精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

滨海新区田家炳中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可： 【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误； 梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确； 故选：BD. 2. 设是两个非零向量，若命题p：，命题q：的夹角是钝角，则命题p是命题q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分成充分性和必要性分别判断. 【详解】若的夹角为钝角，则，成立；若，则的夹角为钝角不一定成立.如且反向，此时，，所以命题p是命题q成立的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】解决充要条件类问题的四种方法： （1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法. 3. 如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 五棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图形，即可判断出结论. 【详解】剩余部分是以四边形为底面，为顶点的四棱锥. 故选:B. 【点睛】本题考查图形的识别，属于基础题. 4. 已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是 A. 的共轭复数为 B. 的虚部为-1 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数z,再判断每一个选项的真假. 【详解】由题得， 因为z的共轭复数为,所以选项A是错误的； 由于复数z的虚部为1，所以选项B是错误的； 由于复数z对应的点在y轴正半轴，不在第一象限，所以选项C是错误的; 由于|z|=1，所以选项D是正确的. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 6. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大角，再利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，，，所以为最大角， ，因为，所以. 故选：B 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 8. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7，再画出图形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R， 由题意可知：，解得， 如图可得：， 满足关系式，即，求得， 即两底面之间的距离为. 故选：D. 9. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【详解】设为向量，的夹角，因为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 10. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，根据共线得到方程，求出答案. 【详解】， ， 因为A，B，C三点共线，所以，即， 因为不共线，故， 解得. 故选：A 11. 在中，已知， 那么一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B＝sin C得 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=, 所以三角形是直角三角形. 故答案为A 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 12. 已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高，从而求得圆柱的体积. 【详解】球的表面积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为，半径为， 在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知，，是虚数单位，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】若，则， 即， 所以，解得. 所以. 14. 设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 15. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 ______ . 【答案】8 【解析】 【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积即得. 【详解】在坐标系中作出直观图对应的原图形，它是直角梯形，如图. 易得，，， 故原梯形的面积为：， 故答案为：8. 16. 如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. ⑤直线与平面的位置关系是______. 【答案】 ①. 平行 ②. 异面 ③. 相交 ④. 垂直 ⑤. 平行 【解析】 【详解】对于①，长方体中，// // ，且， 所以四边形是平行四边形，所以直线与直线的位置关系是平行； 对于②，由①知，// ，由于过一点作已知直线的平行线，有且只有一条，所以直线与直线不平行， 直线平面，直线平面，且， 所以直线与直线不相交，所以直线与直线的位置关系是异面； 对于③，直线与直线有公共点，所以其位置关系是相交； 对于④，因为平面，所以平面. 即直线与平面的位置关系是垂直. 对于⑤，因为直线// ，平面，平面， 所以直线// 平面，即直线与平面的位置关系是平行. 17. 若，，与的夹角为，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由及数量积的运算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为，则， 若，则, 可得，即，解得. 故答案为：. 18. 在长方体中，已知，，，则三棱锥的体积为______，长方体的外接球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式可得三棱锥的体积；求出长方体的外接球的半径，利用球的表面积公式计算即可． 【详解】三棱锥的体积为：． 外接球的半径为：， 所以外接球的表面积为：． 故答案为：；． 19. 已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面圆半径和母线，然后根据公式即可求解. 【详解】 如图，为等腰直角三角形，且， 所以底面圆半径，母线长， 所以侧面积，体积. 故答案为：；. 20. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 三､解答题：本题共4小题，共50分. 21. 若复数，当实数m为何值时 （1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z对应的点在第二象限 【答案】(1) 或： (2) ； (3) . 【解析】 【分析】 (1)是实数，根据虚部为，列方程即可求解； (2)是纯虚数，根据实部为，虚部不为，列方程组即可求解； (3)对应的点在第二象限，根据实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解. 【详解】解：由题意： (1)或， 当或时，是实数. (2)， 当时，是纯虚数. (3) 当时，对应的点在第二象限. 【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 22. 已知向量 （1）向量夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数k的值； （3）若向量，且与向量平行，求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积以及模的坐标运算，计算即可得出答案； （2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案； （3）求出向量与向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，，， 所以，向量夹角的余弦值. 【小问2详解】 由已知可得，，. 又向量与垂直， 所以，，即， 解得. 【小问3详解】 由已知可得，. 又与向量平行，， 所以有， 整理可得，，解得. 23. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A； （2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 因为 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 解得. 所以的面积. 24. 在中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c．已知a=2，c=,cosA=. （I）求sinC和b的值； （II）求的值． 【答案】（I），b=1 (2) 【解析】 【详解】（I）解：在中，由，可得.又由及a=2，，可得. 由，得.因为，故解得b=1. 所以，b=1. （II）解：由，，得. 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区田家炳中学2025-2026-2高一年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面 2. 设是两个非零向量，若命题p：，命题q：的夹角是钝角，则命题p是命题q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 五棱锥 4. 已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是 A. 的共轭复数为 B. 的虚部为-1 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 9. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 在中，已知， 那么一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 12. 已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二､填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知，，是虚数单位，若，则______. 14. 设为单位向量，且，则______________. 15. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为 ______ . 16. 如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. ⑤直线与平面的位置关系是______. 17. 若，，与的夹角为，且，则的值为________． 18. 在长方体中，已知，，，则三棱锥的体积为______，长方体的外接球的表面积为______． 19. 已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积______，体积_______. 20. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 三､解答题：本题共4小题，共50分. 21. 若复数，当实数m为何值时 （1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z对应的点在第二象限 22. 已知向量 （1）向量夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数k的值； （3）若向量，且与向量平行，求实数k的值. 23. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求A； （2）若，，求的面积. 24. 在中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c．已知a=2，c=,cosA=. （I）求sinC和b的值； （II）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $