20.1勾股定理及其应用 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.1勾股定理及其应用 人教版八年级（下） 1．会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题. 2.会利用勾股定理求两点距离及验证“HL”. 学习目标 a、b、c 为正数 a b c 勾股定理(毕达哥斯拉定理) 公式变形 直角三角形的_________________，等于____________. 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么___________. 两条直角边的平方 斜边的平方 a2 + b2 = c2 数学家毕达哥拉斯的发现： A B C 猜想：正方形A、B、C的面积有什么关系？ S正方形A+S正方形B=S正方形C 猜想：等腰直角三角形的三边有什么关系？ 问题探究 在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 想一想，对于任意的直角三角形，这个结论还成立吗？ A B C 图1-3 A B C 图1-4 观察右边两个图并填写下表： 16 9 4 9 问题探究 怎样得到正方形C的面积？与同伴交流． 猜想：三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？ 想一想: 等腰直角三角形中三边之间所具有的关系在一般直角三角形中是否还成立？ 【方法1】补形法：(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形) 左图： 右图： 【方法2】分割法：(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形) 左图： 右图： 7 根据前面求出的C的面积直接填出下表： A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 【思考】正方形A,B,C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 【命题1】如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 左面动图形象的说明命题1的正确性,让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. 8 反思感悟 利用勾股定理表示无理数的方法： (1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. (2)以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边的点表示正无理数. 　　　在数轴上画出表示的点. 跟踪训练1 解　如图所示，点C即为表示的点. 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 勾股定理 a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 等面积法证明勾股定理 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c 为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 公式变形： 勾股定理 b a c 归纳总结 　　　如图，点A是棱长为2的正方体的一个顶点，点B是一条棱的中点，将正方体按图中所示的方式展开，求在展开图中A，B两点间的距离. 跟踪训练3 解　如图，在Rt△ABC中， AC=4，BC=1， 所以AB==. 所以在展开图中A，B两点间的距离是. 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c 为正数 a b c 勾股定理 公式变形 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 归纳总结 例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解： (1) 据勾股定理得 (2) 据勾股定理得 C A B 知识点2：利用勾股定理进行计算 典例精析 12 19 返回 20 解：如图，作FH ⊥AE 于H.由题意可知∠HAF ＝∠HFA＝45°，∴AH ＝HF ，设AH ＝HF ＝x m，则EF ＝2x m，EH ＝ x m，在Rt△AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m，∴AE ＝2AB ＝10 m， ∴x＋ x＝10，∴x＝5 －5， ∴EF ＝10 －10≈7.3(m)， 答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m. 5.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 解：如图，在Rt△ABC 中，∵AC ＝36cm，BC ＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝362＋272＝2025＝452，∴AB＝45cm，∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)． 2、已知直角三角形的两边长分别为10cm和6cm，求第三边长。 解：①当已知两边是直角边时，由勾股定理得 即：==8(cm) ②当10cm为斜边时，由勾股定理的 即：==8(cm) 4．[2025广安]如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2)分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3)画射线AF， 交BC于点E．若∠C＝2∠B， BC＝23，BD＝13，则AE的长为________． 【点拨】∵BC＝23，BD＝13，∴CD＝23－13＝10.连接AD，如图，由题意得AD＝AC，AE垂直平分CD，∴∠C＝∠ADC，∠AED＝∠AEC＝90°，DE＝CE＝CD＝5.∵∠C＝2∠B，∴∠ADC＝2∠B.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD， ∴∠B＝∠BAD.∴AD＝DB＝13. ∴在Rt△ADE中，AE＝＝12. $