精品解析：广东广州市第三中学2025学年第二学期期中素养综合参考资料 初二级 数学（问卷）

2025学年第二学期期中素养综合参考资料 初二级数学（问卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 二次根式有意义的条件是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，1， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故不符合题意； D、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、，则不是最简二次根式，此项不符题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、是最简二次根式，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，此项错误； B、整数3与无理数不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误； 故选：C． 5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解． 【详解】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分， ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 6. 如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质得出是的中点，结合是的中点，利用三角形中位线定理可得，再根据线段的和差关系求出的长即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴为的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 8. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，下列选项能使平行四边形成为矩形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定逐项判断即可得． 【详解】A、若，则平行四边形是菱形，不符题意； B、不能使平行四边形成为矩形，不符题意； C、若，则平行四边形是菱形，不符题意； D、由得：， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形，即此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键． 9. 已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知两边都为直角边，或8为斜边，利用勾股定理求出第三边，再根据三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当和均为直角边时，由勾股定理，斜边，设斜边上的高为，三角形面积，； ②当为斜边，为直角边时，由勾股定理，另一条直角边，设斜边上的高为，三角形面积，， 综上，斜边上的高为或． 10. 已知：如图，，，作正方形，面积记作；再作第二个正方形，面积记作，继续作第三个正方形，面积记作；点，，，在射线上，点，，，在射线上，依此类推，则第6个正方形的面积是（ ） A. 256 B. 900 C. 1024 D. 4096 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质、正方形的性质依次求出前三个正方形的边长和面积，得出规律，进而求解. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，正方形的面积是； 同理可得：，第二个正方形的面积是， 以此类推：，第三个正方形的面积； ……， ∴，第六个正方形的面积； 故选：C. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质、得出规律是解题关键. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】50 【解析】 【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，即可得出∠C的度数． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A=50°， 则∠C=∠A=50°． 故答案为：50． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 12. 若，，则．的逆命题为______（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题，进行求解即可． 【详解】解：若，，则的逆命题为：若，则，，这是一个假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了判定命题的真假和命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握逆命题的定义． 13. 如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC，AB∥CD ∴∠B+∠BCD＝180°， 又∠BCD＝120°， ∴∠B＝60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC＝AB＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键． 14. 已知，则化简_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出，再根据二次根式的化简法则即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 16. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明，可得①正确；②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案． 【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE， ∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD， ∴∠EDC=∠PDA， 在△APD和△CED中， ∴△APD≌△CED，故①正确， ∴∠APD=∠DEC， ∵DP=DE，∠PDE=90°， ∴∠DPE=∠DEP=45°， ∴∠APD=∠DEC=135°， ∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°， ∴AE⊥CE，故②正确， 如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F， ∵，∠PDE=90°， ∴PE=， ∵，∠PEC=90°， ∴CE==2， ∵∠DEP=45°，∠PEC=90°， ∴∠FEC=45°， ∵∠EFC=90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF==， ∴点到直线的距离为，故③错误， ∴DF=EF+DE=+1， ∴CD2===， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、正方形面积公式、勾股定理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键. 三、解答题（本大题共9个小题，满分86分，解答需写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤．） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】先化简二次根式、分母有理化、计算二次根式的除法，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先得出，再证出四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，以及单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，最后再把所给的a的值代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：， ， ， 将代入上式有， ． 20. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得的长，；由角平分线性质得，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． 21. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： （1）从点出发画线段，以及线段，使，且两点也在格点上 （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：， 则如图，线段，，即为所求． ． 【小问2详解】 解：不是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴，即不满足勾股定理的逆定理， ∴不是直角三角形． 22. 超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：） 【答案】此车超过了每小时80千米的限制速度． 【解析】 【分析】先求出BO=PO=100m，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得AP=200m，然后利用勾股定理求出AO的长，得到AB的长，再根据从A处行驶到B处所用的时间为3秒，求出骑车的速度即可判断． 【详解】解：由题意知，米，，，∠POA=90°， ∴在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为米秒千米时千米/时． 答：此车超过了每小时80千米的限制速度． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23. 如图，在梯形中，，对角线垂直于，是的中点，连接CE、DE，DE交AC于点O，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明四边形是平行四边形，得出，，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 ，， 四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直于， ， 是斜边的中点， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ，， 菱形的面积． 24. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①；②，理由见解析 （2）或20 【解析】 【分析】（1）①根据折叠得出，利用勾股定理求出的长即可； ②根据平行线的性质和翻折的性质可证，从而； （2）由是直角三角形，当时，则四边形是正方形，得；当时，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解，当时，点P在线段上，不符合题意，舍去． 【小问1详解】 解：①根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵将沿直线翻折至的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图所示： ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去， 综上：或20． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒 （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动______秒点，四边形的周长最小． 【答案】（1） （2）存在点Q，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形，且为时，；时，；时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得点P从点C出发，以的速度向终点B运动，此时得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，列出方程解答即可． （2）根据菱形的判定和性质，结合勾股定理，分类思想，特别注意是点Q在直线上，点Q可能在第二象限内的直线上，解答要全面． （3）根据四边形的周长为,， 把四边形的周长最小就转化为最小，证明四边形是平行四边形，得到，于是最小就转化为，利用将军饮马河原理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，，，点是的中点，∴,,,, ∵点P从点C出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∵四边形是平行四边形, ∴, ∴， 解得 故点P运动时，四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：存在点Q，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形，且为时，；时，；时，，理由如下： 当点Q在点P的右侧时，如图1所示， ∵四边形为矩形，，，点是的中点，∴,,,,直线上点的纵坐标都是4， ∵点P从点C出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∵四边形是菱形, ∴， ∴， ∴，， 解得， 故时，点； 当点Q在点P的左侧时，如图2所示， ∵四边形为矩形，，，点是的中点，∴,,,,直线上点的纵坐标都是4， ∵点P从点C出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∵四边形是菱形, ∴， ∴， ∴， 解得， 故时，点； 当点Q在点P的左侧时，且点Q在第二象限，如图3所示， ∵四边形为矩形，，，点是的中点，∴,,,,直线上点的纵坐标都是4， ∵点P从点C出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∵四边形是菱形, ∴， ∴， ∴， 解得， 故时，点； 综上所述，存在点Q，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形，且为时，；时，；时，． 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，，，点是的中点，∴,,,,直线上点的纵坐标都是4， ∵点P从点C出发，以的速度向终点B运动， ∴， ∵四边形的周长为,， ∴四边形的周长最小就转化为最小， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴最小就转化为， 如图4作出点A关于直线的对称点E，连接，交于点H，此时， 故当M与点H重合时，取得最小值，最小值为的长， 过点D作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 故时，点； 故答案为：． 【点睛】考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，将军饮马河原理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中素养综合参考资料 初二级数学（问卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 二次根式有意义的条件是（） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 1，1， D. 5，12，13 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图，中，，于点D，点E是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 7. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 8. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，下列选项能使平行四边形成为矩形的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 10. 已知：如图，，，作正方形，面积记作；再作第二个正方形，面积记作，继续作第三个正方形，面积记作；点，，，在射线上，点，，，在射线上，依此类推，则第6个正方形的面积是（ ） A. 256 B. 900 C. 1024 D. 4096 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 在平行四边形中，若，则_______． 12. 若，，则．的逆命题为______（填“真”或“假”）命题． 13. 如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____． 14. 已知，则化简_______________． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 16. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共9个小题，满分86分，解答需写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，，，垂足为点，，求的长. 21. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： （1）从点出发画线段，以及线段，使，且两点也在格点上 （2）是直角三角形吗？请说明理由． 22. 超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：） 23. 如图，在梯形中，，对角线垂直于，是的中点，连接CE、DE，DE交AC于点O，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； （2）如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 25. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒 （1）当为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，当运动______秒点，四边形的周长最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $