天津市耀华中学红桥学校2025-2026学年度第二学期高一年级期中质量检测数学试卷

天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 天津市耀华中学红桥学校20252026学年度第二学期 高一年级期中质量检测 数学试卷 第I卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1.i为虚数单位，若z1+V3i=2i,则= A.1 B.√2 C.2 D.22 2.在△4BC中，4，b是角A,B的对边，a=2,b=√6，A=45°，则角B的值为 A.60° B.150° C.30°或150° D.60°或120° 3.设x,yeR,向量a=(x,1),b=(L,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则x+y= A.0 B.1 C.2 D.3 4.一个四边形用斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰 梯形，则该四边形原来的面积为 A.2+V2 B.2+2 8 C.3v2 D.2+1 2 2 5.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的()倍 A.9 B.27 C.81 D.729 6.已知甲船位于灯塔A的北偏东70°方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏 西50°方向，若两船相距19海里，则乙船与灯塔A之间的距离为 A.2W5 B.2 C.3 D.5 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 7. 若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为5 则此正四棱柱的体积是 A.96 B.9V5 C.8 8V6 D. 8 27 27 8.四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E,使得CD=DE,若点F为线段AE 上的动点，则BFCF的最小值为 A.3 B.1 C.7 D.2 8 8 9.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，下列四个命题中正确的个数为 ①若bcos C+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形： ②若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形； ③若a2+b2-c2>0,则△4BC一定是锐角三角形； ④在△ABC中，A=60°，a=√6，若△ABC有一个解，则b的取值范围是b=2W2或 0<b<V6. A.1 B.2 C.3 D.4 第川卷（共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10.i是虚数单位，复数2+i的虚部为 1-i 11.己知四棱锥P-ABCD底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心， 若该四棱锥的体积为3，则它的表面积为 6 12.己知d=v5,=la-=2,若a+6与ā+2b的夹角为锐角，则实数元的取值范围是 B,如图，在正方体ABCD-ABCD中，M是棱AB上的点，且AMAB,P是棱AA 上的点，且AP=)A4.延长DA,D,P,CM,三条直线交于G,平面MCD,P将 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和5，(？<乃)，则上的值为 14. 在△4BC中，AB=2,AC=3且13AB+21-)AC1的最小值为3，则 ∠BAC= ,若点E、F分别为线段AB与线段AC上的动点，且线段EF交 中线AD于G,△AEF的面积为△ABC面积的一半，则AG.EF的取值范围是 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15.(本小题满分10分) 己知复数z=(m2+m-6)+(m2-m-2i(m∈R): (1)若z是纯虚数，求实数m的值： (2)若z对应复平面上的点在第二象限，求m的取值范围. 16.(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=2√3，b=3,且满足 b-a sin B-sinC sinA+sinB (1)求角A的值； (2)求sin(2B+乃)的值. 17.(本小题满分12分) 心 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 如图，在△ABC中，AD=B,点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近 点C,设CA=a,CB=b. (1)用a,b表示EF及cD: (2)若∠ACB=60°，AC=2,且CD⊥EF, ①求BC的长： ②求CD在CB方向上的投影向量（结果用表示）. 18.(本小题满分12分) 如图，己知正三棱柱ABC-ABC的体积为4V6,点E、F分别为棱BC与A4的中点. (1)若△ABC边长为2，求三棱柱ABC-AB,C的高： (2)求三棱锥C-AEF的体积； (3)若球O与三棱柱ABC-AB,C的各棱均相切，求球o的表面积. 19.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其中c=1. (1)cos2 4=sin2 B+cos2 C-sin Asin B. ①求角C; ②若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围： (2)若a+b=cosA+cosB,求△ABC内切圆面积的最大值. 4 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 天津市耀华中学红桥学校20252026学年度第二学期 高一年级期中质量检测 数学答案 一、 选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A B C B A 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 3 2 11.3 12.元>-3且元≠2 14. 三、解答题（本题共5小题，共59分) 15.(本小题满分10分) (1)若z是纯虚数，则m2-m-2≠0，一 m≠-1且m≠2 m2+m-6=0, m=-3或2 解得m=-3. 5分 m2-m-2>0,. m<-1或m>2 (2) m2+m-6<0, -3<m<2 解得-3<m<-1. 10分 16.(本小题满分12分) (1)因为b-a_sinB-sinC sinA+sinB 由正弦定理可得 b-a b-c ca+b’ …2分 整理得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得cosA= b2+c2-a2 be 1 2bc 2bc-2 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 且A∈(0，)，所以A= 5分 6 325 a (2)由正弦定理知 sin B sin'sin B 3,..sin B=3 .6分 2 又h<a,B<A,∴cosB=7 4 7分 sin2B=2 sin BcosB=2×3xV万_3W7 448 9分 2 .cos2B=2cos2B-1=2× 4 .10分 =sin 2Bcos+cos2Bsin ”-3w7x51x13w2i-1 6 6 6828216 .12分 17.(本小题满分12分) )因为0号， 所以，所-示-正=}丽a-}-a: .2分 而+D-a+号而-Ca+o@-C列-C+c-a+6 4分 2)①因为c01,所以DF-(传+号)得6吉-0， ..6分 所以号58=0，由问=2，可得6=3，即BC3 8分 ②CD在CB方向上的投影向量为 CD.CBCB CD.b: a+2D6 CD 5 b .10分 23.12 (3 9) -6=5256=36 9 .12分 18.(本小题满分12分) (1)设△ABC的高为h 6 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL S△MBc= x3x2=3 2分 h=Yuc-As6 S△ABC 46-42 3 .4分 (2）)Vc-AEr='R-ACE 3 1 AA 32 .6分 LV ADC-ABC 12 ×46 12 6 3 .8分 (3) 01 B 设正三棱柱ABC-A,B,C的底面边长为a,高为b,上底面中心为O,下底面中心为 G,连接O,G,则球O的球心O在O,G的中点上 球O切棱AA于F,切棱BC于E 由题意yc-a五=46，D 4 因为0F=AG=a-V5 9,G6=5a,又0c9,所以05=oG+0E=V作+日 b2a2 2sin 6 3 所以5。=，Ba 3a4+,解得a=b② .10分 联立①②可得a=b=22,所以球0的半径为R-5.26 3’ -a= 3 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 所以球0的表面积为S=4R=4zx(25=32元 ..12分 3 3 19.(本小题满分13分) (1)1cos2 4=sin2 B+cos2 C-sin Asin B 1-sin2 4=sin2B+1-sin2 C-sin Asin B →b+a2-c2=ab→cosC=1 2 …2分 0<C<π.C=π 3 .3分 ②周长l=a+b+c =a+b+1 =1+c sin A+c ·sinB sinC sinc .4分 1+2 sin 4+sin(+ 3】 sin +sin 1 sin 4+v3 -cos A =1+2sin 6 .6分 0<A<π 2 因为△ABC为锐角三角形，所以{ 0<2红-4< π 所以4 27分 3 所以4器，所以5<m4+ π】 ≤1， 3 63 6 所以周长范围是(1+√3,3] .8分 (2)因为c=1,则a+b=c(cosA+cosB), 由正弦定理得sinA+sinB=sinC(cosA+cosB), sin(B+C)+sin(A+C)=sinC(cosA+cosB), sin Bcos C+cos Bsin C+sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C+cos Bsin C, 天津市耀華中粤紅橋粤校 TIANJIN YAOHUA HONGQIAO HIGH SCHOOL 化简得cosC(sinA+sinB)=0, 9分 因为A、B、C∈(0，π)，所以sin4≠0，sinB≠0，则cosC=0, 所以c-至c+1. .10分 设内切圆半径为”， 则r=a+b-c)=(a+b-0 又a+b=Va+b=va2+6+2ab≤2(a2+b)=V2, a=b 当且仅当 a2+b=1时，即当a=b=2时等号成立， .11分 a>0,b>0 所以0<s巨-1 2 .12分 △18C的内切园面积s=≤2-_ 3-22)π 2 4 即△1BC的内切圆面积的最大值是3-22)π .13分 4 9