精品解析：河北唐山市第二中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

唐山二中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 出题人:任佳伟 出题人审核签字:任佳伟 一、单选题 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0123 B. 0.0234 C. 0.0345 D. 0.0456 3. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 64种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知，其中为自然对数的底数，则 A. B. C. D. 7. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题 9. 已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 其中为非负数.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ） A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减 B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2 C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则 三、填空题 12. 若（，为有理数），则______． 13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． （1）选出球的最大号码为6的概率为________． （2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 四、解答题 15. 已知的展开式共有11项. （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中的系数. 16. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 18. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数的分布列； （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列． 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山二中2025—2026学年度第二学期高二期中考试 数学试卷 出题人:任佳伟 出题人审核签字:任佳伟 一、单选题 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据图像可知时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减。 综上，只有D选项符合. 2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.0123 B. 0.0234 C. 0.0345 D. 0.0456 【答案】C 【解析】 【分析】用独立事件和互斥事件概率公式即可求得. 【详解】所求概率为：. 故选：C. 3. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 64种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】先将4项工作分成3组，再按排列的方式安排给3个人做，即可求解. 【详解】4项工作分成3组,可得：， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选：D. 【点睛】本题主要考查均匀分组问题，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可求解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解. 【详解】由题意， 的通项公式为， 令，则； 令，则； 所以的展开式中，的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6. 已知，其中为自然对数的底数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，单调递增，当时， 单调递减，所以故有选D. 7. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，设，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】因为，则， 直线，即为，其斜率为， 设， 由题意可得：，解得. 故选：C. 8. 若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为对任意恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值即可． 【详解】解：问题转化为， 当时，不等式显然成立， 当时，即有对任意恒成立， 令，则， 令， 则， 故在递增， ， ， ，使得，故， 故时，，，时，， 故在递减，在，递增， 故， 故， 故整数的最大值为4， 故选：． 【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及函数最值问题，考查转化思想，是一道常规题． 二、多选题 9. 已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 其中为非负数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数学期望与分布的性质可求得判断AB；利用数学期望与方差的性质计算求得，判断CD. 【详解】因为，所以， 整理得. 又，解得，，故A正确，B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确， 因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法求解二项式展开式中系数问题. 【详解】对于选项A，令，得 ，故A错误； 对于选项B, 令,得 即，故B正确； 对于选项C, 设展开式通项为， 所以，， 故C正确； 对于选项D,对两边同时求导可得 ， 令，得 ，故D错误. 11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ） A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减 B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2 C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断. 【详解】解：设，则， 所以在上递增，又，又， 则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误； 有，即， 所以当时，，当时，， 所以，又，则，故B正确； 易知与关于对称， 且与切于，与切于， 所以|PQ|的最小值为，故C正确； 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则， 即对恒成立，即 令，则在上递增， 则，，所以 令，则， 当时，，当时，， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12. 若（，为有理数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算可得； 【详解】解： 因为（，为有理数） 所以 故答案为： 13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个． （1）选出球的最大号码为6的概率为________． （2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）从10个球中取4球，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值即可；（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为，求出，即可得答案. 【详解】（1）从10个大小相同的球中任取4个有种方法， 若所取4个球的最大号码是6，则必有一个球号码是6， 另外3个球需从1、2、3、4、5号球中取3个，有种方法， 故所取4个球的最大号码是6的概率为： （2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为． 依题意知，， ． 故答案为：， 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】（，） 【解析】 【分析】由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可. 【详解】关于的不等式在上恒成立，则， 设，∴ ∵， ∴在上单调递增， ∴即， 设， ∴，令，得， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， ∴， ∴. 故答案为：（，）. 四、解答题 15. 已知的展开式共有11项. （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中的系数. 【答案】（1）1024； （2）. 【解析】 【分析】(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数. 【小问1详解】 由的展开式共有11项可得，， 故二项式的展开式中各项二项式系数的和为 ； 【小问2详解】 二项式的展开式的通项公式为 ， 令，解得：. 所以二项式展开式中的系数为. 16. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得； （2）根据条件概率以及全概率公式求解可得 【小问1详解】 起火点被无人机击中次数的所有可能取值为 ， . 的分布列如下： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 18. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数的分布列； （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列． 【答案】（1）答案见解析；（2）①；②答案见解析． 【解析】 【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列； （2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率； ②由题意Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列. 【详解】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故的取值只有0和1两种情况， ， ， 因此随机变量的分布列为： 0 1 （2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖， 故所求概率； ②随机变量的所有可能取值为0，10，20，50，60， 且， ， ， ， ， 因此随机变量的分布列为： 0 10 20 50 60 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $