即，即，所以，故C错误； 令，则，令， 所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以在上单调递增，又， 所以，即， 所以，故D正确.故选ABD. 12、 【详解】 ，，恰有3个零点，则 ，解得. 13、 【分析】根据切线长定理，求出点到圆的圆心距离最小值即可作答. 【详解】抛物线，即准线方程为，圆即的圆心，半径， 因此点与圆心距离的最小值为， 令过点向圆所作切线的切点为，于是，，所以切线长最短为. 14、10 【详解】 由题意，将四面体补成一个长方体，设长方体的长宽高分别为， 则，解得，则， 由已知条件可得，，由于，所以可得截面为平行四边形，由，可得，由，可得， 所以，所以可得， 设异面直线与所成角为，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，则， 当且仅当时，取等号.所以多边形截面的最大面积为. 故答案为：. 15、 【详解】 （1）当时，，则，且； ……………1分 当时，，，两式相减得， ∴（）， ……………3分 ∴当时，，即， 则，∴． 综上，对任意都成立． ……………5分 （2），集合的非空子集有个， 其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个， 含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个， 所以最小元素为1的子集个数为个，……………7分 同理，最小元素为2的子集个数为个， ……，最小元素为的子集个数为1个， ……………9分 ∴， ， ∴， 则． ……………13分 16、 【详解】 （1）设圆O的半径为r，在△AOB中，，，， 故，又，故， ……………2分 在△AOF中，由余弦定理得·AF， 所以，即； 圆锥中，底面圆O，底面圆O，故， ……………5分 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. ……………7分 （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，，，，， ，，， ……………9分 设平面的一个法向量为， 有，即，解得， ……………13分 设直线与平面所成角为， 则. ……………15分   17、 【详解】 （1）设事件表示正确选项为个，事件表示正确选项为个， 表示第题正确选项为个的概率，表示第题正确选项为个的概率. 设事件表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量表示第二题得分. 依题得，可能取值为. 因为，， 所以 ………3分 所以的分布列为: 所以. ……………5分 （2）依题得，， 所以， ……………8分 又因为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以，. ……………10分 （3）由（2）可知，，. 依题得，可能取值为. ， ，……………13分 所以. ……………15分 18、 【详解】 （1）由题意得， 解得，，故椭圆E的方程为； ……………3分 则，设，则由，得， 即，曲线的方程为. ……………6分 （2）设点，则， 由题意知，的斜率存在，不妨依次设为， 则直线的方程为，即， 直线与圆相切， 即， ……………8分 同理，可得， 显然是方程的两根， ， 即，. ……………10分 设，则， ……………12分 由，得， 由，得， ……………13分 存在点，或满足题意. ……………15分  19、 【详解】 （1）的定义域为， 若恒成立，则在上恒成立， ……………2分 令，，则， 所以当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， ……………4分 所以，所以，即的取值范围为. ……………6分 （2）函数， 设，，易知单调递增，且， 所以是的唯一解， 所以，是方程的两个解，则， ……………8分 设，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，当时， 当时，所以， 因为，则 即，而， ……………10分 其中的证明如下： 设，不等式等价于， 即， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以得证，所以， ……………13分 再证明，其中，则只需证明， 只需证明，即证， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 则得证，所以. ……………15分 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷双向细目表样表 试卷题号 题型 分值 难度系数 知识板块 考查知识点 1 单选题 5 0.90 集合 真子集的个数 2 单选题 5 0.85 复数 复数代数形式的四则运算 3 单选题 5 0.85 命题 充分条件与必要条件 4 单选题 5 0.85 向量 向量的坐标运算 5 单选题 5 0.85 概率 古典概型 6 单选题 5 0.70 二项式 二项式的系数 7 单选题 5 0.65 平面解析几何 双曲线的离心率 8 单选题 5 0.5 函数 求参数的范围 9 多选题 5 0.80 函数模型 指数对数式的运算 10 多选题 5 0.65 函数 函数的对称性与周期性 11 多选题 5 0.5 导数及其应用 比较大小 试卷题号 题型 分值 难度系数 知识板块 考查知识点 12 填空题 5 0.85 三角函数 三角恒等变换 13 填空题 5 0.80 平面解析几何 圆与直线的关系 14 填空题 5 0.6 立体几何 截面问题 15 解答题 13 0.80 数列 数列的通项公式及前n项和 16 解答题 15 0.80 立体几何 面面垂直及线面角 17 解答题 15 0.70 概率 分布列及期望 18 解答题 17 0.65 平面解析几何 轨迹方程及存在性问题 19 解答题 17 0.5 导数及其应用 取值范围及不等式证明 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届高三数学模拟试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填在试卷和答题卡的制定位置； 2．回答选择题和非选择题时，请将答案涂在答题卡给定区域，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（原创）已知集合，则A的非空真子集个数为（ ） A．16 B．15 C．14 D．31 2.定义行列式，若，则若z=a+bi,则|z|=（ ） A．2 B．0 C．1 D．-1 3.设函数,的定义域为均，则“，，”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设，向量， ，，，则 （  ） A． B． C． D．10 5.河南省从2022年秋季启动高考综合改革，实行“3+1+2”模式选科制度，即语数英必选，历史、物理二选一，化学、生物、政治、地理四选二，小明选科包含政治、历史的概率为（ ） A． B． C． D． 6.二项式展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 7．(深度改编)已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且Q是PF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 8. 设函数，不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（    ）（参考数据：） A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C．若，则 D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短 10. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于（2,0）对称 C． D． 11.若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12.（原创）若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为 ． 13 已知为抛物线准线上一点，过作圆：的切线，则切线长最短为 ． 14. 在四面体中，，，，、分别为、的中点．若用一个与直线垂直且与四面体各面均相交的平面去截该四面体，则得到的多边形截面面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（深度改编，13分）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)集合A=，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．A=. 16.（15分）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且F是AB的三等分点，且靠近B点. (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 17.（15分）在新高考模式下，数学高考题中出现多项选题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，假设4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. (1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望； (2)求第n题正确选项为两个的概率； (3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：. 18.（17分）已知在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率，短轴长为．椭圆的左顶点和右焦点分别为，动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设点在上，过作的两条切线，分别与轴相交于两点.是否存在点，使得等于的短轴长？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)设函数，若关于的方程有两个不同的解，，且．当时，证明：． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $