江苏南通市海安高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

海安中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设在处可导，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车．现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有（ ） A. 20种 B. 6种 C. 8种 D. 5种 5. 已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则 C. 若随机变量，，则 D. 若，，，则 11. 棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与底面所成角的正切值为 B. 异面直线与的距离为 C. 若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D. 若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则 . 13. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则______. 14. 三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，平行六面体的底面是菱形，且 （1）求证： （2）当的值为多少时，平面？请给出证明. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）讨论函数的单调性． 17. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 18. 如图，在正四棱台中，，且． （1）若． （i）求证：平面； （ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值． 19. 第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功． （1）已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）． （ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率． （2）记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：． 海安中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】0 【13题答案】 【答案】. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ##0.375 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） ，证明见解析 【16题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【17题答案】 【答案】（1） （2）. （3）第4项和第5项 【18题答案】 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1）（i）分布列见解析，；（ii） （2）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $