内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题

包头市第八十一中学高二年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2 2. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 3. 2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法． A. 180 B. 150 C. 100 D. 90 4. 若离散型随机变量的分布列如下图所示． 0 1 则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 已知函数的定义域为，对任意恒成立，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项为 B. 常数项为2 C. 第6项与第7项的系数相等 D. 含的项的系数为480 11. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 有1个零点 B. 当时， C. 曲线关于点对称 D. 过点与曲线相切的直线有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个. 13. 设为两个随机事件，已知，则__________. 14. 若不等式 对于任意恒成立，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 16. 已知. （1）求展开式中所有项的二项式系数之和； （2）求； （3）求. 17. 设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． （1）现从甲、乙两个袋内各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． （2）现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率． 18. 高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率； （2）若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 包头市第八十一中学高二年级期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】36 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为. 【16题答案】 【答案】（1）32 （2）121 （3）405 【17题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望 【19题答案】 【答案】（1）若，函数在定义域内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. （2）证明见详解 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $