河北沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦真实情境与数学应用，如城市道路网路径、商场抽奖方案等问题，融合排列组合、概率统计知识，考查数学抽象与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合、概率计算、统计抽样|以方格道路网、产品抽样等情境考查基础应用| |多选题|3/18|正态分布、回归分析、方案设计|结合二氧化碳排放统计等现实数据，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、正态分布应用、独立性检验|辐射剂量实验等问题，体现数学建模意识| |解答题|5/77|概率综合、二项式定理、统计案例|如不放回抽样概率、抽奖方案设计，梯度考查数学思维与实践能力|

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为(    ) A. B. C. D. 2.一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3.设为自然数，则(    ) A. B. C. D. 4.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，当程序运行一次时，的数学期望为(    ) A. B. C. D. 6.某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间单位：秒的关系，做了次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为，则的值为          成语个数个 记忆时间秒 A. B. C. D. 7.用数字，，，，组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为件、件、件为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取件进行检验，则应从丙型号产品中抽取(    ) A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正态分布X~N(,)的密度曲线是f(x)=,xR的图象.则下列命题正确的是() A. 对任意xR,f(+x)=f(-x)成立 B. 如果随机变量X~N(,),且F(x)=P(X< x),那么F(x)是R上的增函数 C. 如果随机变量X~N(),那么X的期望是108,标准差是100 D. 随机变量X~N(,),P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0< X<2)=1-2p 10.进入世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自年至今，全球二氧化碳排放量增加了约，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是年中国二氧化碳排放量的统计图表以年为第年利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，则下列说法正确的是(    ) A. 由图表可知，二氧化碳排放量与时间正相关 B. 由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好 C. 利用线性回归方程计算年所对应的样本点的残差为 D. 利用线性回归方程预计年中国二氧化碳排放量为亿吨 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(    ) A. 若每人都安排一项工作，则不同安排方案的种数为 B. 若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为 C. 若每项工作至少有人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方案种数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的展开式中项的系数为，则的值为          ． 13.某班有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过分的人数为          ． 14.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示： 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 第二种剂量 合计 由表中数据算得：          精确到，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用          填“相同”或“不相同”． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在道题中有道理科题和道文科题．如果不放回地依次抽取道题，求： 第次抽到理科题的概率； 第次和第次都抽到理科题的概率； 在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率． 16.本小题分 袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个现从中随机取球，规定：取出一个红球得分，取出一个黄球得分，取出一个蓝球得分若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为． 求正整数的值 从该袋中一次性任取个球，求所得分数之和等于的概率． 17.本小题分 已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项的系数等于，求的值． 18.本小题分 某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为，获得元的抵用券，若点数相同，获得元的抵用券，其他情况获得元的抵用券方案二：盒子中有编号为的小球各一个除编号外其他均相同，客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得元的抵用券． 若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于元抵用券的概率； 客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为，若，求的取值范围． 19.本小题分 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为． 求的值以及二项式系数最大的项； 求的值． 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.  9.ABD 10. 11.  12. 13. 14.不相同  15.解：一个基本事件是从道题中不放回地抽取道，它包含的基本事件数是． 设第一次抽到理科题为事件，则它包含的基本事件的个数为，于是． 设第次和第次都抽到理科题为事件，则它包含的基本事件数为，于是． 因为道题中有道理科题和道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第次还剩下道理科题和道文科题，所以第次抽到理科题的概率为．  16.由题意有，，， 有解得 结合知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是， 共个球，从中任取个，得分之和为，包括如下两种情况： 一个红球，两个黄球，所求概率为 两个红球，一个蓝球，所求概率为， 故从该袋中一次性任取个球，所得分数之和等于的概率为．  17.解：展开式中的通项为， 令，可得，即， 则常数项， 由题意得展开式中各项系数之和等于 又展开式的各项系数之和等于， 则，即， 由题意得的展开式的二项式系数最大的项的系数等于， 又展开式中二项式系数最大的项是中间项， 则，即．  18.解：若客户选择方案一，则能获得不低于元抵用券的概率为  ． 若客户选择方案二，则能获得不低于元抵用券的概率为  ． 故甲从两个方案中随机选择一个抽奖，能获得不低于元抵用券的概率为  ． 由题可知，的取值可能为，，．  ，  ，  ， 则  ． 由  ，解得  ． 又因为  ，所以的取值范围为  ． 19.解：展开式中所有二项式系数之和为，即，， 故二项式系数最大的项为． ， 令，可得． ， 令，可得， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $