精品解析：江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由导数的定义，， 已知，故. 4. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系，可判断必要不充分条件. 【详解】由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 所以，即是的必要不充分条件， 故选：B. 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 6. 已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得当时，函数的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 7. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知不等式变形为，引入函数， 则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值． 【详解】因为， 所以由， 可得， ， 即． 所以在上是减函数， ， 当时，，递增， 当时，，递减， 即的减区间是， 所以由题意的最小值是． 故选：A． 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若均为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断，可举反例说明错误的结论． 【详解】由不等式的性质知AC正确， 当时，满足，但，，BD错误， 故选：AC． 10. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. 若，则在上无极值点 B. 若，则在上单调递增 C. 当，若关于的方程有三个实根，则 D. 当，若在区间上最大值为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判别式判断函数导数的符号判断A，根据导函数为二次函数判断在上的符号判断B，利用导数分析函数的单调性及极值判断CD. 【详解】因为，所以， 判别式为， 对A，，则，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点，当时，恒成立，函数在上单调递减，无极值点，故A正确； 对B，当时，二次函数图象开口向上，对称轴为，又，所以在上恒成立，故在上单调递增，故B正确； 对C，当时，，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以时，有极大值为，当时，有极小值为0，当时，；当时，，所以关于的方程有三个实根，则，故C错误； 对D，由C选项知，有极大值为，所以方程有一解，则有， 设另外两解为，则，整理得， 所以，，解方程，解得或， 所以由函数的单调性及极值可知，若在区间上最大值为，则，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可. 【详解】对A：∵为偶函数，则， 两边求导可得， ∴为奇函数，则， 令，则可得，则，A成立； 对B：令，则可得，则，B成立； ∵，则可得， ，则可得， 两式相加可得：， ∴关于点成中心对称， 则，D成立， 又∵，则可得， ，则可得， ∴以4为周期的周期函数， 根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立， 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量，，， 所以. 根据正态分布的对称性可得. 13. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解. 【详解】设向量， ，，设与的夹角为，， ，. 故答案为：. 14. 已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 【答案】a ≥ 【解析】 【分析】用导数及分类讨论研究函数在区间上的单调性，讨论与区间的位置关系求区间单调性，进而求的最小值， 【详解】由且， 当时，，则在上单调递减， 即在上单调递减， 此时，只需， 所以，显然不成立； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，此时 ， 只需， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 只需，而且，故 ，所以 不成立. 若，则在上单调递减，此时 ， 所以不满足前提， 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． （1）求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； （2）记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）0.37 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可. （2）先确定X的所有可能取值为0，1，2，3 ，然后求出对应的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 用A，B，C分别表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙，丙需要调整”， 则，， 用D表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则 所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2，3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.378 0.456 0.154 0.012 故X的数学期望为 . 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1）0； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. （3）由（2）求出函数的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. 【小问2详解】 由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． （1）求证：平面平面； （2）设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； （3）在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，结合为直角三角形，得到平面.建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用即可求出点坐标及外接球半径. （3）求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 证明：设为的中点，连接，，， 在中，. 又，所以为正三角形，所以. 又为正三角形，则，. 又，，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）可知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 取的中点，则. 在中，外接圆的圆心为的中点，连接，则平面， 设， 则外接球的半径，即， 解得，所以，. 故三棱锥外接球的半径． 【小问3详解】 由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， 设直线与平面所成角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，函数. （1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当两点不重合时，求线段的长； （2）若，使得不等式成立，求的最小值. 【答案】（1）①或1；② （2）1 【解析】 【分析】（1）利用导数求的切线，再由切线与也相切，利用判别式即可求出；根据确定点，即可求； （2）转化为原命题的非命题，利用单调性及恒成立探索时非命题成立，可得当时原命题成立，再验证能取得即可得解. 【小问1详解】 ①，设 ， 切点. 方程，即， 联立， 由，可得或1； ②当时，，此时重合，舍去. 当时，，此时， 此时. 【小问2详解】 令， ，则， 所以在上单调递增， 若对，均有成立，即恒成立， 或， 对，当时，设， 若，即时，， 令，则， 设，则，所以，所以单调递减， 所以，即； 若，即时，， 令，则， 令，则， 所以单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以， 均有. 因为，均有的否定为，使得不等式成立， 所以由，使得不等式成立，可得，其中包含情况， 而时，单调递增，注意到 在上递减，在上递增，成立，符合. 综上：的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题第二问条件为存在性问题，利用命题与命题的否定之间的真假关系，转化为研究恒成立问题是本题关键点之一，其次证明均有时，变换主元，转为关于的二次函数，利用二次函数分类讨论，是解决问题的关键所在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若均为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（    ） A. 若，则在上无极值点 B. 若，则在上单调递增 C. 当，若关于的方程有三个实根，则 D. 当，若在区间上最大值为，则的取值范围为 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则________． 13. 已知向量，若，则_________． 14. 已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术.已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适.已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． （1）求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； （2）记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 16. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． （1）求证：平面平面； （2）设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； （3）在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数，函数. （1）若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当两点不重合时，求线段的长； （2）若，使得不等式成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $