精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高一下学期数学学科期中质量调查试卷

天津一中2025-2026-2高一年级 数学学科期中质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第IⅡ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第I卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效． 第I卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化为 的标准形式，再直接求解虚部即可. 【详解】因为. 而复数的虚部是指 中 的值，不含 ，所以这个复数的虚部为 . 3. 在中，若 ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】余弦定理将各值代入 得 解得或(舍去)选A. 4. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ） A. 1∶3 B. 2∶3 C. 1∶2 D. 2∶9 【答案】C 【解析】 【分析】设球体的半径，根据已知条件把圆锥和球体的体积表示出来相比就可以了. 【详解】设球体的半径为，圆锥底面半径为，高为 则圆锥的体积为： 球体的体积： 所以圆锥与球的体积之比为：1∶2 故选：C. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 7. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】向量，， 向量在方向上的投影向量为，得. 8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出、.则可求出. 【详解】如图所示：记于点. 由题意知：，.. 在中：. 在中：. 所以. 故选:C. 9. 在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】在正三棱柱中，若，， 所以， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 设点A到平面的距离为， ， 故选：B 10. 在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】在中，设，，， 因为，，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 又因为，所以，又，所以， 在中，，，， 根据，所以，，， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 由于为线段上的一点，则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，所以的最小值为. 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 12. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______ 【答案】9 【解析】 【详解】依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径． ，． 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和三角形面积公式可求得的值，结合余弦定理可求得结果. 【详解】，，， ，解得：， ，. 14. 如图: PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________． 【答案】. 【解析】 【分析】先过B作BD∥AC，且BD=AC得到下底面为矩形，把问题转化为求∠PBD；然后通过PA⊥DB，DB⊥AD证得DB⊥平面PAD，进而求出BD，PA；在RT△PDB中，求出∠PBD的正切值即可． 【详解】过B作BD∥AC，且BD=AC； 所以ADBC为矩形, 且∠PBD（或其补角）即为所求． 因为PA=AC=BC=a ∴AD=a；BD=a ∵PA⊥平面ABC ∴PD=； 又因为PA⊥DB，DB⊥AD⇒DB⊥平面PAD⇒BD⊥PD． 在RT△PDB中，tan∠PBD=． 即异面直线PB与AC所成的角的正切值等于． 故答案为 【点睛】本题主要考查异面直线及其所成的角．解决本题的关键在于通过过B作BD∥AC，把问题转化为求∠PBD． 15. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由面得到，再分别在与求得与，顺便求得两者面积，从而在中可求得，即三棱台的高，由此利用三棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】记分别是的中心，过作，如图， 则由正三棱台的结构特征可知面，所以面， 所以为侧棱与底面所成角的平面角，故， 在中，由正弦定理得，即，， 在中，，即，， 所以在中，，即该三棱台的高为， 所以该三棱台的体积为. 故答案为：. . 16. 已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：（本大题共4小题共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 18. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，E为棱SC的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线SA与BE所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交点，连接，得出，利用线面平行的判定定理即可证明. （2）由题意得出为异面直线所成的角，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 连接交点，连接， 底面是边长为2的正方形，E为棱SC的中点， 则，因为平面BDE ，平面BDE ， 所以平面BDE. 【小问2详解】 由（1）可知异面直线SA与BE所成角为， 因为底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4， 所以，， 取的中点，连接，， 在中，， 在中，. 所以异面直线SA与BE所成角的余弦值为. 19. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 20. 如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点. （1）证明：； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直； （2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值. 试题解析：（1）设为中点，由题意得平面，所以. 因为，所以. 所以平面. 由，分别为的中点，得且，从而且， 所以是平行四边形，所以. 因为平面，所以平面. （2）作，垂足为，连结. 因为平面，所以. 因为，所以平面. 所以平面. 所以为直线与平面所成角的平面角. 由，得. 由平面，得. 由，得. 所以 考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-2高一年级 数学学科期中质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第IⅡ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第I卷为第1页，第Ⅱ卷为第2页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效． 第I卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若 ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ） A. 1∶3 B. 2∶3 C. 1∶2 D. 2∶9 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ） A. B. C. D. 9. 在正三棱柱中，若，，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知i是虚数单位，则 ________． 12. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______ 13. 在中，角所对的边分别为．已知的面积为，，，则______． 14. 如图: PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________． 15. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________. 16. 已知平面四边形满足，且，为的中点，则__________，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为__________. 三、解答题：（本大题共4小题共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，E为棱SC的中点． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线SA与BE所成角的余弦值． 19. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的最大值． 20. 如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点. （1）证明：； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $