精品解析：福建省泉州市晋江市季延中学教育集团校2025-2026学年下学期期中质量监测八年级数学试卷

季延中学教育集团校2025－2026学年下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 2. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C： ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点、解一元一次不等式组，首根据点在第四象限，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：． 故选：A． 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可. 【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n）， ∴， ∴， ∴， ∴1=3×2+m， ∴m=-5, ∴关于x，y的方程组的解. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键． 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 10. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 化简：的结果为________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 12. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知、两点横坐标相同，则设其为，进而可得，最后将的面积表示出来进行求解即可． 【详解】解：∵轴， ∴、两点横坐标相同，设其为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵点在上， ∴坐标为， ∴， ∵的面积底高，且底为，高为到轴的水平距离，即， ∴ 解得， 故答案为：2． 16. 已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，， 根据，得出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接，交于O，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即． ∴四边形是平行四边形． 20. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图像； （2）此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）点P的坐标是或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： 【小问2详解】 解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； 【小问3详解】 解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 21. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 【小问2详解】 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 【答案】（1）， （2）或 （3）存在点，坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可． （3）分情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点在坐标轴上， 轴，轴． ，且为的中点， ∴点的纵坐标为2． 反比例函数的图象过和点， ∴反比例函数的解析式为 把代入，得 【小问2详解】 解：由图像可得，当 或时，， 故的解集为或． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设点，由题可知 ①当时，则 解得． ②当时，则 解得，或 当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍） ③当时，则 解得，或 或 综上所述：存在点，且坐标为或或或． 23. 【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 24. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）： （1）甲、乙两地相距______，快车速度是______，慢车速度是______； （2）求图中点的坐标； （3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】（1）400，100，40 （2） （3）慢车出发或或后，两车相距 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据图象及速度＝路程÷时间计算即可； （2）根据路程＝速度×时间分别求出线段、所在直线的函数关系式，二者联立建立关于和的二元一次方程组，求解即得点的坐标并描述其实际意义即可； （3）按照的取值范围，当两车相距时分别列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲、乙两地相距， 快车速度是：， 慢车速度是：． 故答案为：400，100，40． 【小问2详解】 线段所在直线的函数关系式为：， 设线段所在直线的函数关系式为：， 将点代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数关系式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 【小问3详解】 当时， ，解得； 当时， ，解得（舍去）； 当时， ，解得； 当时， 解得． 综上所述，慢车出发或或后，两车相距． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，此直线交x轴于点P，交y轴于点A，直线与x轴交于点N． （1）求A，P两点的坐标； （2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线上，若面积等于9，请求出点M的坐标； （3）如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）存在，的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）分别令，即可得出答案； （2）过作交轴于，连接，将的面积转化为的面积求出点D的坐标，再根据，设直线为，将点D的坐标代入即可求得直线的解析式，最后根据点M在直线上，即可得出答案； （3）设，分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作轴于E，证明，得到，即，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，证明，得到，即，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，同②可证，得到，即，求出t值即可． 【小问1详解】 直线交x轴于点P，交y轴于点A， 令， 令， ， 【小问2详解】 过作交轴于，连接，如图： ，面积等于9， 面积等于9， ， 即， ， ，设直线为， 则， ， 直线为， 令得， ； 【小问3详解】 存在，设， ①当点Q在x轴负半轴时，过B作轴于E，如图， ∴，， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②当Q在y轴正半轴上时，过C作轴于F，过B作轴于G，连接，如图： ∴，， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ③当Q在y轴正半轴上时，过点C作轴于F，过B作轴于T，如图， ∴，， 同②可证， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上，Q的坐标为或或． 【点睛】本题为一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 季延中学教育集团校2025－2026学年下学期期中质量监测 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 2. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在第四象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 10. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 化简：的结果为________． 12. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则___________． 14. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图像上，点是轴上的一个动点，连接．若轴，且的面积为，则的值为__________． 16. 已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：．其中． 19. 在中，E，F是对角线上两点，并且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 20. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图像； （2）此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 21. 某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 23. 【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 24. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留1小时，沿原路以原速返回甲地．快、慢两车到甲地的距离与行驶时间的函数关系如图（折线为快车，线段为慢车）： （1）甲、乙两地相距______，快车速度是______，慢车速度是______； （2）求图中点的坐标； （3）请求出慢车出发多长时间后，两车相距？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，此直线交x轴于点P，交y轴于点A，直线与x轴交于点N． （1）求A，P两点的坐标； （2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线上，若面积等于9，请求出点M的坐标； （3）如图2，已知点，若点B为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $