精品解析：湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高二数学试卷

湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列是等比数列，为前项和，若，则（ ） A. 39 B. 36 C. 27 D. 12 4. 2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法． A. 180 B. 150 C. 100 D. 90 5. 已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（ ） A. 15种 B. 19种 C. 23种 D. 36种 8. 定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若时，函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. D. 有且只有一个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 中不存在连续三项成等差数列 10. 一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（ ） A. 百位为2的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个 C. 位回文数有个 D. 位回文数有个 11. 已知是函数与的图象的两条公切线，记的倾斜角为的倾斜角为，且的夹角为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 与的交点一定在第一象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. __________. 13. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为______． 四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的首项，且数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 16. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 17. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队． （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？ （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？ 18. 已知数列满足：；数列满足：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 19. 拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现用他的名字命名.如对一组数据（）（互不相等）进行研究时，记时，，称为这组数据的拉格朗日插值多项式. （1）试求数据的拉格朗日插值多项式的表达式； （2）对于（1）中求出的，若函数满足， （i）研究的单调性； （ii）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北武汉市第四中学等省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若为正整数，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数的计算公式，即可求解. 【详解】由 . 2. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的定义，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，可得 根据导数的定义，可得，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 3. 已知数列是等比数列，为前项和，若，则（ ） A. 39 B. 36 C. 27 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】设数列的公比为， 又因为，， 所以，则， 因此. 4. 2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法． A. 180 B. 150 C. 100 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先把5个“星星人”按和两种方式分组，再进行全排列，即可求解. 【详解】把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： ①按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 可得不同的分组数为； ②按分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的个中选个为一组，最后个为一组，可得不同的分组数为， 最后分配到3个不同的盒内，共有种不同的装法. 5. 已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 6. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案. 【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围， 依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：， 则， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和， 即， 综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可. 7. 为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（ ） A. 15种 B. 19种 C. 23种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有， （2）从中选择1人划左桨，从中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右桨，共有； （3）从中选2人划左桨，中的两人划右桨，共有． 所以，不同的选派方法共有19种． 8. 定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若时，函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，根据的单调性和奇偶性，求得函数的正负，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为函数满足，即，可得函数为奇函数， 设， 可得， 因为时，， 即 可得， 所以在上单调递增， 又由，可得为奇函数， 所以在上单调递增， 又因为图象连续不断，则，所以在上单调递增， 当时，且，所以； 同理可得：当时，， 对于A，由于函数的单调性不确定，故该选项不确定，所以A错误； 对于B，由当时，，可得；当时，，可得， 所以，所以B错误； 对于C，当时，，则，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且， 所以函数有且只有一个零点，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 中不存在连续三项成等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由，利用等比数列的性质，通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，可得，则， 即，所以数列为递减数列，所以B错误； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为，其中， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，所以D正确. 10. 一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（ ） A. 百位为2的五位回文数有100个 B. 十位大于个位的六位回文数有360个 C. 位回文数有个 D. 位回文数有个 【答案】BC 【解析】 【详解】根据题意，由回文数的定义，结合排列数与组合数，可得判定A错误，B正确；再用分步计数原理分析和位回文数的数目，可判定C正确，D错误. 【分析】对于A，百位为2的五位回文数，此时第一位和倒数第一位数字有9种选法， 第二位和倒数第二位数字有10种选法，故总的个数为个，所以A错误； 对于B，十位大于个位，有种方法，此时个位和十位的数字被确定， 第三四位的数字相同，有10种选择，符合条件的六位回文数，有360个，故B正确； 对于C，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法， 第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字， 即最中间的数字有10种选法，则共有种选法， 即位回文数有个，故C正确； 对于D，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法， 第二位和倒数第二位数字有10种选法， ，第和第位也有10种 所以共有种选法，故D错误. 11. 已知是函数与的图象的两条公切线，记的倾斜角为的倾斜角为，且的夹角为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 与的交点一定在第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得两函数互为反函数，根据对称性即可判断A；根据，结合诱导公式和基本不等式即可判断B；设与两个函数图象分别切于，两点，，根据三角恒等变换可得，由导数的几何意义可得切线方程，即可判断C；结合图象即可判断D. 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，故A正确； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 设与两个函数图象分别切于，两点，， 若，即， 解得或（舍去），故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以， 则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【详解】 13. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 【答案】 【解析】 【分析】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，探索数列的首项和递推公式，从而求的值. 【详解】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为. 这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法， 另一类是球不在甲手中，有种方法， 第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲， 因此，，即， 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以． 利用递推关系可以得到：． 这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种． 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出的取值范围. 【详解】当时，此时，，因为恒成立，所以恒成立， 符合题意； 当时，令， 要使恒成立，即恒成立， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要使恒成立，则，即， 因为，两边同时除以得，即，解得； 当时，因为恒成立，所以在上单调递增， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以当足够小时，趋近于，为负数且绝对值较大， 必然存在某个足够小的，使得， 不满足恒成立，所以不符合题意， 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的首项，且数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，解得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，利用乘公比错位相减法求和，得到，进而证得结论. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为且，可得， 又因为由，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 证：由（1）知：，可得，所以， 设 则. 两式相减得. 可得， 因为，可得，所以. 16. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【小问1详解】 由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 17. 某AI实验室有6个不同的团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方向的4个研发项目进行，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队． （1）若从中选出5个团队去，共有多少种不同的安排方案？ （2）若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队同一个项目，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）1440 （2）240 【解析】 【分析】（1）根据题意，先从6个团队中选5个，将其分成四组，再进行全排列，结合分步计数原理，即可求解； （2）先将A和B两个团队视为一个整体，将其分成四组，再进行全排列，即可求解. 【小问1详解】 解：先从6个团队中选5个，有种选法， 接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责， 则5个团队分为：2，1，1，1四组，有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列， 由分步计数原理，可得不同的安排方案有种. 【小问2详解】 解：先将A和B两个团队视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种项目，每个项目至少有一个团队， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法， 所以共有种不同的安排方案. 18. 已知数列满足：；数列满足：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）定义：“若存在常数，使得对任意正整数，数列的前项和都满足，则称数列是‘和有上界数列’，且‘和上界’为”．证明：数列的其中一个‘和上界’为． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意整理得，根据等比数列的定义，即可得数列的通项公式，将的通项公式代入，根据对数的运算性质，可得数列的通项公式. （2）由（1）得，代入可得的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. （3）由（1）得的通项公式，先证明，则可求得数列的前n项和的表达式，根据条件，分析即可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. 则. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以 【小问3详解】 由（1）得， 当时，， 当时，， 所以，则， 所以数列的前n项和 ， 所以对于任意正整数，数列的其中一个‘和上界’为 19. 拉格朗日是十八世纪著名的数学家，在数学领域作出了重大贡献，人们常把很多数学领域中新的发现用他的名字命名.如对一组数据（）（互不相等）进行研究时，记时，，称为这组数据的拉格朗日插值多项式. （1）试求数据的拉格朗日插值多项式的表达式； （2）对于（1）中求出的，若函数满足， （i）研究的单调性； （ii）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据拉格朗日插值多项式的定义直接求解即可. （2）（i）先求出的表达式及导函数，按照和分类讨论研究其单调性即可. （ii）分离参数将问题转化为有两个不同实数解，令，求单调性并画出示意图，数形结合得，解对数函数不等式即可. 【小问1详解】 对于数据， 有， ， 所以， 即. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， ， 若，则在上单调递减； 若，则，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. （ii）因为函数有两个零点，所以关于的方程，即， 亦即有两个不同实数解. 令，则， 当时，在上单调递减，且当时，； 当时，在上单调递增， 所以当时，取得最大值. 作出函数的图象以及直线，如图所示： 由图可见，当且仅当， 即时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $