命题大赛 2026届高三（全国Ⅱ卷）数学模拟试题

**基本信息** 高2023级全国二卷数学模拟卷，覆盖函数、几何、代数、统计模块，以原料存贮优化、体质健康数据等真实情境为载体，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、逻辑、三角函数、解析几何|第8题经济存贮问题，融合数学建模与优化思想| |填空题|3题15分|复数、椭圆、三角恒等变换|第14题三角求值，考查运算能力与转化思维| |解答题|5题77分|数列、立体几何、概率统计、双曲线、导数|第17题体质健康数据统计，体现数据意识；第19题导数综合，考查逻辑推理与创新思维|

高2023级全国二卷模拟试题 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。3.满分150分，时间120分钟 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．在中，“”是“”的（ ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4．若，则 A． B． C． D． 5．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则 A． B． C． D． 6．已，则 A． B． C． D． 7．已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是 A． B． C． D． 8．工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在正方体中，有 A． B．平面 C．平面 D．平面平面 10．已知随机事件满足，，，，则 A． B．事件与相互独立 C． D．若，则 11．已知抛物线：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，A，B在直线上的射影分别为，，则 A．的最小值是 B．是直角 C．若，则直线的斜率为 D．若，则的周长的最小值为27 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数是纯虚数，则实数 ． 13．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为 ． 14．已知，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列中，，，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 17．（15分） 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 260及以上 194及以上 良好 245～259 180～193 及格 205～244 150～179 不及格 204及以下 149及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生 180 205 213 220 235 245 250 258 261 270 275 280 女生 148 160 162 169 172 184 195 196 196 197 208 220 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立. (1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； (2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； (3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件.判断与是否相互独立. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 19．（17分） 已知函数 (1)若曲线是中心对称图形，证明：； (2)若，证明：在存在极小值； (3)若，且在单调递增，求的取值集合． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级全国二卷数学模拟试题 考点细目表 各题考查的知识点及分值 题号 知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 集合的交集运算 单选题 5 0.90 基础题 2 命题的否定 单选题 5 0.90 基础题 3 充分条件与必要条件 单选题 5 0.85 基础题 4 余弦函数的诱导公式与二倍角公式 单选题 5 0.80 基础题 5 余弦定理与面积公式 单选题 5 0.78 基础题 6 二项式定理 单选题 5 0.70 中档题 7 圆的一般方程与等差数列综合 单选题 5 0.60 中档题 8 函数应用与基本不等式 单选题 5 0.40 较难题 9 正方体的线线与线面以及面面关系 多选题 6 0.75 基础题 10 条件概率 多选题 6 0.55 中档题 11 抛物线的几何性质综合题 多选题 6 0.35 难题 12 复数的概念 填空题 5 0.95 基础题 13 椭圆的几何性质与焦点三角形面积问题 填空题 5 0.50 中档题 14 三角恒等变形综合题 填空题 5 0.35 难题 15 等差数列与等比数列 解答题 13 0.65 中档题 16 空间几何体的线线垂直与二面角计算 解答题 15 0.55 中档题 17 概率分布列与概率独立性判断 解答题 15 0.55 中档题 18 双曲线的几何性质与多边形面积计算综合题 解答题 17 0.35 难题 19 函数对称性探究，零点存在定理，极值点讨论区分度题 解答题 17 0.15 难题 1 学科网（北京）股份有限公司 $高2023级全国二卷数学模拟试题 参考答案 一.单项选择题 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 A c A ? D A D 0 二.多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD ACD BCD 三.填空题 2月 13.5 1 14.2 四.解答题 15.解：（1）因为01-2=3-2-2-a=2-0=-1且4，-2=3-2=13分 0n-20 an-2" an-2 所以an-2”=1(-1)”,所以an=2”+-1；… ………6分 (2)设存在am-1,0m,am+1m≥2)满足条件，所以am-1+am1=2am（m≥2)， ……7分 所以2+-12+2+(-1=2[2”+-1门 ……9分 当m是奇数时，2--2=2，解得：m=3,满足条件… …11分 当m是偶数时，2-1+2=-2，此时无解…12分 所以m=3满足条件，此时a2=3,43=9,a4=15.……13分 16.解：(1)取AB的中点M,连接PM,CM.:PA=PB.PM⊥AB· ……1分 乙ABC=,AB=BC·则AMBC为正三角形，：CMAB, ……2分 又：CMOPM=M,CM,PMc平面PMC,· ……3分 AB⊥平面PMC,又，PCc平面PMC …5分 (2)以M为原点，以MB,MC,MP为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 2 D M BL 第1页，共2页 由题可知∠PCM=吾设PM=h,则CM=V3h.AB=2h.…6分 号5205×- h=1… ………8分 3 ac05,0)·D-2,5,0,P00,1, pc=(0,5,-,PD=-2,5,-, …9分 设平面PCD的法向量是行=(Ky,2)' 则i·P元=V5y-z=0 i.pi=-2x+3y-z=0 令y=1,则平面PCD的一个法向量是i=(0,LV5,… …11分 又平面PAB的一个法向量是i=(0,1,0) …12分 m列11 小o(m训=同同3刘2' ……14分 所以平面PAB与平面PCD的夹角为3，” …15分 17.解：(1)样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6， 所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为4-； 39.1 估计高三女生立定跳远单项的优秀率为2。 61 (2)由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3， 9…5分 …………7分 1_7 X1=0×5+1x4+2x3+3× 0 18 186 nA-c ……10分 Pc*+c月 ……12分 …………14分 则P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立.…… 0…15分 第1页，共2页 18.解：(1)依题意，A-a,0),设F(c,0),则a+c=3…………1分 F到圆0上点的距离的最大值为3，所以c+1=3,所以c=2,故a=1,b=5…2分 所以C的方程为x2_上 分………3 (2)(i)设直线ST:x=y+2,S(x,y),T(x2,y2), [x=my+2, x-号=可得3m2-1产+12mw+9=0,4=144m2-363m2-1)=36m2+36>0,…4分 由 3 -12m 9 所以y+%=3m3m一… ……5分 ksk4n=片X乃 yiy2 x+1x2+1(my+3)my2+3)m2yy2+3m(,+y2)+9 9 3m2-1 2+3m2m+9 m29 …………………7分 3m2-1 所以AS1AT;……………8分 (i)不妨设直线AM:x=m1y-1,AN:x=m2y-1,m,m,=-1, +少-1可得(m+刂广-2my=0,解得w x=my-1 2m1 由 m2+1’ …9分 2m2 同理可得，yw= %t1…10分 x=my-1, 6m1 由 2-可得3m-1y-6my=0，解得灯3m2…11分 同理可得，yT二3m诗 6,… …12 分 -36 由题意，得ygyr<0,⅓y10-3m+<0,故10-3到m+m)>0, 设4457的面积为S,则=经=是-1… 分 易知9-1=454-1=9xm++-1=9x2+m+ "S:4MAN3m2-1)(3m-1)10-3(m+m) -1…14分 第1页，共2页 16 令：=m好计吗之2V=2:当且议当网=%时取等号，为1= -1=9 16 令f(t)=9 -310-3t -1,函数f)在[2，+0)单调递增… ·15分 16 故当t=2时，取得最小值； =9× 3 -1=8 ····16分 3 10-3×2 M AO F 所以的最小值为8 S …17分 19.解：(1)若y=f(x)是中心对称图形，设对称中心为b,c 则对任意x恒有fb+x+∫(b-x=2C.…1分 则8cosb+x+0+8c0sb-x+p+(b+x-a)+(b-x-a)3=2c…2分 化简得16cosb+p)cosx+2(b-a)3+6b-ax2=2c等式对任意x恒成立，…3分 故各项系数必须为0，即6b-a=0→b=a,16c0sa+0=0→c0sa+0=0.…4分 (2)当a+p=0时，即p=-a时，令1=x-a>0,则f(x)=8c0s1+2,其中1>0， 设g(t=8c0s1+13,1>0,则g(t)=-8sint+312… 因为y=-8sint,y=3产在2，不为增函数，放g'心在2，为增函数mm…6酚 由于g=-8+32<-8+3x1.62<0,且g1到-3x2>0, 由零点定理知存在62元使g。)=0.… ……7分 h(t)=-8sint+3t2,h'(t)=-8cost+6t 当1e[经c0s<0,从而小=-8c01+61>0.…8分 所以=g刊在行单调递蝴，进而8在行 上单调递减，在(，π上单调递增， 因此。是gt)的极小值点，即f(x)在(a,+0）存在极小值.…9分 (3)已知a=0,则f(s)=8cos(x+p)+x3,导数为f☒)=-8sim(x+p)+3x2 第1页，共2页 要使得f(x在[0，+o)上单调递增，需f"(x)≥0对所有x≥0成立 当x≥厚时，3x≥8，而si(x+0)兆1，故不等式成立 只需考虑x∈0，刀，其中T-V323 8_(π2π 在x=0处，fO=-8sinp≥0，得sinp≤0，即p∈[2km+元，2km+2m]keZ) 先考虑区间p∈[元，2m] 若pe[,2-T小，则对任意x∈0，刀，有x+9e[,2,此时sin(x+)≤0，故f')≥0成立 若p∈(2x-T,2,令8=0-(2-T)e(0,T],其中<T<2 3 当x∈[0，T-6]时，x+p≤2m,sin(x+p)≤0： 当xeT-6,T]时，设u=x+0-2π∈(0，δ]， 则x=u+T-6不等式化为sinu≤（a十了-6…川 分 记H()=（u+T-2-sinr'需H)20对ue(0,d]恒成立 nro-2+T--osu.设o0=u+7-8-cosu 则ro-+su,图为ue01 故V'(u)>0, 故H"'(u在(0，δ]上递增，H0)=（T-6}≥0'H(列=1-sin6≥0 若H(0)=(T-6)-1≥0，则H四在[0，δ]递增， 即0<δ≤T-4时H0≥0恒成立 3 若6>T-等则H'(0)<0,H'6)=2r-cos6=6 4 -cos >0. 存在唯一u∈(0，⑥)使H'(u,=0, 当0<u<uo时，H'0<0,当，<u<δ时，H'(o>0, 故H()在(0，山)上单调递减，在(4,0)上单调递增，故H(umm=H(4≥0…13分 第1页，共2页 &uo+T=δ=costn 故 ,整理得2cos2u0≥3sin0'解得sinu0≤寺 8(4+T-δ≥sm4 而<6≤T<等，故0<u≤晋 而（o+7-=c0su,即T--c0s,-子， 3 图为三c0s-在0为减函数，故5_3x≤7-6<……… 246 分 放r-号<6≤君+T-29, 合0cs0区8s十切25刚092a-7列s72 6 3 3 故2π-T<p≤ 3π2V3 63 综x≤psg-29, 3 结合y=si血x的周期可得9的取值集合为p∈x+2ka,26m+13_25 (k∈Z.…17分 63 第1页，共2页