命题大赛 甘肃省2026届高三数学下学期模拟测试（湘教版）

**基本信息** 高三数学模拟卷通过原创题（如向量距离）和综合题（如导数证明），覆盖函数、几何等核心知识，考查数学思维与应用能力，适配高考预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数对称中心|基础巩固，如函数对称性求和（题4）| |多选题|3/18|三角函数性质、立体几何轨迹|能力提升，如正方体动点轨迹（题11）| |填空题|3/15|向量运算、数列递推|原创应用，如向量距离（题12）| |解答题|5/77|概率分布、立体几何折叠、导数证明|创新综合，如导数单调性与不等式证明（题19）|

《高三数学检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C D B B C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】解不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．B 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部 【详解】，所以z的虚部是． 3．C 【难度】0.78 【知识点】用定义求向量的数量积 【详解】已知，则， ， ， ， ． 4．C 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】先判断的对称性，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设， ， 所以 ， 所以． 5．D 【难度】0.82 【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项系数为20即可求解. 【详解】由题意得， 则有， 令，即，则常数项系数为， 解得. 6．B 【难度】0.45 【知识点】利用等差数列的性质计算、由Sn求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、等差数列的单调性 【分析】令，可得，分析可知数列是以首项，公差的等差数列，进而可得，结合等差数列性质运算求解. 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 7．B 【难度】0.57 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 8．C 【难度】0.5 【知识点】对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，分析单调性得到的大小关系，从而得到的大小关系. 【详解】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．ACD 【难度】0.5 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. 10．ACD 【难度】0.72 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式 【详解】. 对A：，故A正确； 对B：是曲线的一个对称中心，故B错误； 对C：时，，是曲线的一条对称轴，故C正确； 对D：，，，而，所以在上单调递增，D正确． 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、证明线面平行 【详解】根据三棱锥体积公式计算判断A，应用向量关系证明线线平行判断B，应用线面平行及边长计算判断C，结合墙角模型补成长方体计算判断D. 【分析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2， 所以，A正确. 对于B，若，又，且平面， 则， 点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧， 的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，取线段的中点，线段的中点， 当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， ，，平面，所以平面平面， 平面，平面， 此时有，，，， 所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误. 对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体， 则直径长为， 则球的表面积为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【难度】0.82 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】由题可得，再求出，进而得到模长即可． 【详解】，， ． ，即点到原点的距离为． 13． 【难度】0.71 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性即可求解. 【详解】令， 因为恒成立，所以的定义域为， 且， 故为奇函数， 从而， 即，因为， 所以． 14． 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】先根据递推公式推导数列的周期，再利用周期性质计算的值。 【详解】由递推关系， 可得：， 进一步推导得：， 因此数列是周期为6的周期数列， 又，故， 又，令，得，所以， 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(1) (2) 【难度】0.42 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理及辨析、已知弦（切）求切（弦）、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及诱导公式化简求解即可. （2）结合（1）得到，，根据正弦定理及三角形性质得到，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由， 得， 整理得，即， 所以或． 若，则； 若，因为，所以B不是钝角，该情形不成立. 故． （2）设，则. 在中，由正弦定理，得，即， 又，所以． 由（1）知，为直角三角形， 又，，所以，， 所以，整理得， 所以，即． 16．(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 17．（1）见解析；（2）． 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、求点面距离 【分析】（1）在梯形中，由所给已知条件可证，又因为平面平面，由面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点,连接，， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量知识可求二面角的大小． 【详解】（1）证明：因为，， 所以，, 因为，所以， 在中，由余弦定理得, ， 所以， 所以， 所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． （2）解：取的中点,连接，， 因为，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面 所以平面， 因为平面，所以， 因为，分别是，的中点， 所以，所以， 所以，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由（1）知， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由题易知平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角，则 所以二面角的余弦值为． 18．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程，结合虚轴长定义进行求解即可； （2）（i）设出直线的方程与双曲线方程联立，根据面积关系得到两点纵坐标的关系，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、双曲线弦长公式进行求解即可； （ii）分斜率为和斜率不为两种情况，结合（1）中的结论进行求解证明即可. 【详解】（1）由题意得的渐近线方程为， 由的渐近线方程为得， 又，所以， 所以， 故双曲线的方程为； （2）（i）由（1）可知， 由题意得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，不妨设， 联立 整理得， 则，即， ①， 由得②，由①②得 ， 故 ； （ii）当直线的斜率为时为的两顶点， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， ， 由（i）知， 则， 因为， 所以与不垂直，即无论取何值，都有成立， 综上，不存在直线，使得. 19．(1)函数的增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【难度】0.38 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出，解出的解为的单调递增区间．解出的解为的单调递减区间. （2）要证，即证，只需证．构造函数，其中，则．构造函数，利用导数得到在上单调递增．又，得到存在，使，可得，从而得到在上单调递减，在上单调递增．求出．得到，即． 【详解】（1）因为， 所以，解得，所以． 函数的定义域为， 令，得； 令，得． 所以函数的增区间为，减区间为． （2）证明：要证，即证，只需证． 令，其中， 则． 令，则，所以在上单调递增． 因为，， 所以存在，使，可得，当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增． 所以． 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高三数学检测卷 双向细目表 题型 题号 难度系数 分值 知识点 核心知识点 一、单选题 1 0.94 5 集合 集合中的交集运算 2 0.85 5 复数 复数的概念及运算 3 0.78 5 平面向量 平面向量的运算 4 0.65 5 函数及其性质 函数的对称性 5 0.82 5 计数原理 由项的系数确定参数、求指定项的系数 6 0.45 5 数列 利用等差数列的性质计算，由Sn求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、等差数列的单调性 7 0.57 5 圆锥曲线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 8 0.5 5 导数及其应用 对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 二、多选题 9 0.5 6 导数及其应用 判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 10 0.72 6 三角恒等变换 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式 11 0.4 6 平面解析几何 立体几何中的轨迹问题、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、证明线面平行 三、填空题 12 0.82 5 平面向量 平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 13 0.71 5 函数与导数 函数奇偶性的应用 14 0.65 5 数列 数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 四、解答题 15 0.42 13 三角函数与解三角形 逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理及辨析、已知弦（切）求切（弦）、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 16 0.65 15 计数原理与概率统计 求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 17 0.65 15 空间向量与立体几何 证明线面垂直、面面角的向量求法、求点面距离 18 0.65 17 平面解析几何 求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 19 0.38 17 函数与导数 已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） $ 高三数学检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． （原创）2．若复数，则z的虚部是（   ） A． B． C． D．1 3．在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 4．设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 5．已知的展开式中的常数项的系数为20，则（     ） A．2 B． C．1 D． 6．已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 10．（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．是曲线的一个对称中心 C．是曲线的一条对称轴 D．在区间上单调递增 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 （原创）12．设A、B，点满足，则点到原点的距离为________． 13．已知，．求______． 14．在数列中，，，则等于______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在中，，，． (1)求； (2)设边上有两点，，，且，求． 16．某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 17．如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18．已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 19．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)判断函数的单调性； (2)证明：当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $