精品解析：福建莆田锦江中学2025-2026学年下学期八年级数学学科期中质量监测

2025-2026学年下学期八年级数学学科期中质量监测 （满分：150分； 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题（40分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解x的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∴，解得， ∴x的取值范围是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． ∵，∴B错误． ∵，∴C正确． ∵，∴D错误． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． ∴选D． 4. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分． 5. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：对角线互相垂直、两组对边分别平行、对角线互相平分、两组对角分别相等的四条性质中，对角线互相垂直是菱形具有但平行四边形不具有，其余三条性质是菱形和平行四边形都具有的. 6. 现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面的高度，则此时的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长、三角形中位线定理等知识，由平行四边形的性质得，，，结合，的周长是，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点， ∴， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 9. 如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 10. 如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明得，过点作于点，在上取点，连接，使，分别求出，，得，进而可求出的周长． 【详解】解：根据题意得：，， 又， ∴， ∴， 过点作于点，在上取点，连接，使，如图， 则，， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠得， ∴， ∴的周长． 第II卷（非选择题） 二、填空题（24分） 11. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】任意多边形的外角和都为，正多边形每个外角都相等，根据该性质计算即可得到边数． 【详解】解：这个正多边形的边数为． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 13. 最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】两个二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，即可求解． 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴． 14. 明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴ ， 解得， 故答案为：． 15. 下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是____________（填序号）． 【答案】①③⑤⑥ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形，利用它们的判定与性质是解题关键．根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 【详解】①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确； ②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，说法正确； ④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误； ⑤平行四边形对角相等，说法正确； ⑥菱形每一条对角线平分一组对角，说法正确， 故答案为：①③⑤⑥． 16. 如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，交的延长线于点F，连接，作关于的对称线段，连接，先证明四边形是正方形，同时求出，进一步推得，然后证明，得出，再根据轴对称的性质得到，所以，同时可证明，，从而，根据两点之间线段最短，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点F，在上取点M，使，连接，过点M作，交于点N，作关于的对称线段，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 和关于对称， ，F、C、G三点共线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点M在上时，最小，即取得最小值， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，轴对称的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别是和上的点，且，求证：． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．根据菱形的性质得到，，进一步推得，根据全等三角形的判定，即得答案． 【详解】四边形是菱形， ，， ， ， 在和中， ， ． 19. 如图，点D在的边上． （1）求作一点E，使得四边形是平行四边形； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．提示：点A，D，B，E按逆时针依次排序） （2）在（1）的条件下，连接，与交于点O，连接， 若，，，求的长度 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接，即可； （2）根据，，，证明为直角三角形，根据平行四边形的性质得出，根据直角三角形的性质得出． 【小问1详解】 解：如图，四边形为所求作的平行四边形； 根据作图可知：，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作平行四边形，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 20. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2）54 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∴菱形的面积为． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．梯子底端B在上，，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米，．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】米 【解析】 【分析】设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，则米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，则米， 由题意列方程为：， 解得， 答：此时梯子底端到右墙角点的距离是米． 22. 【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为______； （2）化简：； （3）①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可； （2）先对分母进行有理化，再求解即可； （3）①先求出的长度，再利用面积法求解； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F再表示出的面积，求出P点到各边的距离即可． 【小问1详解】 ∵ ∴的有理化因式为； 【小问2详解】 ① ； 【小问3详解】 设中边上的高为h， ∴，即 ∴ ∴点A到边的距离为； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F ∵平分，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程． 23. 如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）由平行四边形的性质得到，，等量代换得到，然后结合即可证明出四边形是矩形； （3）首先证明出，得到，，设，则，，根据列方程求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴； 【小问2详解】 解：∵由（1）得：四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形； 【小问3详解】 解：∵F恰是的中点 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ 设，则， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 【阅读理解】 （）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图，琪琪同学对四边形进行了剖分，那么我们根据她的剖分和三角形的内角和可以得出四边形的内角和为________． 【初步探究】 （）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，，．若，，试求的长． 【拓展迁移】 （）如图，，，，，是动点．当，分别在，上或其延长线上时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （） （） （）或或 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是多边形内角和的推导、旋转全等与全等三角形性质、动态几何的分情况线段关系． （）用三角剖分法把四边形分成个三角形，利用三角形内角和，算出四边形内角和为； （）通过旋转得到全等三角形，证明，得出，代入数值算出； （）分情况讨论：在边上线段关系及在延长线上，图形结合即可解答． 【详解】解：（）四边形的三角剖分是连接不相邻顶点，把四边形分成个三角形， ∵一个三角形内角和是， ∴四边形内角和为 故答案为：； （）∵， 把绕点旋转，使与重合，得到， 此时，，且， ∴，即共线， ∵，， ∴ 在和， ， ∴ ∴ ∵， ∴； （）或或； 理由如下： ①. 证明：在上截取，使，连接，如图， ∵， ， ∴， 在与中， ∴， ∴. ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②. 证明：在上截取，如图， 同第一种情况方法，证明， 证明， ∴； ③由()、()可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系， 综上，线段之间的数量关系为或或． 25. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）． 【解析】 【分析】（1）由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰直角三角形性质即可得出； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，结合菱形性质证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出；过点作于点，设，即可得出三角形面积，发现当最小时三角形面积最小，则当时，三角形面积最小，再利用含直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）正方形中， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设， 则，， ∵，即， ∴， ∴， ∴当最小时，即最小时，面积最小， ∴当时，即最小，面积最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴的面积存在最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形性质和判定、所对的直角边等于斜边的一半等，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期八年级数学学科期中质量监测 （满分：150分； 考试时间：120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题（40分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 6. 现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面的高度，则此时的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一张等腰纸片，，小杰对其进行了操作：选取边上一点，连接，将沿所在直线翻折使得的对应线段交边于点，再将沿所在直线翻折，使得的对应线段恰好落在所在直线上，这样就得到了一幅热带鱼的图案，则的周长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（24分） 11. 若正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数是_________． 12. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 13. 最简二次根式与可以合并，则________． 14. 明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长______． 15. 下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是____________（填序号）． 16. 如图，在四边形中，，，E为边上一点．若四边形的面积为24，的最小值为___． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别是和上的点，且，求证：． 19. 如图，点D在的边上． （1）求作一点E，使得四边形是平行四边形； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．提示：点A，D，B，E按逆时针依次排序） （2）在（1）的条件下，连接，与交于点O，连接， 若，，，求的长度 20. 如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．梯子底端B在上，，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米，．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 22. 【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为______； （2）化简：； （3）①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离． 23. 如图，，E、G是边上两点，且，与交于点F，F恰是的中点，，． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形． （3）若，，求的长． 24. 【阅读理解】 （）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图，琪琪同学对四边形进行了剖分，那么我们根据她的剖分和三角形的内角和可以得出四边形的内角和为________． 【初步探究】 （）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，，．若，，试求的长． 【拓展迁移】 （）如图，，，，，是动点．当，分别在，上或其延长线上时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 25. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $