奥数：第4讲 旋转体的体积（专项训练）-2025-2026学年六年级上册数学 人教版

【人教版】六年级上册数学奥数： 第 4 讲 旋转体的体积 一、知识要点 本讲围绕圆柱、圆锥、圆台、扇形围圆锥、空心圆柱等旋转体展开，核心公式： 1. 圆柱体积： 2. 圆锥体积： 3. 圆台体积： 4. 圆锥侧面积：（ 为母线） 5. 空心圆柱体积： 圆环面积 × 高 解题关键：半径比→面积比→体积比、体积不变、弧长 = 底面周长。 二、经典例题 例 1 圆柱体积比与高度问题 甲、乙两个圆柱容积相等，甲半径是乙的 2 倍，乙比甲高 36 厘米。求甲、乙高度。 解答： 半径比 ，底面积比 ，高之比 。 甲高： 厘米 乙高： 厘米 答案：甲 12cm，乙 48cm 例 2 扇形围圆锥求容积 边长 20cm 正方形剪扇形围成圆锥，求容积（取整数）。 解答： 弧长：，底面半径 cm 高： cm 容积： cm³ 答案：约 507 立方厘米 例 3 1/4 圆锥谷堆体积 3. 墙角谷堆呈圆锥，弧长 1.5 米，高 0.8 米，每立方米 650 公斤。求重量。 解答： ， 体积 重量：0.191×650≈124 公斤 答案：约 124 公斤 例 4 圆锥容器石子与水面高度（取整数） 倒圆锥半径 6cm，高 12cm，石子体积。求取出石子后水面高。 解答： 设高，半径 → 答案：8 厘米 例 5 草垛（圆锥 + 圆台）重量 圆锥底面周长 6.28m，高 0.8m；圆台下底周长 9.42m，高 1.6m。每立方米草 140 公斤。 解答： 圆锥半径 r=1m，圆台下底半径 R=1.5m， 上底半径 r=1m，高 h=1.6 m 圆锥体积≈0.837，圆台≈7.95，总体≈8.79 m³ 重量：8.79×140≈1230 公斤 答案：约 1230 公斤 例 6 空心圆筒体积（筒壁不计） 圆筒长 40cm，横截面最长线段 24cm。求体积。 解答： 外半径 12cm，圆环面积 体积： 答案： 立方厘米 例 7 长方形绕对角线旋转体体积 长 12cm、宽 9cm 长方形绕对角线旋转，求体积。 解答： 对角线 15cm，旋转体体积： 答案： 立方厘米 例 8 圆柱中浸没圆锥（水面升降） 一个底面半径 20cm 的圆柱水桶，浸没一个底面半径 10cm、高 12cm 的圆锥。取出后，水面下降多少厘米？ 解答： 圆锥体积： 下降高度： cm 答案：1 厘米 三、拔高拓展例题（小升初 / 竞赛专用） 拓展例 1 圆柱圆锥体积比 圆柱与圆锥底面半径比 ，高之比 ，求体积比。 解答： 答案：5:3 拓展例 2 侧面展开为正方形 圆柱侧面展开是边长 12.56cm 的正方形，求体积。 解答： cm³ 答案：约 157.75 立方厘米 拓展例 3 扇形围圆锥求高 半径 6cm、圆心角 90° 的扇形围成圆锥，求圆锥的高。 解答： 底面半径 cm 高： cm 答案： cm 拓展例 4 长方形旋转成圆柱 长 10cm、宽 8cm 长方形以长为轴旋转一周，求体积。 解答： cm³ 答案： 立方厘米 拓展例 5 高增加引起表面积变化 圆柱高增加 3cm，表面积增加 94.2cm²，求底面积。 解答： 底面周长： → 底面积： cm² 答案： 平方厘米 拓展例 6 圆锥水倒入圆柱(圆锥倒立) 圆锥高 18cm，装满水，倒入等底圆柱，水深 6cm。 若装水高 6cm，则水深几何？ 解答： 圆锥中水高6cm时，体积为总体积的=， 总体积=6πr2 水体积 =2/9πr2, 水深≈0.222 cm 答案：0.222 厘米 拓展例 7 沿直径切开求体积 圆柱沿直径切两半，表面积增加 60cm²，高 5cm，求体积。 解答： 直径 × 高 ×2=60 → 直径 = 6 → r=3 体积： cm³ 答案： 立方厘米 拓展例 8 圆柱体积倍数关系 甲半径是乙的 3 倍，高是乙的，甲体积是乙的几倍？ 解答： 答案：4.5 倍 拓展例 9 圆台体积 圆台上底半径 2cm，下底 4cm，高 6cm，求体积。 解答： cm³ 答案： 立方厘米 拓展例 10 空心圆柱体积 外直径 20cm，内直径 10cm，长 50cm，求体积。 解答： cm³ 答案： 立方厘米 四、基础练习题 1. 甲、乙两个圆柱容积相等，甲半径是乙的 2 倍，乙比甲高 36 厘米，求甲、乙的高。 2. 边长 20 厘米的正方形剪扇形围成圆锥，求圆锥容积（取整数）。 3. 墙角 1/4 圆锥谷堆，弧长 1.5 米，高 0.8 米，每立方米 650 公斤，求总重量。 4. 倒圆锥半径 6cm、高 12cm，石子体积 100π cm³，取石子后水面高多少？ 5. 草垛：圆锥底面周长 6.28m、高 0.8m；圆台下底周长 9.42m、高 1.6m，每立方米草 140 公斤，求重量。 6. 圆筒长 40cm，横截面最长线段 24cm，求管子体积。 7. 长 12cm、宽 9cm 长方形绕对角线旋转，求旋转体体积（保留 π）。 8. 圆柱半径 4cm、高 10cm，挖去同底同高圆锥，求剩余体积。 五、进阶拔高练习题 1. 圆柱与圆锥底面半径比 2∶3，高之比 5∶4，体积比是多少？ 2. 圆柱侧面展开是边长 12.56cm 的正方形，求体积。 3. 半径 6cm、圆心角 90° 的扇形围成圆锥，求圆锥的高。 4. 长 10cm、宽 8cm 的长方形以长为轴旋转一周，求体积。 5. 圆柱高增加 3cm，表面积增加 94.2cm²，求底面积。 6. 圆锥容器高 18cm，装水高 6cm，将水倒入等底圆柱，水深几厘米？ 7. 一段圆柱形钢材，沿底面直径切成两半，表面积增加 60cm²，高 5cm，求体积。 8. 甲圆柱半径是乙的 3 倍，高是乙的 1/2，甲体积是乙的几倍？ 9. 圆台上底半径 2cm，下底半径 4cm，高 6cm，求体积。 10. 空心圆柱外直径 20cm，内直径 10cm，长 50cm，求体积。 六、参考答案 基础题答案 1. 甲 12cm，乙 48cm 2. 约 507 cm³ 3. 约 124 公斤 4. 8cm 5. 约 1230 公斤 6. cm³ 7. cm³ 8. cm³ 拔高题答案 1. 5:3 2. 约 157.75 cm³ 3. cm 4. cm³ 5. cm² 6. 0.222cm 7. cm³ 8. 4.5 倍 9. cm³ 10. cm³ 学科网（北京）股份有限公司 $