精品解析：湖北武汉市湖北大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷

2025—2026学年度下学期湖大附中高二期中质量检测 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 函数在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 5或3 D. 4或6 3. 已知函数在处可导，且，则 （ ） A. -3 B. 2 C. 4 D. -1 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（     ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 8. 曲线 上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 10. 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法． 13. 已知，则_____，______ 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， （1）恰有一个盒子不放球，有多少种放法 （2）每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 （3）将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 17. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期湖大附中高二期中质量检测 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 函数在处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 5或3 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】运用组合数性质可求得结果. 【详解】因为， 所以或， 解得：或. 故选：D. 3. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. -3 B. 2 C. 4 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义分析即可. 【详解】因为函数在处可导， 所以 ， 所以 . 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到与轴的交点横坐标为，分别判断左右两侧的符号变化情况可得结论. 【详解】由图象，设与轴的交点横坐标为，其中， 由图象可得时，，当时，，所以是极小值点， 当时，，所以不是极值点， 当时，，所以是极大值点， 时，，所以是极小值点， 故极小值点的个数为2. 故选：C. 5. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（     ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 6. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 7. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解. 【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义： 故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 8. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到，即可求解；对于B，利用二项式系数的性质，即可求解；对于C，利用二项式的展开式的通项公式，即可求解；对于D，根据条件，通过赋值，即可求解. 【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误， 对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正确， 对于选项C，二项式的展开式的通项公式为， 由，得到，所以展开式的常数项为 ，所以选项C错误， 对于选项D，令，则 ，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根判断图象交点横坐标之和即可. 【详解】， 0 0 单调增 单调减 单调增 ， 所以有2个零点，A不正确； 对于选项B：设切点为，则切线方程为， 代入原点，得， 故切线有且仅有一条，正确； 对于选项C：或， 若，根据对称性知，根之和为0， 若，方程只有一个根为0，故正确； 对于选项D：，又， 故在区间上的取值范围是，错误. 故选：BC. 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有________种不同分配方法． 【答案】 【解析】 【分析】把5人按或分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解. 【详解】分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故答案为：. 13. 已知，则_____，______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法，令得到所有系数绝对值之和相关的式子，再通过求出，再结合的结果计算；对原等式两边关于求导，然后利用赋值法，令代入求导后的式子，即可得. 【详解】展开后，系数​的符号由的幂次决定， 等于展开式中的系数， 令，得 ，即； 令原展开式，得 ，且​； 因此：  ； 对原式两边关于求导： 左边导数： 右边导数：， ​ 令代入，右边即为所求式子，左边得：  ，  因此 . 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数的导数满足，从而可得单调递增，再结合已知条件把原不等式转化为，从而即可求解. 【详解】令，因为，所以， 即在上单调递增， 又，所以， 因此不等式等价于， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 16. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内， （1）恰有一个盒子不放球，有多少种放法 （2）每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，有多少种不同的放法 （3）将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定不放球的盒子，将个球分成组， 将分好的组球放入剩下的个盒子，根据分步乘法计数原理求解； （2）从个球中选个与盒子编号相同，对剩下的个球进行讨论，根据分步乘法计数原理求解； （3）确定空盒，将个相同的球放入剩下的个盒子，且每个盒子至少放个球，根据分步乘法计数原理求解. 【小问1详解】 从个盒子中选个不放球，有种选法， 把个球分成组，可先从个球中选个为一组，其余个各为一组，有种分法， 将分好的组球全排列，放入剩下的个盒子，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； 【小问2详解】 从个球中选个，使其编号与盒子编号相同，有种选法， 剩下个球的编号与盒子编号均不相同， 先放其中一个小球，有2种不同的放入方法，再放剩下两个小球只有一种方法， 所以个球的编号与盒子编号均不相同有种不同的放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种； 【小问3详解】 从个盒子中选个为空盒，有种选法。 将个相同的球放入剩下的个不同的盒子，要求每个盒子至少有个球，根据隔板法，有种放法， 根据分步乘法计数原理，总放法有种. 17. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率可得； （2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D， 则 ． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是． 【小问2详解】 记事件B为购买的电器合格， 记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，， ，，，，，， ． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为． 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】期望； 又， 方差． 19. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 函数，定义域为，， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 有极小值，无极大值； 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $