精品解析：2026年四川省成都市高新技术产业开发区中考二模数学试题

A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 一批饼干，标准质量为每袋，现随机抽取4袋进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 天文学家发现，一年之中地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校在3月举办了“读经典·品书香”读书月活动．为了解全校800名学生的阅读情况，学校随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有30人在读书月阅读超过两本名著，根据这个调查结果，估计全校在读书月阅读超过两本名著的学生人数约为（ ） A. 80人 B. 120人 C. 240人 D. 300人 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图像与x轴有交点 D. 函数图像关于直线对称 6. 如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则代数式的值为______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 11. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 12. 分式方程的解为______． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）． （2） 15. 为增强学生的科学素养，促进创新能力发展，某校计划选拔科学宣传员．现有15名学生报名，这些学生需参加科学知识、演讲表达、创新设计三项测试，每项测试均由八位评委打分（满分100分），取八位评委打分的平均分作为该项的测试成绩，再将科学知识、演讲表达、创新设计三项的测试成绩按的比例计算得到每人的总评成绩．下面是这15名学生总评成绩的频数分布表： 成绩x（分） 频数（人） 3 6 4 2 已知小明科学知识的测试成绩为85分，演讲表达的测试成绩为75分，在创新设计测试中，八位评委给小明打出的分数如下：76，80，84，76，80，86，76，90． （1）小明在创新设计测试时，八位评委打出的分数中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； （2）计算小明的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔7名科学宣传员，你认为小明会入选吗？为什么？ 16. 漫步机是一种低冲击、全身协调的户外健身器材．某款漫步机如图1所示，当漫步机静止时，摆臂垂直于地面，踏板（宽度、厚度忽略不计）的中点B到其正上方的点A（点A与点P在同一高度）的距离为，到地面的距离为，当摆臂绕点P旋转一定的角度时，可认为踏板绕点A也旋转了相同的角度．此款漫步机摆臂从静止状态转动到某一位置时，踏板绕点A旋转至，点B的对应点为K，如图2，，，，，求此时踏板的端点H到地面的距离．（参考数据：，，） 17. 如图，是的直径，弦，垂足为E（不与点A，O重合），在上取点F，使，连接交于点G，连接，． （1） 求证：； （2）连接交于点H，若，，求线段及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴正半轴交于点C．在反比例函数图象上取点D（点D在点A右侧），使，连接交y轴于点E． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值； （3）过点B作y轴的垂线，垂足为F，若，求点的坐标． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若n为正整数，且满足，则______． 20. 现有五张形状、大小及质地完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，5，其中标有数字1，3，5的卡片背面朝上放在甲手中，标有数字2，4的卡片背面朝上放在乙手中，两人各随机抽出一张卡片，甲抽出的卡片数字比乙大的概率是______． 21. 如图，在中，，，以C为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为______． 22. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，，点P在射线上，将点绕点顺时针旋转得点，若点落在菱形的对角线所在直线上，则的长为______． 23. 在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为践行绿色发展理念，推动节能降碳措施落实，某社区决定将白炽灯换成灯．若购买5盏甲型灯和2盏乙型灯需用90元；若购买3盏甲型灯和4盏乙型灯需用96元． （1）求甲、乙两种型号灯的单价各是多少元？ （2）该社区计划购买甲、乙两种型号的灯共60盏，且总费用不超过800元，那么该社区最少需要购买多少盏甲型灯？ 25. 如图，在中，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，在的延长线上取点E，使，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，连接交于点G，若，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，点D，E，F都在抛物线上，且D，E，F三点的横坐标分别为m，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）记抛物线上D，E两点间的部分（含D，E两点）为G，当时，若图象G上到直线距离最大点及最小点的纵坐标之和为，求m的值； （3）若点D在x轴下方的抛物线上，连接交线段AC于点M（不与点A重合），连接交线段于点N，连接，若的面积是面积的2倍，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 一批饼干，标准质量为每袋，现随机抽取4袋进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，那么，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】偏差的绝对值越小，饼干质量越接近标准质量，计算各选项偏差的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示，偏差的绝对值越小，质量越接近标准质量， 计算各偏差的绝对值得，，，， ∵ ，即 ， ∴最接近标准质量的是，故选项B符合题意． 2. 天文学家发现，一年之中地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可得到结果． 【详解】解：，故选项C符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用单项式乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则、合并同类项法则判断各选项正误． 【详解】解：A. ，运算正确，符合题意； B. ，运算错误，不符合题意； C. ，运算错误，不符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，本选项运算错误，不符合题意． 4. 某校在3月举办了“读经典·品书香”读书月活动．为了解全校800名学生的阅读情况，学校随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有30人在读书月阅读超过两本名著，根据这个调查结果，估计全校在读书月阅读超过两本名著的学生人数约为（ ） A. 80人 B. 120人 C. 240人 D. 300人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，先计算样本中阅读超过两本名著的频率，再用全校总人数乘该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：∵ 抽取的100名样本中，阅读超过两本名著的人数为30人， ∴ 样本中阅读超过两本名著的频率为 ， ∴ 估计全校800名学生中，阅读超过两本名著的人数为 ， 故选C． 5. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图像与x轴有交点 D. 函数图像关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据k的符号结合反比例函数的特点逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， A.∵，∴函数图像在第二，四象限，A错误，不符合题意； B.∵，y仅在每个象限内随x的增大而增大，B错误，不符合题意； C.∵中y恒不为0，∴函数图像与x轴没有交点，C错误，不符合题意； D. 反比例函数的图像是双曲线，关于直线对称，D正确，符合题意． 6. 如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， A．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； B．无法判断四边形为平行四边形； C．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； D．∵，∴，∴四边形为平行四边形． 7. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题．设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案． 【详解】解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则代数式的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】将代数式变形为，再将整体代入求值即可，． 【详解】解：， ． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为： 11. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 15 【解析】 【分析】根据垂直平分线可知，进而可知周长． 【详解】解：在中，边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴ 的周长 ． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照解分式方程的一般步骤，先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后再进行检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，约去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 13. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为弧长问题，利用弧长公式求解是解题的关键． 【详解】解：， 即重物上升的高度为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）． （2） 【答案】（1） 6 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再化简二次根式和去绝对值，最后计算二次根式加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 15. 为增强学生的科学素养，促进创新能力发展，某校计划选拔科学宣传员．现有15名学生报名，这些学生需参加科学知识、演讲表达、创新设计三项测试，每项测试均由八位评委打分（满分100分），取八位评委打分的平均分作为该项的测试成绩，再将科学知识、演讲表达、创新设计三项的测试成绩按的比例计算得到每人的总评成绩．下面是这15名学生总评成绩的频数分布表： 成绩x（分） 频数（人） 3 6 4 2 已知小明科学知识的测试成绩为85分，演讲表达的测试成绩为75分，在创新设计测试中，八位评委给小明打出的分数如下：76，80，84，76，80，86，76，90． （1）小明在创新设计测试时，八位评委打出的分数中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； （2）计算小明的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔7名科学宣传员，你认为小明会入选吗？为什么？ 【答案】（1）80，76，81 （2） （3）小明会入选，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的定义求解； （2）根据加权平均数的计算方法求解； （3）根据题意得到小明的成绩在前6名，选拔7名科学宣传员，即可判断． 【小问1详解】 解：将八位评委给小明打出的分数按从小到大排列：76，76，76，80，80，84，86，90． ∴中位数为（分）； ∵76出现的次数最多， ∴众数为76分； 平均数为（分）； 【小问2详解】 解：小明的总评成绩为（分）； 【小问3详解】 解：小明会入选，理由如下： ∵小明的总评成绩为分，在分组， ∵和的人数和为（人）， ∴小明的成绩在前6名， ∵选拔7名科学宣传员， ∴小明会入选． 16. 漫步机是一种低冲击、全身协调的户外健身器材．某款漫步机如图1所示，当漫步机静止时，摆臂垂直于地面，踏板（宽度、厚度忽略不计）的中点B到其正上方的点A（点A与点P在同一高度）的距离为，到地面的距离为，当摆臂绕点P旋转一定的角度时，可认为踏板绕点A也旋转了相同的角度．此款漫步机摆臂从静止状态转动到某一位置时，踏板绕点A旋转至，点B的对应点为K，如图2，，，，，求此时踏板的端点H到地面的距离．（参考数据：，，） 【答案】踏板的端点H到地面的距离为 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，延长交于，结合，证明，在中， 求解，再求解，进一步可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，延长交于， 而， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴踏板的端点H到地面的距离为． 17. 如图，是的直径，弦，垂足为E（不与点A，O重合），在上取点F，使，连接交于点G，连接，． （1） 求证：； （2）连接交于点H，若，，求线段及的长． 【答案】（1）见解析 （2）AD的长为，FH的长为. 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、全等三角形的判定、勾股定理及相似三角形的应用，解题的关键是利用垂径定理、等弧对等弦、圆周角定理推导线段与角的关系，再结合勾股定理和相似三角形求解． （1）利用垂径定理和等弧对等弦得到，结合圆周角定理和对顶角相等，用AAS证明三角形全等； （2）先由勾股定理求AD的长，再通过垂径定理、等腰三角形性质及相似三角形，求解FH的长． 【小问1详解】 证明：∵ ，AB是的直径， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ （同弧上圆周角相等） ∴在和中， ∴ 【小问2详解】 解：连接OD． ∵ ，， ∴ ，即的半径为， ∴ ∵ ， ∴ ， 在中， 在中， ∵ ， ∴ ，即, 又∵,, ∴, ∴,,,, 连接 ∵ , ∴, ∴,即, 解得： 答：AD的长为，FH的长为. 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴正半轴交于点C．在反比例函数图象上取点D（点D在点A右侧），使，连接交y轴于点E． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值； （3）过点B作y轴的垂线，垂足为F，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与反比例函数的解析式联立求解即可； （2）过点作轴于点，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，先证出，求出的坐标，则可得，的长，再证出，求出点的坐标，进而可得的长，代入计算正切值即可； （3）设，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，参照（2）的思路，求出点的坐标（用含的式子表示），的长，再求出的长，根据相似三角形的性质建立方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得：， ∴， 将代入直线得：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点的横、纵坐标）或， ∴点的坐标． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴， 将点代入函数得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴，， ∴在中，， ∴在中，． 【小问3详解】 解：设， 如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴，， 将点代入函数得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， 代入得：，即， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，即， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形，进而求出相应点的坐标． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 3 【解析】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解: , 为正整数,且满足 ． 20. 现有五张形状、大小及质地完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，5，其中标有数字1，3，5的卡片背面朝上放在甲手中，标有数字2，4的卡片背面朝上放在乙手中，两人各随机抽出一张卡片，甲抽出的卡片数字比乙大的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法得到所有等可能的结果数，再找出满足甲抽出的卡片数字大于乙抽出的卡片数字的结果数，根据概率公式计算概率． 【详解】解：由题意画出树状图，如下图所示， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中甲抽出的卡片数字比乙大的结果有3种， 列举满足甲抽出卡片数字大于乙抽出卡片数字的结果： 所以，两人各随机抽出一张卡片，甲抽出的卡片数字比乙大的概率为． 21. 如图，在中，，，以C为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等，过点作的垂线，交于点，容易证得，得到，求得的长度，结合，即可求得答案． 【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点． 根据题意可知，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 22. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，，点P在射线上，将点绕点顺时针旋转得点，若点落在菱形的对角线所在直线上，则的长为______． 【答案】15或5##15或5 【解析】 【分析】根据菱形的性质和可得，，根据题意可知，，由点落在菱形的对角线所在直线上，可分落在直线或直线两种情况讨论，最后利用锐角三角函数和勾股定理列式即可求解． 【详解】解：在菱形中,， ,， ， 设，， 在中，， 则， 解得， ，， 如图，当点落在菱形的对角线所在直线上时，连接交于,连接,，过点作并交于点，过点作并交于点， ,将点绕点顺时针旋转90°得点， ， ，， ， ， ， ， 则， ， ，， 即，， 计算得，， 根据勾股定理得； 如图，当点落在菱形的对角线所在直线上时，连接,，过点作并交于点， 将点绕点顺时针旋转90°得点， ， ， ， ，， ， 则，即， ， ，， 根据勾股定理得， ； 综上，的值为15或5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能够利用锐角三角函数和勾股定理灵活解直角三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定在竖直方向平移后的位置，再根据“临界平移点”的定义和图形确定c的取值范围即可； 先把点H的坐标代入函数解析式，进而确定的平移规律，然后分情况讨论即可． 【详解】解：当时， 向下平移 2 个单位，平移后的位置如图1所示，所以在水平方向上平移时，只有在上才满足有且只有一个公共点， 所以 ，即 ； 当点H在上时， 把代入，得点H的坐标为， 显然，当时， H不存在． 所以时，在竖直方向上只能向上平移，在水平方向上可能向左或向右平移． ①时，向右上方平移，易知当点B落在上时（如图2），点H为“临界平移点”． 设直线的解析式为，把，代入，得 解得 所以直线的解析式为． 由平移可知点的坐标为，代入解析式得 ，解得（不合题意，舍去）； ②时，向左上方平移，此时存在两种可能性：一种是先从上方离开，当点恰好落到上时（如图3），点H为“临界平移点”；另一种是先从左侧离开，当点恰好落到上时（如图4），点H为“临界平移点”； 当点恰好落到上时，满足，解得（不合题意，舍去），． 当点恰好落到上时，满足，则，显然点不在线段上，此时已经从上方离开了，故不合题意，舍去． 综上可知c的值为为或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的平移规律、一次函数、二次函数、一元二次方程的解法．能准确理解新定义，熟练运用数形结合和分类讨论思想分析问题是解决问题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为践行绿色发展理念，推动节能降碳措施落实，某社区决定将白炽灯换成灯．若购买5盏甲型灯和2盏乙型灯需用90元；若购买3盏甲型灯和4盏乙型灯需用96元． （1）求甲、乙两种型号灯的单价各是多少元？ （2）该社区计划购买甲、乙两种型号的灯共60盏，且总费用不超过800元，那么该社区最少需要购买多少盏甲型灯？ 【答案】（1） 甲型LED灯单价为12元，乙型LED灯单价为15元 （2） 该社区最少需要购买34盏甲型LED灯 【解析】 【分析】（1）根据等量关系列方程即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型灯单价为元，乙型灯单价为元， 由题意得：， 解得， 答：甲型灯单价为元，乙型灯单价为元， 【小问2详解】 解：设该社区购买甲型灯盏，则购买乙型灯盏， 则， 解得：， ∵为整数， 则该社区最少需要购买盏甲型灯． 25. 如图，在中，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，在的延长线上取点E，使，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）如图1，若，，，求的长； （3）如图2，连接交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角定理可得，再根据两角相等则可证明相似； （2）根据勾股定理可知，根据相似三角形的性质可知，，最后根据勾股定理即可求解； （3）过点作，交于点，可根据，构造各边之间的关系，构造方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：过点作，交于点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线，点D，E，F都在抛物线上，且D，E，F三点的横坐标分别为m，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）记抛物线上D，E两点间的部分（含D，E两点）为G，当时，若图象G上到直线距离最大点及最小点的纵坐标之和为，求m的值； （3）若点D在x轴下方的抛物线上，连接交线段AC于点M（不与点A重合），连接交线段于点N，连接，若的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过点以及对称轴为直线求解即可； （2）求出，得出图象G为x轴下方的部分，待定系数法求出直线的解析式为，设P为图象G上的任一点，于点H，于点F，作交于点K，则，设，，，求出，从而得出图象G上到直线AC距离最大点为，最大点及最小点的纵坐标之和为，即可求出m的值； （3）设，，，．设直线的解析式为，代入点E和点F的坐标可求出，从而可得，，由的面积是面积的2倍，可知，求出，代入，求出，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴图象G为x轴下方的部分． 当时，， ∴， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把代入得．， 解得， ∴． 如图1，设P为图象G上的任一点，于点H，于点F，作交于点K，则， ∴． 设，，， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取的最大值， ∴图象G上到直线AC距离最大点为． ∵图象G上到直线AC距离最大点及最小点的纵坐标之和为， ∴最小点， ∴． 解得，（舍去）． ∴m的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 如图2，设，，， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴M是的中点， ∴ 把代入，得 ， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $