19.1 二次根式及其性质（同步练习）-2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 本同步练聚焦二次根式概念及性质，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一知识点到综合运用的递进，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次根式有意义条件、简单性质|选择/填空题（如第1-3题）直接考查概念，强化数感| |中档|性质辨析与化简|选择/填空题（如第4-8题）对比运算，培养推理意识| |提升|综合应用与分类讨论|解答题（如23-24题）结合完全平方、绝对值化简，发展逻辑思维|

19.1 二次根式及其性质 一、选择题（共12小题） 1．（2025秋•福绵区 期末）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 2．（2025秋•乳山市期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（　　） A．16 B．21 C．27 D．32 3．（2025秋•渝中区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2027 B．x≥2027 C．x≤2027 D．x＜2027 4．（2025秋•海阳市期末）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•椒江区期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C．﹣22＝4 D．（﹣2）2＝4 6．（2025秋•钱塘区期末）下列各组实数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（2025秋•郫都区校级期末）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•大理州模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≤3 C．x≥3 D．x≠3 9．（2025春•巫山县校级期中）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•德城区期末）下列各式一定属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025春•武昌区期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．0 B．﹣2a C．2a D．﹣2b 12．（2025春•宜春校级期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 13．（2026•梁园区校级一模）请任意写出一个能使有意义的m值：　 　 ． 14．（2026•合肥模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 15．（2025秋•辉县市校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 16．（2026•海门区校级模拟）已知的值为 　 　 ． 17．（2026•南京一模）若a＞0，化简　 　 ． 18．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． 19．（2025秋•鄞州区校级期末）已知实数m满足，则m＝　 　 ． 20．（2025秋•肥城市期末）若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是　 　 ． 21．（2025秋•长宁区校级期末）如果，那么xy＝　 　 ． 22．（2025秋•杨浦区期末）化简：　 　 ． 三、解答题（共5小题） 23．（2025秋•海安市期末）已知关于x的代数式A＝x2+（2a﹣6）x+a2+9，代数式B＝（x+b）2+4b+5（a、b为常数）． （1）A是一个关于x的完全平方式，则a的值为　 　 ； （2）若A＝B，求的值； （3）若y＝A﹣B，对于任意实数x，都有y≥0，求a+b的取值范围． 24．（2025秋•福州校级期末）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|， 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤5时，化简：　 　 ； （2）若等式4成立，则a的取值范围是　 　 ； （3）若8，求a的取值． 25．（2025秋•张店区期末）求下列各式的值： （1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 26．（2025秋•嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 27．（2025•黔东南州模拟）已知x，y是实数，且，求（x﹣y）2026． 一、选择题（共12小题） 1．【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 则x的值可以是2， 故选：A． 2．【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵是整数，且n是正整数， ∴正整数n的最小值是21． 故选：B． 3．【答案】B 【分析】令开方数为非负数，即可得出答案． 【解答】解：由已知可得x﹣2027≥0， ∴x≥2027． 故选：B． 4．【答案】C 【分析】根据二次根式的性质与化简与立方根的定义进行计算，逐项判断即可． 【解答】解：A．原式＝1，故本选项不符合题意； B．原式＝0.2，故本选项不符合题意； C．原式＝﹣5，故本选项符合题意； D．原式＝﹣0.1，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．【答案】D 【分析】根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【解答】解：A、是16的算术平方根，结果为4，而非±4，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、﹣22表示22的相反数，22＝4，﹣22＝﹣4，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 6．【答案】A 【分析】根据二次根式的性质逐项化简判断即可． 【解答】解：A、，，相等，故此选项符合题意； B、，，不相等，故此选项不符合题意； C、，不相等，故此选项不符合题意； D、互为相反数，不相等，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．【答案】A 【分析】根据立方根、算术平方根、平方根、二次根式的性质逐项计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 8．【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣3＞0， 解得：x＞3， 故选：A． 9．【答案】A 【分析】根据二次根式的定义对各选项进行逐一解答即可． 【解答】解：A、中被开方数是非负数，是二次根式，符合题意； B、中，当a＜5时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意； C、中，y≠0时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意； D、中，当ab＜0时，被开方数是负数，不是二次根式，不符合题意． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】根据二次根式的定义进行作答即可． 【解答】解：∵被开方数为非负数， ∴是二次根式． 故选：C． 11．【答案】B 【分析】由数轴得a＜0，b＞0，再根据绝对值、二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0， ∴ ＝|a|+|a﹣b|﹣|b| ＝﹣a﹣（a﹣b）﹣b ＝﹣a﹣a+b﹣b ＝﹣2a． 故选：B． 12．【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． 为三次根式，所以A选项不符合题意； B．当a≥0时，为二次根式，所以B选项不符合题意； C． 为二次根式，所以C选项符合题意； D． 为实数，所以D选项符合题意． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 13．【答案】1（答案不唯一）． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案． 【解答】解：∵3﹣m≥0， ∴m≤3． 故答案为：1（答案不唯一）． 14．【答案】x 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意得：3﹣2x≥0，解得：x． 故答案为：x． 15．【答案】x≥1且x≠3． 【分析】代数式有意义需满足分式分母不为零，且二次根式中被开方数非负，据此进行求解即可． 【解答】解：要使代数式有意义，则， 解得x≥1且x≠3． 故答案为：x≥1且x≠3． 16．【答案】3 【分析】先判断出b的符号，再判断出b﹣a﹣4和a﹣b+1的符号，从而去掉根号，得出答案． 【解答】解：∵0，∴a、b异号， ∵a＞0，∴b＜0， ∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0， ∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1） ＝a﹣b+4﹣a+b﹣1 ＝3， 故答案为3． 17．【答案】 【分析】由于a＞0，从根号里可判断b＜0，分子、分母同乘以b，化简即可． 【解答】解：∵a＞0，∴． 18．【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵a＜0， ∴﹣4a3＞0， ∴b＞0， ∴原式． 故答案为：． 19．【答案】8 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出m≥4，再根据二次根式的性质化简可得m﹣2m，解之即可． 【解答】解：由m﹣4≥0知m≥4， 则由原等式知m﹣2m， 整理得2， 解得m＝8， 故答案为：8． 20．【答案】x≤3． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：6﹣2x≥0， 解得：x≤3， 故答案为：x≤3． 21．【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，再根据负整数指数幂的运算计算即可． 【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，x﹣3≥0， 则x＝3， ∴y＝﹣2， ∴xY＝3﹣2， 故答案为：． 22．【答案】． 【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a，化解解答即可． 【解答】解：根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a可得： ， 故答案为：． 三、解答题（共5小题） 23．【答案】（1）0； （2）； （3）a+b≥﹣10． 【分析】（1）由题意可得（a﹣3）2＝a2+9，求出a的值即可； （2）由题意可得2a﹣6＝2b，a2+9＝b2+4b+5，求出a、b的值再求解即可； （3）根据题意可得2a﹣2b﹣6＝0，a2+4﹣b2﹣4b≥0，求出a的范围，再求a+b的范围即可． 【解答】解：（1）∵A是一个关于x的完全平方式， ∴（a﹣3）2＝a2+9， 解得a＝0， 故答案为：0； （2）∵A＝B， ∴x2+（2a﹣6）x+a2+9＝（x+b）2+4b+5， ∴2a﹣6＝2b，a2+9＝b2+4b+5， 解得a，b， ∴； （3）∵y＝A﹣B， ∴y＝x2+（2a﹣6）x+a2+9﹣x2﹣2bx﹣b2﹣4b﹣5＝（2a﹣6﹣2b）x+a2+4﹣b2﹣4b， ∵对于任意实数x，都有y≥0， ∴2a﹣2b﹣6＝0，a2+4﹣b2﹣4b≥0， ∴a﹣b＝3，a2+4﹣b2﹣4b＝3（a+b）﹣4b+4＝3a﹣b+4≥0， ∴3a+3﹣a+4＝2a+7≥0， ∴a， ∴a+b＝a+a﹣3＝2a﹣3≥﹣10． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）∵2≤a≤5， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， ∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， ∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2或a＝6； 故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7 25．【答案】（1）2；（2）4； （3）； （4）3； （5）﹣3． 【分析】（1）根据立方根的定义计算即可； （2）根据二次根式的性质化简即可；（3）根据二次根式的性质化简即可；（4）根据二次根式的性质化简即可；（5）根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）2； （2）|﹣4|＝4； （3）； （4）3； （5）3． 26．【答案】﹣a． 【分析】利用数轴得到c＜a＜0＜b，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【解答】解：由数轴得：c＜a＜0＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣（b﹣c）+|c| ＝﹣a+b﹣b+c﹣c ＝﹣a． 27．【答案】1． 【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以解题． 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得x＝2， ∴y＝3， ∴（x﹣y）2026＝（2﹣3）2026＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $